復變函數第二章解析函數第1頁，課件共84頁，創作于2023年2月§2.1復變函數的概念、極限與連續性第2頁，課件共84頁，創作于2023年2月1.復變函數的定義

2.映射的概念

3.反函數或逆映射復變函數的概念第3頁，課件共84頁，創作于2023年2月1.復變函數的定義—與實變函數定義相類似

定義2.1設E是復平面上的點集,若對任何z=x+iyE,都存在一個或幾個復數w=u+iv和z對應,則稱在E上確定了一個復變函數，用w=f(z)表示.

E稱為該函數的定義域.第4頁，課件共84頁，創作于2023年2月該函數的值域為：第5頁，課件共84頁，創作于2023年2月例1例2實部等于實部虛部等于虛部第6頁，課件共84頁，創作于2023年2月oxy(z)Eouv(w)Gw=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：2.映射的概念——復變函數的幾何意義zw=f(z)w第7頁，課件共84頁，創作于2023年2月

以下不再區分函數與映射（變換）。

在復變函數中用兩個復平面上點集之間的對應關系來表達兩對變量u，v

與x，y

之間的對應關系，以便在研究和理解復變函數問題時，可借助于幾何直觀.復變函數的幾何意義是一個映射（變換）第8頁，課件共84頁，創作于2023年2月例3解—關于實軸對稱的一個映射見圖1-1~1-2—旋轉變換(映射)見圖2例4解第9頁，課件共84頁，創作于2023年2月oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第10頁，課件共84頁，創作于2023年2月例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第11頁，課件共84頁，創作于2023年2月3.反函數或逆映射例設z=w2

則稱為z=w2的反函數或逆映射∴為多值函數,2支.定義設w=f(z)的定義集合為E，函數值集合為G，那么則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數（逆映射）.第12頁，課件共84頁，創作于2023年2月1.函數的極限

2.相關定理

3.函數的連續性復變函數的極限與連續性第13頁，課件共84頁，創作于2023年2月

定義2.2設復變函數w=f(z)在z0的某個去心鄰域內有定義,A是復常數.若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中zz0的方式是任意的.復變函數的極限第14頁，課件共84頁，創作于2023年2月幾何意義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當變點z一旦進入z0

的充分小去心鄰域時,它的象點f(z)就落入A的一個預先給定的ε鄰域中第15頁，課件共84頁，創作于2023年2月

相關定理復變函數極限與其實部和虛部極限的關系：定理2.1第16頁，課件共84頁，創作于2023年2月定理2.2

以上定理用極限定義證!第17頁，課件共84頁，創作于2023年2月例1例2例3第18頁，課件共84頁，創作于2023年2月函數的連續性定義2.3第19頁，課件共84頁，創作于2023年2月例4證明f(z)=argz在原點及負實軸上不連續。證明xy(z)ozz第20頁，課件共84頁，創作于2023年2月定理2.5設則f(z)在處連續的充分必要條件是都在點連續.

定理2.3連續函數的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續函數;

定理2.4

連續函數的復合函數仍為連續函數。第21頁，課件共84頁，創作于2023年2月有界性：第22頁，課件共84頁，創作于2023年2月§2.2

解析函數的概念第23頁，課件共84頁，創作于2023年2月一、復變函數的導數1、導數的定義

定義2.4設是定義在區域D上的存在，則稱在點可導,并把這個極限值稱為在點的導數，記做復變函數,z0是區域D內的定點.若極限第24頁，課件共84頁，創作于2023年2月

定義中的極限式可以寫為即當在點可導時,注意的方式是任意的.第25頁，課件共84頁，創作于2023年2月

此時，對D內任意一點z,有也可用等表示在z點的導數.若在區域D內每一點都可導,則稱在區域D內可導.第26頁，課件共84頁，創作于2023年2月則例1設在復平面內處處可導，且解因為所以第27頁，課件共84頁，創作于2023年2月例2證明在復面內處處連續，但處處不可導.證明對復平面內任意點z,有故這說明在復面內處處連續.第28頁，課件共84頁，創作于2023年2月但是,設沿著平行于x軸的方向趨向于0,即于是第29頁，課件共84頁，創作于2023年2月所以的導數不存在.設沿著平行于y軸的方向趨向于0,即第30頁，課件共84頁，創作于2023年2月2、可導與連續的關系

函數f(z)在z0處可導，則在z0處一定連續,但函數f(z)在z0處連續不一定在z0處可導.

事實上,由f(z)在z0點可導,必有).()()()(

000zfzzfzzfz￠-D-D+=Dr令第31頁，課件共84頁，創作于2023年2月

,)()(lim000zfzzfz=D+?D所以再由即在處連續.

反之,由知,不可導.但是二元實函數連續,于是根據知,函數連續.第32頁，課件共84頁，創作于2023年2月3、求導法則

由于復變函數中導數的定義與一元實函數導數的定義在形式上完全一致，同時，復變函數中的極限運算法則也和實函數中一樣，因而實函數中的求導法則可推廣到復變函數中，且證明方法相同.求導公式與法則:(1)其中c為復常數.(2)其中n為正整數.第33頁，課件共84頁，創作于2023年2月其中其中與是兩個互為反函數的單值函數,且第34頁，課件共84頁，創作于2023年2月二、解析函數

定義2.5

在區域D內有定義.(1)設,若存在的一個鄰域，使得在此鄰域內處處可導,則稱在處解析,也稱是的解析點.(2)若在區域D內每一點都解析，則稱在區域D內解析,或者稱是區域D內的解析函數.第35頁，課件共84頁，創作于2023年2月(3)設G是一個區域，若閉區域且在G內解析，則稱在閉區域上解析.函數在處解析和在處可導意義不同，前者指的是在的某一鄰域內可導,但后者只要求在處可導.函數在處解析和在的某一個鄰域內解析意義相同.第36頁，課件共84頁，創作于2023年2月

復變函數在區域內解析與在該區域內可導是等價的.

