第八節(jié)方程解的存在性及方程的近似解【考試要求】，理解函數(shù)零點存在定理，，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．1．利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性(1)函數(shù)的零點使得f(x0)＝0的數(shù)x0稱為方程f(x)＝0的解，也稱為函數(shù)f(x)的零點．f(x)的零點就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(3)零點存在定理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值一正一負，即f(a)·f(b)＜0，則在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個零點，即在區(qū)間(a，b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)＝0至少有一個解．2．二分法對于一般的函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，f(a)·f(b)＜0，則每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法．[常用結(jié)論]1．有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變．2．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)有零點?方程F(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有交點．[思考辨析]判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．()(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當b2－4ac(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.()(4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[對點查驗]1．下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()A根據(jù)二分法的概念可知選項A中函數(shù)不能用二分法求零點．故選A.2．(多選題)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為()A．(1，2) B．(2，3)C．(5，6) D．(5，7)BCD由所給的函數(shù)值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴f(x)在區(qū)間(2，3)，(5，6)，(5，7)內(nèi)都至少有一個零點．故選BCD.3．(多選題)下列說法中正確的是()A．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點為(－1，0)B．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點為－1C．函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點D．函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標BD根據(jù)函數(shù)零點的定義，可知f(x)＝xy＝f(x)的零點，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，因此B，D正確，A，C錯誤．故選BD.4．函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區(qū)間是()A．(1，2) B．(0，1)C．(2，e) D．(e，3)C因為f(2)＝ln2－2<0，f(e)＝lne＋2e－6>0，且f(x)為增函數(shù)，所以f(x)的零點所在的區(qū)間為(2，e).故選C.5．函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為．答案0或－eq\f(1,4)解析當a＝0時，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一個零點為－1；當a≠0時，則Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－eq\f(1,4).綜上有a＝0或－eq\f(1,4).考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定1．(2022·新疆三模)函數(shù)f(x)＝2x＋lnx－1的零點所在的區(qū)間為()A．(1，eq\f(3,2)) B．(eq\f(3,2)，2)C．(0，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，1)D函數(shù)f(x)＝2x＋lnx－1為(0，＋∞)上的增函數(shù)，由f(1)＝1>0，f(eq\f(1,2))＝eq\r(2)－ln2－1<eq\f(3,2)－ln2－1＝eq\f(1,2)－ln2<eq\f(1,2)－lneq\r(e)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，可得函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故選D.2．(2022·黑龍江雙鴨山期末)函數(shù)f(x)＝2lnx－eq\f(1,x)－3的零點所在的區(qū)間為()(ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈)A．(3，4) B．(4，5)C．(5，6) D．(8，9)Bf(x)＝2lnx－eq\f(1,x)－3，由對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在x∈(0，＋∞)時為單調(diào)增函數(shù)，f(3)＝2ln3－eq\f(1,3)－3≈2×1.099－eq\f(1,3)－3<0，f(4)＝4ln2－eq\f(1,4)－3≈4×－eq\f(1,4)－3＝－0.478<0，f(5)＝2ln5－eq\f(1,5)－3≈2×1.609－eq\f(1,5)－3＝0.018>0，f(6)＝2ln6－eq\f(1,6)－3＝2(ln2＋ln3)≈2×1.792－eq\f(1,6)－3＝0.414>0，因為f(x)在x∈(0，＋∞)內(nèi)是遞增函數(shù)，故f(8)>0，f(9)>0，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，由零點判斷定理知，f(x)的零點在區(qū)間(4，5)內(nèi)．故選B.3．已知2<a<3<b<4，方程logax＝－x＋b的解x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，則n＝．答案2解析方程logax＝－x＋b的解，即為函數(shù)f(x)＝logax＋x－b的零點，∴x0為f(x)＝logax＋x－b的零點，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.思維升華確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．考點二函數(shù)零點個數(shù)的判定(1)(2022·煙臺市二模)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－1|，0<x≤2,f（x－2）－1，x>2))，則方程f(x)＋eq\f(1,8)x2＝2根的個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6D要求方程f(x)＋eq\f(1,8)x2＝2根的個數(shù)，即為求f(x)與y＝2－eq\f(x2,8)的交點個數(shù)，由題設(shè)知，在(0，＋∞)上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個交點，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函數(shù)，∴在y軸左側(cè)也有3個交點，故共有6個交點．