2021年山西省忻州市門限石中學高二數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的的值是（

）A．B．C．D．參考答案：A2.已知是定義在上的不恒為零的函數，且對于任意的、，滿足，，（），（）.考查下列結論：①；②為偶函數；③數列為等比數列；④為等差數列。其中正確的是

（

）A．①②③

B．①③④

C．③④

D．①③參考答案：B3.過點（0，1）且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．0條參考答案：C【考點】直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡單性質．【分析】作出圖形并加以觀察，可得過點（0，1）與x軸平行的直線符合題意，另外還有拋物線的兩條切線也符合題意，即存在3條直線滿足過點（0，1）且與拋物線y2=4x只有一個公共點．再由點的坐標與拋物線的方程，結合直線的方程加以計算可得此3條直線的方程，從而得到答案．【解答】解：根據題意，可得①當直線過點A（0，1）且與x軸平行時，方程為y=1，與拋物線y2=4x只有一個公共點，坐標為（，1）；②當直線斜率不存在時，與拋物線y2=4x相切于原點，符合題意；③當直線斜率存在時，設切線AB的方程為y=kx+1，由消去y，得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，解得k=1，切線方程為y=x+1．綜上所述，存在三條直線：y=1、x=0和y=x+1滿足過點（0，1）且與拋物線y2=4x只有一個公共點．故選：C4.函數函數f（x）=（x﹣3）ex的單調遞增區間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】首先對f（x）=（x﹣3）ex求導，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故選：D．5.數列前n項的和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知a>0,b>0,a+b=2,則的最小值是

（

）A、

B、4

C、

D、5參考答案：C7.若命題“”為真，“”為真，則

A．p真q真

B．p假q假

C．p真q假

D．p假q真參考答案：D8.已知等比數列{an}滿足a1+a2=3，a2+a3=6，則a7=(

)A．64 B．81 C．128 D．243參考答案：A【考點】等比數列．【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的關系求得q，進而求得a1，再由等比數列通項公式求解．【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2，∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64．故選A．【點評】本題主要考查了等比數列的通項及整體運算．9.若(x＋)n展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為（

）A．10

B．20

C．30

D．120參考答案：B略10.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的體積是（）A．B．C．D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓（0<b<3）與雙曲線x2-=1有相同的焦點F1，F2，P是兩曲線位于第一象限的一個交點，則cos<F1PF2=__________.參考答案：12.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則頂點B1的坐標是__________．參考答案：∵直三棱柱的所有棱長都是，∴，∴頂點的坐標是，故答案為：．13.若三角形內切圓的半徑為，三邊長為，則三角形的面積等于，根據類比推理的方法，若一個四面體的內切球的半徑為，四個面的面積分別是，則四面體的體積_____________.參考答案：14.已知函數在上不單調，則的取值范圍是

．參考答案：略15.點（-2，-1）在直線下方，則m的取值范圍為_______________；參考答案：（-∞,-3）∪（0,∞）16.已知拋物線y=x2的焦點為F，過點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若|AB|=4，則弦AB的中點到x軸的距離等于．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】確定拋物線的準線方程，利用拋物線的定義及弦長，可得弦AB的中點到準線的距離，進而可求弦AB的中點到y軸的距離．【解答】解：由題意，拋物線y=x2的焦點坐標為（0，），準線方程為y=﹣，根據拋物線的定義，∵|AB|=4，∴A、B到準線的距離和為4，∴弦AB的中點到準線的距離為2∴弦AB的中點到y軸的距離為2﹣=，故答案為：．17.已知四棱椎的底面是邊長為6的正方形，側棱底面，且，則該四棱椎的體積是

▲

；參考答案：96

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數的導數滿足，，其中常數，求曲線在點處的切線方程.參考答案：解：（I）因為，所以

……..2分令得.

由已知，所以.解得.……….4分又令得.由已知所以解得………..6分所以，.

…………..8分又因為

…………….10分故曲線處的切線方程為，即.

