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文檔簡介
第六章FIR數字濾波器的設計1線性相位FIR數字濾波器的特點FIR濾波器的窗函數設計法FIR濾波器頻率采樣法設計FIR數字濾波器的特點(與IIR數字濾波器比較)：優點：2
在任意設計幅頻特性的同時，可以保證嚴格的線性相位，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數據傳輸等系統中保證無失真傳輸；
極點全部在原點（永遠穩定），無穩定性問題；
任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉變為因果序列，所以因果性總能滿足；
無反饋運算，運算誤差小。缺點：
因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數為代價；
無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。6.1
線性相位FIR數字濾波器的特點3如果FIR的單位脈沖響應h(n)為實數序列，長度為N，而且h(n)滿足下面的偶對稱和奇對稱條件：h(n)
=
h(N
-1-
n)h(n)
=
-h(N
-1-
n)則FIR濾波器將具有嚴格的線性相位特性。線性相位的意義：系統的失真：幅度失真：系統對信號中各頻率分量幅度產生不同程度的衰減；相位失真：系統對信號中各頻率分量產生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產生變化，引起相位失真。無失真傳輸的條件：y(t)
=
Kx(t
-t0
)
Y
(
jΩ)
=
X
(
jΩ)H
(
jΩ)Y
(
jΩ)
=
e-jt0
Ω
KX
(
jΩ)
H
(
jΩ)
=
e-jt0
Ω
K4H(
jW
)
=
e-jW
t
0
KW0KY
(
jΩ)
=[X1
(
jΩ)
+
X2
(
jΩ)]H(
jΩ)Y
(
jΩ)
=
e-jt0Ω
KX
(
jΩ)
+e-jt0Ω
KX
(
jΩ)1
2
y(t)
=
Kx1
(t
-t0
)
+
Kx2
(t
-t0
)j(W
)W0H
(
jW
)
j(W
)
=
-W
t0tx
(t
)05tx(t)
=
x1(t)
+
x2
(t)1.
線性相位特性偶對稱情況：N-1
N-1m=0
n=0n=0
n=0=h(m)z-(N-1-m)
=
z-(N-1)
h(n)zn系統函數：N-1
N-1H(z)
=h(n)z-n
=h(N
-1-n)z-n即H(z)
=
z-(N-1)H(z-1)h(n)
=
h(N
-1-n) 0
￡
n
￡
N
-1m=N-1-n6則有]122222=(n-N
-1)-(n-N
-1)N
-1-(
N
-1)
n-n1
N
-1n=0+
z[z=
z-(
N
-1)/
2
h(n)n=0h(n)[z
+
z
z
]H(z)
=
1
[H(z)
+
z-(
N
-1)
H(z-1)])]722N
-1=
eh(n)cos[w(n
-n=0-
jw
(
N
-1)
N
-1H(ejw
)
=
H(z)
|z=e
jw其求和項全為實數8將H
(e
jw
)表示成相位函數j
(w
)和幅度函數H
(w
)的形式，即：H
(e
jw
)
=
H
(w
)e
jq
(w
)
=
H
(e
jw
)
e
jj
(w
)2)]N
-12N
-1n=0q(w
)
=
-w