故選D.(2)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個結(jié)論：①若k＝0，則f(x)有兩個零點；②?k<0，使得f(x)有一個零點；③?k<0，使得f(x)有三個零點；④?k>0，使得f(x)有三個零點．以上正確結(jié)論得序號是．答案①②④解析零點問題，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點來分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的圖象交點問題．對于①，當k＝0時，|lgx|＝2，兩個交點，①正確；對于②，存在k<0，使y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，②正確；對于③，若k<0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2最多有2個交點，③錯誤；對于④，當k>0時，過點(0，2)存在函數(shù)g(x)＝lgx(x>1)的切線，此時共有兩個交點，當直線斜率稍微小于相切時的斜率時，就會有3個交點，故④正確．思維升華函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．對點強化1(1)(2022·江西高三模考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lnx|－sinx，0<x≤3,f（x－3），x>3))，則f(x)在(0，10)上的零點個數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9B由題意，當0<x≤3時，作出函數(shù)y＝|lnx|與y＝sinx的圖象．由圖可知，函數(shù)y＝|lnx|與y＝sinx在(0，1)和[1，3]內(nèi)各有一個交點，所以f(x)在(0，3]上有2個零點．由當x>3時，f(x)＝f(x－3)，由函數(shù)周期性的性質(zhì)可得當3<x≤6時，f(x)上有2個零點，當6<x≤9時，f(x)上有2個零點，當9<x<10時，f(x)上有1個零點，所以f(x)在(0，10)上有7零點個數(shù)．故選B.(2)(2022·浙江杭州期末)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)f（x＋2），x∈（－∞，－2],|x＋1|－1，x∈（－2，＋∞），))則方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5C方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝－eq\f(1,16)(x2＋x－1)的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖所示：∵g(0)＝eq\f(1,16)>f(0)＝0，∴在(0，＋∞)內(nèi)有1個交點，∵g(－5)＝－eq\f(19,16)<f(－5)＝－eq\f(1,4)，g(－3)＝－eq\f(5,16)>f(－3)＝－eq\f(1,2)，g(－2)＝－eq\f(1,16)<f(－2)＝0，g(－1)＝eq\f(1,16)>f(－1)，∴兩個函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有3個交點，綜上所述，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)共有4個交點，所以方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的個數(shù)是4個．故選C.考點三函數(shù)零點的應(yīng)用命題點1根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)(2022·全國模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤1，,|ln（x－1）|＋2，x>1.))，若關(guān)于x的方程f(x)－kx＝0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．答案{k|0<k<3}∪{－2eq\r(2)}解析方程f(x)－kx＝0?f(x)－2－(kx－2)＝0.畫出y＝f(x)－2與y＝kx－2的函數(shù)圖象如圖所示：因為直線y＝kx－2過(0，－2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y＝x2))得x2－kx＋2＝0，由Δ＝k2－8＝0，得k＝±2eq\r(2).又過(1，1)與(0，－2)兩點的直線的斜率為3，由圖知：當直線y＝kx－2過點(1，1)時，為函數(shù)y＝x2與y＝kx－2有兩個交點的臨界點，此時k＝3，由圖可知，若關(guān)于x的方程f(x)＝kx有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為{k|0<k<3}∪{－2eq\r(2)}．命題點2根據(jù)函數(shù)零點范圍求參數(shù)(2022·江蘇省太湖模擬)(多選題)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3BC因為函數(shù)y＝2x、y＝－eq\f(2,x)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，得f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.故選BC.命題點3數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)零點問題若函數(shù)f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的兩個零點是m，n，則()A．mn＝1 B．mn>1C．0<mn<1 D．以上都不對C由題設(shè)可得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，不妨設(shè)a>1，m<n，畫出函數(shù)y＝|logax|，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知0<m<1，n>1，且－logam＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)，logan＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，以上兩式兩邊相減可得loga(mn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)<0，所以0<mn<1.故選C.思維升華(1)已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．(2)已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍．(3)函數(shù)零點問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng)．對點強化2(1)(2022·全國模擬)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(3,x)－a的一個零點在區(qū)間(1，3)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(7，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．(－1，7)D∵y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)＝2x－eq\f(3,x)－a在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1<aD.(2)(2022·湖南雅禮中學檢測)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|，x≤1，,x2－3x＋3，x>1))，若關(guān)于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為