事實上，復變函數在區域內解析顯然在該區域內可導.

反之,設函數在區域D內可導,則對任意存在z的某一個鄰域U,使得UD,由在D內可導,可知在U內可導,即在z處解析.第37頁，課件共84頁，創作于2023年2月若函數在處不解析，則稱是的奇點.若是的奇點,但在的某鄰域內,除外,沒有其他的奇點，則稱是函數的孤立奇點.

由例1和例2知,函數是全平面內的解析函數，但是函數是處處不解析的連續函數.第38頁，課件共84頁，創作于2023年2月根據求導法則，很容易得到下面的結論.定理2.6

設函數在區域D內解析,則也在D內解析.當時,是的解析點.特別地,多項式P(z)在全平面內解析,有理分式在復平面內除分母為零的點之外解析,分母為零的點是有理分式的孤立奇點.第39頁，課件共84頁，創作于2023年2月

例3證明在處可導,但處處不解析.證明:根據導數的定義,因此在處可導，且當時,由得第40頁，課件共84頁，創作于2023年2月故雖然但是當z分別從平行于x,y軸方向趨于z0時，分別以1和-1為極限，因此不存在.又因為所以不存在，即在時不可導,從而在復平面內處處不解析.第41頁，課件共84頁，創作于2023年2月§2.3復函數可導與解析的充要條件第42頁，課件共84頁，創作于2023年2月

如果復變函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數w=f(z)在D內解析。

本節從函數u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數w=f(z)的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法。問題如何判斷函數的解析性呢？第43頁，課件共84頁，創作于2023年2月一.解析函數的充要條件第44頁，課件共84頁，創作于2023年2月第45頁，課件共84頁，創作于2023年2月第46頁，課件共84頁，創作于2023年2月

記憶定義2.6對于二元實函數u(x,y)和v(x,y)，方程稱為柯西-黎曼方程(簡稱C-R方程).第47頁，課件共84頁，創作于2023年2月定理2.7設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內有定義，則f(z)在點z=x+iy∈D處可導的充要條件是（1）u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微；（2）u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)滿足柯西-黎曼方程上述條件滿足時，有第48頁，課件共84頁，創作于2023年2月

由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯系.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.

利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.

定理2.7的證明略。由解析函數的定義2.5及定理2.7，我們可以得到定理2.8.第49頁，課件共84頁，創作于2023年2月定理2.8

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區域D內解析的充要條件是（1）u(x,y)和v(x,y)在D內可微（2）u(x,y)和v(x,y)在D內滿足柯西-黎曼方程第50頁，課件共84頁，創作于2023年2月解析函數的判定方法:(1)如果能夠用求導公式或求導法則驗證復變函數f(z)的導數在區域D內處處存在,則可直接斷定f(z)在區域D內解析.(2)如果復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函數u(x,y)和v(x,y)在區域D內各個一階偏導數連續

(因而u(x,y)和v(x,y)在區域D內可微),并且滿足柯西-黎曼方程,則由解析函數的充要條件可以斷定函數f(z)在區域D解析.（P28推論2.1）第51頁，課件共84頁，創作于2023年2月判定復變函數可導性與解析性的步驟：I)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數的連續性；II)驗證C-R方程；III）根據推論2.1或定義2.5判斷函數的解析性。

前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成的,但是求復變函數的導數時要注意,并不是兩個實函數分別關于x,y求導簡單拼湊成的.復變函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在可導點處的導數為第52頁，課件共84頁，創作于2023年2月二.舉例例1

判定下列函數在何處可導，在何處解析：解(1)設z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則第53頁，課件共84頁，創作于2023年2月(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny第54頁，課件共84頁，創作于2023年2月僅在點z=0處滿足C-R方程，故(3)設z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則第55頁，課件共84頁，創作于2023年2月解由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以當且僅當x=y=0時,因而函數僅在z=0可導,但在復平面內任何地方都不解析.例2

判斷下列函數在何處可導,在何處解析:第56頁，課件共84頁，創作于2023年2月例3

設其中a,b,c,d是常數，問它們取何值時,函數f(z)在復平面上解析.解：顯然，在全平面可微，且第57頁，課件共84頁，創作于2023年2月容易看出,當時,函數滿足柯西-黎曼方程,這時函數

在全平面解析.第58頁，課件共84頁，創作于2023年2月§2.4初等函數第59頁，課件共84頁，創作于2023年2月

本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的性質，并說明它的解析性。內容簡介第60頁，課件共84頁，創作于2023年2月1.指數函數

2.對數函數

3.冪函數

4.三角函數第61頁，課件共84頁，創作于2023年2月一.指數函數它與實變指數函數有類似的性質：定義第62頁，課件共84頁，創作于2023年2月第63頁，課件共84頁，創作于2023年2月

這個性質是實變指數函數所沒有的。第64頁，課件共84頁，創作于2023年2月

例1例2例3第65頁，課件共84頁，創作于2023年2月二.對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數。即，(1)對數的定義第66頁，課件共84頁，創作于2023年2月當k=0時，為Lnz的一單值函數，稱為Lnz的主值