安徽省亳州市闞疃第一中學2021-2022學年高二數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在空間中，“兩條直線沒有公共點”是“這兩條直線是異面直線”的（

）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略2.如圖是一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖，如果正視圖、側視圖所對應的三角形皆為邊長為2的正三角形，俯視圖對應的四邊形為正方形，那么這個幾何體的體積為 A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖，半徑為R的圓形紙板上有一內接正六邊形圖案，將一顆豆子隨機地扔到平放的紙板上，假設豆子不落在線上，則豆子落在正六邊形區域的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【專題】數形結合；數形結合法；概率與統計．【分析】求出半徑為R的圓形紙板的面積與圓內接正六邊形的面積，利用幾何概型求出對應的概率．【解答】解：半徑為R的圓形紙板的面積為πR2，其圓內接正六邊形的面積為：6××R2×sin60°=R2，故所求的概率為：P==．故選：B．【點評】本題考查了幾何概型的應用問題，也考查了圓內接正六邊形的面積的計算問題，是基礎題目．4.如果方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略5.曲線的參數方程為(t是參數)，則曲線是（

）A、線段B、雙曲線的一支C、圓

D、射線參考答案：D6.曲線:(為參數)上的點到曲線:(t為參數)上的點的最短距離為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：A【分析】分別將圓和直線轉化為直角坐標方程，然后利用圓上的點到直線的距離與圓心到直線距離的關系從而求出最短距離。【詳解】將轉化為直角坐標方程為，所以曲線是以為圓心，1為半徑的圓。將轉化為直角坐標方程為，由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最小距離為，故選A。【點睛】本題考查圓上的點到直線的距離，若圓心距為，圓的半徑為且圓與直線相離，則圓上的點到直線距離的最大值為，最小值為。7.等差數列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12=（）A．15B．30C．31D．64參考答案：A【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，從而求得a12的值．【解答】解：設公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故選：A．【點評】本題主要考查等差數列的等差數列的通項公式的應用，求出首項和公差d的值，是解題的關鍵，屬于基礎題．8.下列給出的賦值語句中正確的是（）A．3=A B．y=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）C．B=A﹣2 D．x+y=1參考答案：C【考點】賦值語句．【分析】根據賦值語句的功能，我們逐一分析四個答案中四個賦值語句，根據賦值號左邊只能是變量，右邊可以是任意表達式，即可得到答案．【解答】解：3=A中，賦值號的左邊是常量，故A錯誤；y=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）中，賦值語句不能連續賦值，故B錯誤；x+y=1中，賦值號的左邊是表達式，故D錯誤；只有B=A﹣2是正確的賦值語句，故C正確．故選C．9.定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數f(x)，如果對于任意給定的等比數列{an}，{f(an)}仍是等比數列，則稱f(x)為“保等比數列函數”．現有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的f(x)的序號為()．A．①②

B．③④

C．①③

D．②④參考答案：C10.現有5種不同顏色的染料,要對如圖中的四個不同區域進行著色,要求有公共邊的兩塊區域不能使用同一種顏色,則不同的著色方法的種數是（

）種A

120

B

140

C

240

D

260參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，則直線恒過定點

．參考答案：

解析：變化為

對于任何都成立，則12.橢圓的焦點分別是F1和F2，過原點O作直線與橢圓相交于A，B兩點.若的面積是20，則直線AB的方程是_______________________.參考答案：略13.已知點M(－2,0),N(2,0),動點p滿足|PM|－|PN|=2,

則動點P的軌跡方程為

。

參考答案：略14.設，那么的值為________．參考答案：15.用分層抽樣的方法從某高中學校學生中抽取一個容量為55的樣本參加問卷調查，其中高一年級、高二年級分別抽取10人、25人．若該校高三年級共有學生400人，則該校高一和高二年級的學生總數為___________人．參考答案：略16.復數在復平面內對應的點位于第

象限．參考答案：四【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：===1﹣i在復平面內對應的點（1，﹣1）位于第四象限．故答案為：四．17.曲線在點處的切線的方程為

參考答案：y=三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知均為實數，且，

求證：中至少有一個大于。參考答案：證明：假設都不大于，即，得，

而，

即，與矛盾，

中至少有一個大于。

略19.已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|．參考答案：【考點】軌跡方程；直線與圓的位置關系．【專題】直線與圓．【分析】（I）設動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可；（II）設曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°，此時l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設l與x軸的交點為Q，根據，可得Q（﹣4，0），所以可設l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系利用弦長公式即可得出．【解答】解：（I）由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．設動圓的半徑為R，∵動圓P與圓M外切并與圓N內切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲線C的方程為（x≠﹣2）．（II）設曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設l與x軸的交點為Q，則，可得Q（﹣4，0），所以可設l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．當時，聯立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于對稱性可知：當時，也有|AB|=．綜上可知：|AB|=或．【點評】本題綜合考查了兩圓的相切關系、直線與圓相切問題、橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式等基礎知識，需要較強的推理能力和計算能力及其分類討論的思想方法．20.（本小題12分）已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半，

求：（1）動點M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．參考答案：解：（1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合

P．由兩點距離公式，點M適合的條件可表示為，

平方后再整理，得．

可以驗證，這就是動點M的軌跡方程．（2）設動點N的坐標為（x，y），M的坐標是（x1，y1）．由于A（2，0），且Ｎ為線段AM的中點，所以

，．所以有，

①由（1）題知，M是圓上的點，所以M坐標（x1，y1）滿足：②，將①代入②整理，得．所以N的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓．21.設為三角形的三邊，求證：參考答案：略22.（本小題滿分12分）已知函數，其中為自然對數的底數.（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積；（Ⅱ）若函數存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為，求的值.參考答案：解：（Ⅰ），

…………2分當時，，，，

所以曲線在處的切線方程為，………………4分切線與軸、軸的交點