(
N
-1)h(n)
cos[w
(n
-H
(w
)
=幅度函數是標量函數，可正可負；相位函數是的線性函數q(w)9數字濾波器的群延遲(group
delay)：2dwt(w
)
=
grd[H
(e
jw
)]
=
-
d
[q(w
)]
=
N
-12q(w
)
=
-w
(
N
-1)FIR數字濾波器的響應對所有頻率的輸入信號整體延遲了(N
-1)，即延遲了單位脈沖響應長度的一半。210則H(z)可寫成：H
(z)
=
-z-(
N
-1)
H
(z-1)122222=n-
N
-1-(n-
N
-1)-(
N
-1)
N
-1-
z
]z
h(n)[zn=0H
(z)
=
1
[H
(z)
-
z-(
N
-1)
H
(z-1
)]奇對稱情況：h(n)
=-h(N
-1-n)
0
￡n
￡
N
-1系統函數：N
-1
N
-1=
-h(m)z-(
N
-1-m)
=
-z-(
N
-1)
h(n)znm=0
n=0N
-1
N
-1H
(z)
=
h(n)z-n
=
-h(N
-1-
n)z-nn=0
n=0m=N-1-n2
2222n=0-
n)]N
-1=
e-
n)]N
-1
h(n)
sin[w
(n=0
h(n)
sin[w
(-
j[w
(
N
-1)+π
]
N
-1-
jw
(
N
-1)
N
-1H
(e
jw
)
=
-
je2-
n
)]q
(w
)
=
-w
(
N
-1)
-
p2
2N
-1N
-1H
(w
)
=
h(n)
sin[
w
(n
=0此相位特性同樣為一嚴格的直線，但在零點處有的截距。112p幅度函數相位函數12其相位特性：延時，并且對通過濾波器的所有頻率分量產生即-90°的相移，也稱為正交變換網絡。p22這說明相位特性不僅有
N
-
1個抽樣周期的2dwq(w
)
=
-w
(
N
-1)
-
p2
2t(w
)
=
-
dq(w
)
=
N
-1個抽樣間隔。2無論是奇對稱或偶對稱，其群延時均為常數，為N
-
113222h(n)
=
h(N
-1-n)=cos[w(n
-
N
-1)])]=cos[w(
N
-1-n)]cos[w(N
-1-n
-
N
-12N
-1n=0h(n)
cos[w
(n
-
N
-1)]H(w
)
=
2.
線性相位FIR濾波器的幅頻響應特性分4種情況進行討論：h(n)偶對稱，N取奇數h(n)奇對稱，N取偶數第1種情況：h(n)偶對稱，N取奇數偶對稱H(w)式中的各項相對于(N-1)/2
對稱的項相等。142將相等項合并，因N為奇數，余中間項h(N
-1))]222(
N
-3)/
2N
-1n=0N
-1N
-1=
h()
+
2h(n)
cos[w
(n
-n=0h(n)
cos[w
(n
-
N
-1)]H
(w
)
=
故：令，則有：2m
=
N
-1
-n2(
N
-1)/
2)
+
2h(m=1N
-1N
-1
-m)
cosmw2H(w
)
=
h(152a(0)
=
h(
N
-1)(
N
-1)/
2n=0a(n)cosnwH(w)
=
2
N
-12a(n)
=
2h(
N
-1
-
n),
n
=
1,2,結論：該濾波器適合設計任何關于w
=0,p，2p
為偶對稱頻率特性的濾波器。特點：由于cosnw
對w
=0,p，2p
皆為偶對稱，所以幅度函數H(w)對w
=0,p，2p
也是偶對稱。2(N-1)/
2)
+
2h(m=1N
-1N
-1-m)cosmw2H(w)
=h(2N
/
2-1n=02h(n)cos[w
(n
