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學校趣味數學學問

1、兩個男孩各騎一輛自行車，從相距2o英里（1英里合1.6093千米）的兩個地方，開頭沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開頭向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就馬上轉憧憬回飛行。這只蒼蠅如此來回，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。假如每輛自行車都以每小時1o英里的等速前進，蒼蠅以每小時15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？

答案

每輛自行車運動的速度是每小時10英里，兩者將在1小時后相遇于2o英里距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時15英里，因此在1小時中，它總共飛行了15英里。

很多人試圖用簡單的方法求解這道題目。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是特別簡單的高等數學。據說，在一次雞尾酒會上，有人向約翰·馮·諾伊曼（johnvonneumann,1903～1957,20世紀最宏大的數學家之一。）提出這個問題，他思考片刻便給出正確答案。提問者顯得有點懊喪，他解釋說，絕大多數數學家總是忽視能解決這個問題的簡潔方法，而去采納無窮級數求和的簡單方法。

馮·諾伊曼臉上露出驚異的神色?！翱墒牵矣玫氖菬o窮級數求和的方法.”他解釋道。

2、有位漁夫，頭戴一頂大草帽，坐在劃艇上在一條河中釣魚。河水的流淌速度是每小時3英里，他的劃艇以同樣的速度順流而下?！拔业孟蛏嫌蝿澬袔子⒗铮彼匝宰哉Z道，“這里的魚兒不愿上鉤！”

正值他開頭向上游劃行的時候，一陣風把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我們這位漁夫并沒有留意到他的草帽丟了，仍舊向上游劃行。直到他劃行到船與草帽相距5英里的時候，他才發覺這一點。于是他馬上掉轉船頭，向下游劃去，最終追上了他那頂在水中漂流的草帽。

在靜水中，漁夫劃行的速度總是每小時5英里。在他向上游或下游劃行時，始終保持這個速度不變。當然，這并不是他相對于河岸的速度。例如，當他以每小時5英里的速度向上游劃行時，河水將以每小時3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相對于河岸的速度僅是每小時2英里；當他向下游劃行時，他的劃行速度與河水的流淌速度將共同作用，使得他相對于河岸的速度為每小時8英里。

假如漁夫是在下午2時丟失草帽的，那么他找回草帽是在什么時候？

答案

由于河水的流淌速度對劃艇和草帽產生同樣的影響，所以在求解這道趣題的時候可以對河水的流淌速度完全不予考慮。雖然是河水在流淌而河岸保持不動，但是我們可以設想是河水完全靜止而河岸在移動。就我們所關懷的劃艇與草帽來說，這種設想和上述狀況毫無無差別。

既然漁夫離開草帽后劃行了5英里，那么，他當然是又向回劃行了5英里，回到草帽那兒。因此，相對于河水來說，他總共劃行了10英里。漁夫相對于河水的劃行速度為每小時5英里，所以他肯定是總共花了2小時劃完這10英里。于是，他在下午4時找回了他那頂落水的草帽。

這種狀況同計算地球表面上物體的速度和距離的狀況相類似。地球雖然旋轉著穿越太空，但是這種運動對它表面上的一切物體產生同樣的效應，因此對于絕大多數速度和距離的問題，地球的這種運動可以完全不予考慮。

3、一架飛機從a城飛往b城，然后返回a城。在無風的狀況下，它整個來回飛行的平均地速（相對于地面的速度）為每小時100英里。假設沿著從a城到b城的方向筆直地刮著一股持續的`大風。假如在飛機來回飛行的整個過程中發動機的速度同平常完全一樣，這股風將對飛機來回飛行的平均地速有何影響？

懷特先生論證道：“這股風根本不會影響平均地速。在飛機從a城飛往b城的過程中，大風將加快飛機的速度，但在返回的過程中大風將以相等的數量減緩飛機的速度?！薄斑@好像言之有理，”布朗先生表示贊同，“但是，假如風速是每小時l00英里。飛機將以每小時200英里的速度從a城飛往b城，但它返回時的速度將是零！飛機根本不能飛回來！”你能解釋這好像沖突的現象嗎？

答案

懷特先生說，這股風在一個方向上給飛機速度的增加量等于在另一個方向上給飛機速度的削減量。這是對的。但是，他說這股風對飛機整個來回飛行的平均地速不發生影響，這就錯了。

懷特先生的失誤在于：他沒有考慮飛機分別在這兩種速度下所用的時間。

逆風的回程飛行所用的時間，要比順風的去程飛行所用的時間長得多。其結果是，地速被減緩了的飛行過程要花費更多的時間，因而來回飛行的平均地速要低于無風時的狀況。

風越大，平均地速降低得越厲害。當風速等于或超過飛機的速度時，來回飛行的平均地速變為零，由于飛機不能往回飛了。

4、《孫子算經》是唐初作為“算學”教科書的聞名的《算經十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分數法和開平方法，都是了解中國古代籌算的重要資料。下卷收集了一些算術難題，“雞兔同籠”問題是其中之一。原題如下：令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。

問雄、兔各幾何？

原書的解法是；設頭數是a，足數是b。則b／2－a是兔數，a－（b／2－a）是雉數。這個解法的