………………..12分略19.（14分）如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點，點Q在AB上，且BQ=．（I）求證：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面體ABCDMN的體積．參考答案：（I）證明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO為四棱錐A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關系與距離．分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質可得MD∥NB．進而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用線面平行的性質即可得出QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質可得MD⊥AC，再利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO為四棱錐A﹣MNBD的高，進而得到VA﹣MNBD的體積．即可得出V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD．解答：（I）證明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO為四棱錐A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．點評：熟練掌握線面平行于垂直的判定與性質、線線平行的判定與性質、四棱錐的體積等是解題的關鍵．20.在長方體中，，，如圖，（1）當點在上運動時（點，且異于）設，，求證：（2）當點是的中點時，求異面直線與所成角的正弦值。

參考答案：略21.已知函數.(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；(Ⅱ)求函數在區間[－2,－1]上的最大值．參考答案：(Ⅰ)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.(Ⅱ)見解析【分析】(Ⅰ)當時，求得函數的導數，利用導函數取值的正負，即可得出函數的單調性；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，分類討論得到函數在區間上的單調性，即可求解函數的最大值，得到答案。【詳解】(Ⅰ)由題意，當時，函數，則，令，即，即，解得或，所以函數在，上單調遞增，令，即，即，解得，所以函數在上單調遞減。即函數的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.(Ⅱ)由函數，則，令，即，即，解得或，（1）當，即時，此時當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；（2）當，即時，①當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；②當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以最大值為；③當時，即時，此時當時，，所以在上單調遞增，所以最大值為；（3）當時，函數在區間上單調遞減，最大值為，綜上所述，可得：當時，；當時，；當時，.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，著重考查了邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性，以及根據函數單調性，求解參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用。22.（12分）（2015秋?惠州校級期中）點P（x0，y0）是圓C：x2+y2=1上的一個動點，過點P的直線l與圓C相切（1）求證：直線l的方程為x0x+y0y=1；（2）若直線l與x軸、y軸的交點分別為點A、B，且|PB|，|PA|，|AB|成等比數列，求點P的坐標．參考答案：（1）證明：若y0=0，則l為x=±1，若x0=0，則l為y=±1；…（2分）若x0y0≠0，則直線OT的斜率kOT=，∴直線l的斜率kl=﹣，故直線l的方程為：y﹣y0=﹣（x﹣x0），整理得：x0x+y0y=1，經檢驗，當x0=0或y0=0，時，直線l的方程也滿足上式，故直線l的方程為x0=0；…（6分）（2）解：由（1），得A（，0），B（0，），…（7分）∵同一直線的三條線段|PB|，|PA|，|AB|成等比數列，∴|PB|，|PA|，|AB|在x軸的射影成等比數列．不妨設點P在第一象限，則（﹣x0）2=1．…（8分）∵0＜x0＜1，∴﹣x0=1，解得x0=（負值舍去），…（10分）將x0=代入x02+y02=1，得y0=（負值舍去），即點P坐標為（，）．…（11分）由對稱性，滿足條件的點P有四個（，），（，﹣），（﹣，），（﹣，﹣）．…（12分）考點：直線與圓的位置關系．專題：綜合題；直線與圓．分析：（1）分類討論，利用切線與直線l相切，即可證明結論；（2）利用同一直線的三條線段|PB|，|PA|，|AB|成等比數列，可得|PB|，|PA|，|AB|在x軸的射影成等比數列，即可求點P的坐標．解答：（1）證明：若y0=0，則l為x=±1，若x0=0，則l為y=±1；…（2分）若x0y0≠0，則直線OT的斜率kOT=，∴直線l的斜率kl=﹣，故直線l的方程為：y﹣y0=﹣（x﹣x0），整理得：x0x+y0y=1，經檢驗，當x0=0或y0=0，時，直線l的方程也滿足上式，故直線l的方程為x0=0；…（6分）（2）解：由（1），得A