-
N
-1)]H(w
)
=
令，得n
=
N
-
m2N
/
2m=12h(
N
-m)
cos[w
(m
-
1)]2
2H(w
)
=
第2種情況：h(n)偶對稱，N取偶數因N為偶數，余項
h(
N
-1)不存在，22N
-1n=0h(n)
cos[w
(n
-
N
-1)]H(w
)
=
162
2Nb(n)
=
2h(
N
-n)，n
=1，2，
，2N
/
2n=1b(n)cos[w
(n
-
1)]H(w
)
=
其中，2特點：當w
=p
時，cos[
w
(m
-1
)]=0故H(p)
=01即H(z)
在z=-1為零點，且由于
cos[
w
(m
-
2
)]
對w
=p呈奇對稱，因而H(w)對w
=p也呈奇對稱。結論：這種情況不適合做在w
=p處不等于零的濾波器，如高通濾波器、帶阻濾波器。1718第3種情況：h(n)奇對稱，N取奇數2N
-1n=0h(n)sin[w
(
N
-1
-n)]H(w
)
=
)2
2
2h(n)
=-h(N
-1-n)
h(
N
-1
=-h(N
-1-
N
-1
h(
N
-1
=0)
)sin[w(
N
-1
-(N
-1-n))]=
-sin[w(
N
-1
-n)]2
2奇對稱(N-1)/
2(N-3)/
2n=0=
2h(n=1N
-1-n)]2N
-1-n)sin(nw)
2H(w)
=
2h(n)sin[w(2n
=
N
-1-m192,
N
-12c(n)
=
2h(
N
-1
-n),n
=1,2,(
N
-1)
/
2H(w
)
=
c(n)sin(nw
)n=1特點：當
w
=
0,p,2p
時，H(w)
=0
，相當于H(z)在z=1
和z=-1有兩個零點，并且由于sin(nw)對w
=0,p,2p
呈奇對稱，因而H(w)對w
=0,p,2p也呈奇對稱。結論：這種情況不適合做在w
=0,p,2p
處為零，且偶對稱的濾波器，如低通、高通、帶阻濾波器2022,
N2N
/
2d
(n)
=
2h(
N
-
n),
n
=
1,2,n
=1H
(w
)
=
d
(n)
sin[(
n
-
1
)w
]第4種情況：h(n)奇對稱，N取偶數2N
-1n=0h(n)
sin[w
(
N
-1
-
n)]H
(w
)
=
2N/
2-1n=02h(n)sin[w(
N
-1
-n)]H(w)
=
Nn
=
-m22122,
N2N
/
2d
(n)
=
2h(
N
-
n),
n
=
1,2,n
=1d
(n)
sin[(
n
-
1
)w
]H
(w
)
=
結論：這種情況不適合做在w
=0,2p
處不為零，且偶對稱的濾波器，如低通、帶阻濾波器。特點：當w
=0,2p
時，H(w)=0，相當于H(z)在z=1
處有一個零點，并且由于sin[(n
-1/2)w
]對w
=0,2p
呈奇對稱，對w
=p呈偶對稱，因而H(w)也對w
=0,2p
呈奇對稱，對w
=p呈偶對稱。)2
2q(w
)
=
-w
(
N
-1
+
p2q
(w
)
=
-w
(
N
-1)22H(z)
=
–z-(N-1)
H(z-1)若zi
是H
(z
)的零點，由i可知，z
-1
也是的零點。-1i-(N-1)H(z
)
=0H(zi
)
=–zi若h(n)為實數時，H(z)為實系數的多項式，23ii
也是零點。則z
應是共軛成對的，z
*3.
線性相位FIR濾波器的零點特性線性相位FIR濾波器的系統函數：因此對于一個實系數線性相位FIR濾波器，其零點為相對于單位圓互為倒易關系的共軛對。244.
