2021-2022學年安徽省宣城市天華私立中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，則角A=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】余弦定理；正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，結合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，結合范圍A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故選：A．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內角和定理，特殊角的三角函數值在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．2.如圖，函數y=f（x）的圖像為折線ABC，設f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn+1（x）],n∈N*,則函數y=f4（x）的圖像為參考答案：D3.若P為棱長為1的正四面體內的任一點，則它到這個正四面體各面的距離之和為______.A.

B.

C.

D.參考答案：D4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個菱形，則該幾何體的體積為 A． B．

C．

D．參考答案：A略5.設實數x、y滿足約束條件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，則實數a的值為（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．參考答案：B考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，作出直線2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直線x+ay﹣4=0經過點A，B，進行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直線2x+y=8，則目標函數與直線x+y﹣4=0交于A，作出直線2x+y=﹣5，則目標函數與直線3x﹣2y+4=0交于B，則直線x+ay﹣4=0經過點A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直線x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由圖象進行檢驗可得，滿足條件，故選：B．點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．6.若存在唯一的正整數，使得不等式成立，則實數a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由可得，令，利用導數判斷出在上有唯一極大值點，根據存在唯一的正整數使不等式成立，即可求出的范圍.【詳解】由可得，令,則，令,得，，，所以函數在上有唯一極大值點，在上是減函數，因為所以要使不等式存在唯一的正整數，需故選D.【點睛】本題主要考查了與不等式成立有關的特稱命題，利用導數研究函數的單調性與極值，考查了計算能力，屬于中檔題.7.已知全集，集合，，則等于（A）（B）（C）（D）

參考答案：B略8.已知,則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A9.若函數y=f（x）在(1，2)內有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0．01，則對區間(1，2)至少二等分

A．6次

B．7次

C．8次

D．9次參考答案：B10.將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個單位，則所得函數圖象對應的解析式為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知線段AB上有10個確定的點（包括端點A與B）.現對這些點進行往返標數（從A→B→A→B→…進行標數，遇到同方向點不夠數時就“調頭”往回數）。如圖：在點A上標1，稱為點1，然后從點1開始數到第二個數，標上2，稱為點2，再從點2開始數到第三個數，標上3，稱為點3（標上數n的點稱為點n），……，這樣一直繼續下去，直到1，2，3，…，2012都被標記到點上．則點2012上的所有標記的數中，最小的是

．參考答案：(理)3.12.變量，滿足條件，求的最大值為

．參考答案：略13.從原點O向圓C:作兩條切線，則該圓被兩切點所分的劣弧與優弧之比為

．參考答案：(寫成1:2也對).把圓的方程化為標準方程為，得到圓心C的坐標為(0,6),圓的半徑,由圓切線的性質可知,∠CBO=∠CAO=90?，且AC=BC=3，OC=6，則有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60?+60?=120?所以該圓被兩切點所分的劣弧與優弧之比為(寫成1:2也對).14.已知A，B，C是圓x2+y2=1上互不相同的三個點，且滿足||=||，則的取值范圍是．參考答案：[﹣，）【考點】平面向量數量積的運算．【分析】畫出圖形，設出、以及的坐標，求出?的坐標表示，求取值范圍即可．【解答】解：如圖所示，取=（1，0），不妨設B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵||=||，∴C（cosθ，﹣sinθ）；∴?=（cosθ﹣1，sinθ）?（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=cos2θ﹣2cosθ+1﹣（1﹣cos2θ）=2﹣；∵﹣1＜cosθ＜1，∴當cosθ=，即θ=時，上式取得最小值﹣；當cosθ=﹣1時，2﹣1=；∴的取值范圍是[﹣，）．故答案為：[﹣，）．15.（幾何證明選講選做題）如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PO交圓O于B,C兩點，，則=

。參考答案：略16.函數的值域為

.參考答案：.試題分析：由題意得，，∴設，∴，其中，，而，∴，故值域是，故填：.考點：1.函數的值域；2.三角換元.【思路點睛】求函數值域的常用方法：①單調性法；②配方法；③分離常數法；④數形結合法；⑤換元法(包括代數換元與三角換元)；⑥判別式法；⑦不等式法；⑧導數法，主要是針對在某區間內連續可導的函數；⑨圖象法，求分段函數的值域通常先作出函數的圖象，然后由函數的圖象寫出函數的值域.17.在直角中，兩條直角邊分別為，斜邊和斜邊上的高分別為，則的取值范圍是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）

記等差數列{}的前n項和為，已知，.（Ⅰ）求數列{}的通項公式；（Ⅱ）令，求數列{}的前項和．參考答案：解：（Ⅰ）設等差數列{}的公差為d，由已知條件得

可得數列{}的通項公式為=n.

------4分（Ⅱ）

=-

=

=

------10分

19.（本小題12分）已知暗箱中開始有3個紅球，2個白球，現每次從暗箱中取出1個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中，（1）求第2次取出紅球的概率；（2）若取出白球得5分，取出紅球得8分，設連續取球3次的得分值為，求的分布列和數學期望。參考答案：解：（1）

……………4分（2）的所有可能取值為：15、18、21、24

……………6分

于是的分布列如下表所示：……………8分15182124P故

……………12分20.（本小題滿分12分）如圖.所在平面外一點,,若,且點分別在線段上滿足:(I)求證:為銳角三角形;(II)求平面與平面所成的角的余弦值．參考答案：所以為銳角三角形。(2)以P為原點PB、PA、PC分別為x，Y，z軸建立坐標系。設平面ABC的法向量則同理求得平面EFC的法向量兩平面的夾角的余弦值21.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調性．【專題】綜合題；壓軸題；轉化思想．【分析】（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數的減區間，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數的增區間；（Ⅱ）當時t無解，當即時，根據函數的增減性得到f（x）的最小值為f（），當即時，函數為增函數，得到f（x）的最小值為f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根據x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0時x的值，利用函數的定義域和x的值分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到函數的最大值，即可求出a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的單調遞減區間為令f′（x）＞0解得∴f（x）的單調遞增區間為；（Ⅱ）當時，t無解當，即時，∴；當，即時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由題意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1∵x∈（0，+∞）∴設，則令h′（x）=0，得（舍）當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故實數a的取值范圍[﹣2，+∞）【點評】本題要求學生會利用導函數的正負得到函數的額單調區間以及會根據函數的增減性得到函數的極值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．22.（本小題滿分13分） 如圖，O為坐標原點，點F為拋物線C1：x2=2py（p0）的焦點，且拋物線C1上點P處的切線與圓C2：x2+y2=1相切于點Q． （1）當直線PQ的方程為x-y=0時，求拋物線Cl的方程； （2）當正數p變化時，記S1，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值．參考答案：【知識點】拋物線方程直線與拋物線H7

H8（1）；（2）.（Ⅰ）設點P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，

因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x--=0，解得p=2，

所以拋物線C1

的方程為．

（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，

根據切線與圓切，得d=r，即=1，化簡得，

由方程組，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

點F（0，）到切線PQ的距離是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x