IIR濾波器與FIR濾波器的比較25FIR濾波器的優點：
FIR濾波器能嚴格做到線性相位或群延時為常數，而IIR濾波器只能逼近線性相位。
FIR濾波器是全零點型濾波器，總是穩定的，采用無反饋結構（非遞歸運算），不會因濾波運算的舍入誤差而產生寄生振蕩現象，運算誤差小。
對同樣幅度響應指標要求的濾波器，用
FIR濾波器實現比用IIR濾波器實現需要較高的階數，多達5~10倍。當濾波器的特性要求較高時，用FIR濾波器來實現，濾波過程需要較多的計算時間。
設計一般沒有封閉函數的設計公式，通阻帶衰減等無顯示表達式。無法利用現有的模擬濾波器結果進行設計。26FIR濾波器的主要缺點：end27數字濾波器的群延遲(group
delay)：回顧：h(n)
=
h(N
-1-
n)h(n)
=
-h(N
-1-
n)線性相位FIR數字濾波器q(w
)
=
-aw
+
bdwt(w
)
=
grd[H
(e
jw
)]
=
-
d
[q(w
)]a,b為常系數相位函數特點：H
(e
jw
)
=
H
(w
)e
jq
(w
)=
H
(e
jw
)
e
jj
(w
)28)2
2q(w
)
=
-w
(
N
-1
+
p2q
(w
)
=
-w
(
N
-1)296.2
FIR濾波器的窗函數設計法30使其頻率響應 逼近濾波器要求H
(e
jw
)
=
H
(z)
|z
=e
jwjw的理想頻率響應
Hd
(e
)
。約束條件:FIR濾波器要具有線性相位特性，則h(n)必須滿足奇、偶對稱條件。FIR濾波器的設計思想：尋求單位脈沖響應函數h(n)窗函數設計方法是FIR濾波器的一種基本設計方法，它的基本思路是直接從理想濾波器的頻率特性入手，通過積分求出對應的單位取樣響應的表達式，最后通過加窗，得到滿足要求的FIR濾波器的單位取樣響應，窗函數在很大程度上決定了FIR濾波器的性能指標，因此稱作“窗函逼近方法主要有三種：1、窗函數設計法（時域逼近）2、頻率采樣法（頻域逼近）3、最優化設計（等波紋逼近）窗函數設計法（時域逼近）dH
(e
jw
)h
(n)dh(n)31數設計法”。H
(e
jw
)1
、窗函數設計的基本方法￥p-pdd-
jnw
dn=-￥jwdH
(e
jw
)e
jnw
dw12ph
(n)
=h
(n)eH
(e
)
=所求得的單位脈沖響應hd(n)是無限長的，且是非因果的。用一個窗口函數w
(n
)對hd
(n)進行加窗處理，即：32h(n)
=
hd
(n)w(n)
w(n)
=
RN
(n)jw設理想濾波器的頻率響應為Hd
(e
)，則有：w
￡
wccde
-
jwa0
w
<
w
￡
pH
(e
jw
)
=
以理想低通濾波器為例說明其設計過程：設理想低通濾波器的頻率響應H
(
jw
為：d
e
)w12p p(n
-a
)sin[w
(n
-a
)]e
e
dw
=h
(n)
=c-
jwa
jwndc-wc是一個以a
為對稱中心的偶對稱的無限長的非因果序列。33wc
為濾波器的截止頻率；a
為群延時單位脈沖響應為：34理想低通濾波器的單位脈沖響應及矩形窗截取0jwHd
(e
)w-wc
wc=w
￡wccjwde-
jwa0
w
<
w
￡pH
(e
)35按照線性相位濾波器的要求，h(n)必須是偶對稱的，對稱中心必須等于濾波器的群延時，即：a
=
(
N
-
1)
/
2h(n)=
hd
(n)
RN
(n)a
=
(
N
-
1)
/
2FIR濾波器理想濾波器36例：用矩形窗設計一個FIR線性相位低通數字濾波器。已知w
c
=0.5p，N
=
21。求出h
n解：線性相位理想低通濾波器頻率響應：其單位脈沖響應：(
)ddHpjw
jw
ne
e
dw-ph
(n)=
12p
djw-wc
￡
w
￡
wcH
(e
)=e-
jwa0
-p
￡
w
￡
-wc
,wc
￡
w
￡
pw
ce-
jwa
e
jw
ndw-w
c=
12p
2p
37p
(n
-a
)h
(n)
=
1dwc
e-
jwa
e
jwndw
=
sin[w
c
(n
-a
)]-wc其中2a
=
N
-1
=10cw
=
0.5p其中w
n=
R21n
是窗函數。h(n)
=
h
(n)w(n)
=
dp
(n
-10)0,其它n用矩形窗截斷得FIR濾波器：sin[p
(n
-10)
/
2]
,0
￡
n
￡
202p
38p
(n
-a
)h
(n)
=
1dwc
e-
jwa
e
jwndw
=
sin[w
c
(n
-a
)]-w
cdjw-wc
￡
w
￡
wcH
(e
)
=e-
jwa0
-p
￡
w
￡
-wc
,wc
￡
w
￡
pa=02.
加窗對頻響的影響—吉布斯（Gibbs）效應矩形窗截取后濾波器的頻率響應為：N
-1n=0dh
(n)eH
(e
)
=-
jnwjw上式為有限項，因此N越大，與理想濾波器的頻率響應誤差就越小。但對于矩形窗截取還存在吉布斯（Gibbs）效應，使濾波器的特性變差，對于有限長的N值吉布斯效應會一直存在。39jwd-
jnw￥n=-￥
d=h
(n)eH
(e
)40從頻域卷積的角度分析由矩形窗求濾波器的頻率響應時窗函數對頻率響應的影響：p-pjqd
Rjw)dqH
(e
)W
(e12pH(e
)
=j(w
-q)按復卷積定理：h(n)
=
hd
(n)w
(n)RNjwR-
jaw-
jnw=
e==W
(w
)e1-e-
jwN1-e-
jwR
(n)e)
=W
(e2
sin(w
/
2)-
jw
N
-1
sin(Nw
/
2)N
-1n=0矩形窗的頻率響應為：sin(w
/
2)RW
(w
)
=
sin(Nw
/
2)矩形窗的幅度函數：主瓣41旁瓣旁瓣改變長度N，窗函數頻率響應的變化xRsin(w
/
2)
w
/
2W
(w)
=
sin(Nw
/
2)
?
sin(Nw
/
2)
=
N
sinx該函數的性質：隨著N加大，函數曲線波動的頻率加快；主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對比例保持不變。當長度N增加時，只會減小主瓣寬(4π/N )，而不會主瓣與旁瓣的相對值大小。42x
=
Nw
/
243djwd-jaw)
=H
(w)eH
(ew
<w
￡pcw
￡wcd0H
(w)
=1將理想低通濾波器的頻率響應Hd
(ej
w
)表示為：p-pp-p=edqRd-jwaR-jqadjwH
(q)W
(w
-q)dq
1
2pW
(w
-q)eH
(q)e12pH(e
)
=-j(w-q)ajw-
jaw)
=
WR
(w
)eWR
(eR窗函數的頻率響應W
(ejw
)表示為：則FIR濾波器的頻率響應：44p12pHd
(q)WR
(w
-q)dqH(w
)
=-p若用H(w)代表所設計的低通濾波器H(ejw
)的幅度響應函數，則有：設計的濾波器的幅度響應是矩形窗函數的幅度響應與理想低通濾波器的幅度響應的卷積。pRdjw-jwa-p-jwa=
H(w)e)W
(
)dH
(q
w
-q
q2p
1
H(e
)
=e45矩形窗的卷積過程46矩形窗的卷積過程20log10(9%)?-21dBDw過渡帶47加矩形窗處理后，對理想頻率響應產生的影響：
在截止頻率ωc的兩邊ω=ωc
±2π/N
處(即過渡帶的兩邊)，H(ω)出現最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振蕩，通帶越靠近零點振蕩越小，阻帶越遠離越小。振蕩的快慢，則取決于WR(ω)波動的快慢，即N值大小。
在ω=0處響應H(0)近似為理想濾波器的相應Hd(0)
；
使理想頻率特性不連續點ω=ωc
處，形成了一個過渡帶,H(ωc)近似等于0.5，過渡帶的寬度等于矩形窗的幅度響應WR(ω)的主瓣寬度，矩形窗△ω=4π/N
；48改變長度N，頻率響應的變化：當長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4π/N )（等于窗函數幅度函數的主瓣寬度），而不會改變肩峰的相對值。在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增加時，4π/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應。由于窗譜肩峰的存在，影響到H(ω)通帶的平坦和阻帶的衰減，使阻帶最小衰減只有21dB左右，這一衰減量工程上往往不夠，因此在實際中，矩形窗很少采用。矩形窗技術指標：主瓣寬度為(4p/N)。阻帶最小衰減21dB。3
常用的窗函數,2
-2<
n
￡
N
-1N
-1N
-1
22n, 0
￡
n
￡
N
-1N
-12nw(n)
=249]2
e-
jw
N
-1W
(e
jw
)
=
[N
sin(w
/
2)2 sin(Nw
/
4)其頻率響應為：1）三角形窗(Bartlett
Window)技術指標：主瓣寬度為(8p/N)。阻帶最小衰減25dB。2）漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗
=
0.5RN
(n)
-0.25e
N
-1
+e
N
-1
RN
(n)-
j
2pn
j
2pnN2
N
-1w(n)
=
1
[1
-
cos(
2np
)]R
(n)w5022222p2p]2p2p-
j
(
N
-1)w-
j
(
N
-1)w-
j
(
N
-1)wR-
j
N
-1R)]}eN
-1)
+WR
(w
+N
-1={0.5WR
(w
)
+
0.25[WR
(w
-)eN
-1+WR
(w
+)eN
-1-
0.25[W
(w
-W
(e
jw
)
=
0.5W
(w
)e251N
N)]}eRR
RRR
RR2p2p?
0.5W
(w
)
+0.25[W
(w
-
2p
)
+W
(w
+
2p
)]N
-1
N
-1W
(w
)
=
0.5W
(w
)
+0.25[W
(w
-
2p
)
+W
(w
+
2p
)]N
-1)
+W
(w
+N
-1W
(e
jw
)
={0.5W
(w
)
+0.25[W
(w
-R
R=W
(w
)e-
jwa-
j(
N
-1)w其頻率響應W(ejw
)和幅度函數W
(w
)分別為：N
>>
152W(w)是三項矩形窗的幅度響應WR(w)的移位加權和，使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍，為(8p/N)技術指標：主瓣寬度為(8p/N)。旁瓣峰值衰減-31dB阻帶最小衰減-44dB533）漢明(Hamming)窗，又稱改進的升余弦窗NN
-1w(n)
=[0.54
-
0.46
cos(
2np
)]R
(n)其幅度響應為：N
-1
N
-1RR
RW(w
)
=
0.54W
(w
)
+0.23[W
(w
-
2p
)
+W
(w
+
2p
)]同漢寧窗的主瓣寬度8p/N
相同，但旁瓣幅度更小。技術指標：主瓣寬度為(8p/N)。旁瓣峰值衰減-44dB阻帶最小衰減-54dB544）布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗NN
-1
N
-1w(n)
=[0.42
-
0.5
cos(
2np
)
+
0.08
cos(
4np
)]R
(n)其幅度響應為N
-1
N
-1N
-1
N
-1R
RRR
R+0.04[W
(w
-
4p
)
+W
(w
+
4p
)]W(w)
=
0.42W
(w)
+0.25[W
(w
-
2p
)
+W
(w
+
2p
)]其窗函數中包含有余弦的二次諧波分量12p/
N4）布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗55通過加入余弦的二次諧波分量，可進一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變為12p/N。技術指標：主瓣寬度為(12p/N)。旁瓣峰值衰減-57dB阻帶最小衰減-74dBN=31時矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數的包絡曲線5種窗函數的包絡曲線565700.250.50.751-100-60-75-40-200SquareBlackmanGain
db00.250.50.751-40-30-21N=14N=30Gain
dbAs?21dB00.250.50.751-80-60-52-200SquareHammingGain
db00.250.50.751-80-60-44-10
-200
0SquareHanningGain
dB用矩形窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼設計的w
c
=p/2FIR濾波器的幅頻響應5)
凱澤/凱塞(Kaiser)窗w(n)
=
0
,0
￡
n
￡
N
-1I0
(b)I
(b
1-[1-2n/(N
-1)]2
)β是一個可選參數，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關系，一般說來，β越大，過渡帶越寬，阻帶衰減越大。0k
21
x[
(
)
]k!
2￥k=1I
(x)
=1+I0(·)是第一類修正零階貝塞爾函數。一般取15~25項就可滿足精度要求。I0(x)10b580I
(b)x
x凱澤(Kaiser)窗特點：w(n)
=
0
,0
￡
n
￡
N
-1I0
(b)I
(b
1-[1-
2n
/(N
-1)]2
)
n=(N-1)/2時，w(n)=1。兩側對稱減小。
n=0及n=N-1時，
w(n)=1/
I0
(b)
。
b
越大w(n)變化越快。β=8.5
接近布萊克曼
β=5.44接近漢明
β=0
為矩形59用Kaiser窗設計FIR濾波器的步驟：1.
估計濾波器的階數N（經驗公式）A=
-20log10(min{dp，ds
})A
>
2160N
?
A
-
7.95
,2.285w
p
-w
s2.
估計β（采用經驗公式）0,0.4+
0.07886(
A
-
21),A
>
5021
￡
A
￡
50A
<
210.1102(
A
-
8.7),b
=
0.5842(
A
-
21)若濾波器通帶和阻帶波紋相等即δp=δs時，濾波器階數可通過下式確定14.36DF61N
=
-
20
log10
dp
-
7.95
+1式中DF
=
Dw
=
ws
-w
p2p
2pωp，ωs分別為數字低通濾波器的通帶邊頻與阻帶邊頻。end62回顧：1
、窗函數設計的基本方法dH
(e
jw
)h
(n)dh(n)H
(e
jw
)2、加窗對頻響的影響—吉布斯（Gibbs）效應p-pp-pdq=
e-
jwaR-
jqadjwHd
(q)WR
(w
-q)dq12pW
(w
-q)eH
(q)e12pH
(e
)
=-
j
(w
-q
)ah(n)
=
hd
(n)W
(n)6364矩形窗的卷積過程20log10(9%)?-21dBDw過渡帶當長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4π/N)（等于窗函數幅度函數的主瓣寬度），而不會改變肩峰的相對值大小。在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增加時，
4π/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是8.95%，這就是吉布斯(Gibbs)效應。65矩形窗技術指標：主瓣寬度為(4p/N)。阻帶最小衰減21dB。3
常用的窗函數66矩形窗技術指標：主瓣寬度為(4p/N)。阻帶最小衰減21dB。三角形窗技術指標：主瓣寬度為(8p/N)。阻帶最小衰減25dB。Hanning窗（升余弦窗）技術指標：主瓣寬度為(8p/N)。旁瓣峰值衰減-31dB阻帶最小衰減-44dB3
常用的窗函數Hamming窗（又稱改進的升余弦窗）技術指標：67主瓣寬度為(8p/N)。旁瓣峰值衰減-44dB阻帶最小衰減-54dBBlankman窗（又稱二階升余弦窗）技術指標：主瓣寬度為(12p/N)。旁瓣峰值衰減-57dB阻帶最小衰減-74dB凱澤/凱塞(Kaiser)窗可選參數，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關系)2
2q(w
)
=
-w
(
N
-1
+
p2q
(w
)
=
-w
(
N
-1)68n
?
aHPccHPcpww
￡
w
<
pe
-
jw
a1
-p
(n
-
a
)n
=
ap
(n
-
a
)
sin[
p
(n
-
a
)]
-
sin[
w
c
(n
-
a
)]h
(n
)
=0
￡
w
<
w0H
(e
jw
)
=
1）理想高通濾波器頻率響應：單位脈沖響應：4、幾種常用的理想濾波器只能取奇數N偶對稱n
)h
(a
=
N
-
1h
(n
)偶對稱，N
只能取奇數692n
=
an
?
aBPBPp
w
-ww
￡
w
￡
w
e-
jwac
2
c1c
2c1p
(n
-
a)
p
(n
-
a)sin[w
c
2
(n
-
a)]
-
sin[w
c1
(n
-
a)]h
(n)
=c1
,w
c
2
<
w
<
p0
￡
w
<
w0H
(e
jw
)
=
單位脈沖響應：2）理想帶通濾波器頻率響應：a
=
N
-
1h
(n
)偶對稱，N
取奇、偶數都可以702n
=
an
?
aBSBSpw
-ww
<
w
<
w￡
w
￡
pe-
jwac2
c1c
2c11-p(n
-
a)
p
(n
-
a)
p
(n
-
a)
sin[p
(n
-
a)]
-
sin[wc
2
(n
-
a)]
+
sin[wc1
(n
-
a)]h
(n)
=00
￡
w
￡
wc1,wc
2H
(e
jw
)
=
頻率響應：單位脈沖響應：3）理想帶阻濾波器a
=
N
-
1h
(n
)偶對稱，N
只能取奇數712=722用一長為N的窗函數w(n)截斷hd
(n)得到h(n)按照線性相位濾波器的要求，h(n)
必須N
-
1是偶對稱的，并且濾波器的時延常數a因線性相位濾波器的幅度響應均為：H
(w
)=1相位響應均為：j
(w
)=-aw同時為了保證高通、帶阻濾波器的可實現性，N必須取奇數，這樣,α就必須為整數。wp
=W
pT73ws
=WsT(1)
根據技術要求（在通帶W
處衰減不大于App在阻帶W
s
處衰減不小于As），確定窗函數形式w(n)并且根據取樣周期T，確定相應的數字頻率利用窗函數設計FIR數字濾波器的步驟：(2)確定濾波器長度Ｎ:
濾波器
H
(ejw
)的特性和d過滯帶來確定。過渡帶帶寬Dw=ws
-wp確定加窗寬度N：N
?P
4π/Dw其中系數P根據窗函數確定。74(5)求所設計濾波器的單位脈沖響應h(n)h(n)
=
hd
(n)
w(n),0
￡
n
￡
N
-1(6)考察H
(ejw
)的指標：N
-1n=0(7)審核技術指標是否已經滿足。如不滿足，則重新選取較大的N進行(5)，(6)計算；如果滿
足有余，則選取較小的N進行(5)，(6)項計算。H
(ejw
)
=
h(n)e-
jw
n確定要求設計濾波器的理想頻率響應jwHd
(e
)的表達式。求Hd
(e )
的傅里葉反變換：jwπdd2πH
(ejw
)e
jw
ndω-πh
(n)
=
175(2)確定窗長N
：例：試用窗函數法設計一個線性相位FIR數字低通濾波器，技術指標如下：在W
p
=
30πrad
/
s
處衰減不大于-
3dB
，在W
s
=46πrad/s
處衰減不小于-40dB，對模擬信號進行采樣的周期T=0.01s。解：(1)求數字指標，并確定窗函數wp
=WpT
=30π·0.01=0.3π
ws
=WsT
=46π·0.01=0.46π查表可知漢寧窗即可達到阻帶衰減-44dB的要求。為了使性能留有一定的冗余量，取Dw
=
w
p
-ws
=
8p
/
NN
?
8p
/(w
p
-ws
)
=
50N
=
51πdd2πH
(e
)ejw
jwndw-πh
(n)
=
1==
sin[0.38p
(n
-
25)]p
(n
-
25)e
e
dw
1
2p0.38p-0.38p-
jwa
jwn(4)求hd
(n)
：(3)確定理想頻率響應表達式：w
<
w
<
pw
￡
wccjwde-
jwa0)
=H
(ew76=
0.38pw
p
+w=
sc=25
為常數2N
-12a
=(5)w
(n)，Ｎ和a
確定后，h(n)也就確定了：770
￡
n
￡
502w-
j
N
-1H
(ejw
)
=
H
(w
)e50p
(n
-
25)(6)
求H
(ejw
)：h(n)
=
hd
(n)w
(n)=
sin[0.38p
(n
-
25)]
[0.5
-
0.5
cos(
2np
)]=
H
(w
)e-
j25w畫圖查看是否滿足性能要求786.3 FIR濾波器頻率采樣法設計回顧DFT章節，對于一個有限長序列，在滿足頻域采樣定理的條件下可以通過頻譜的有限個值恢復出來。即：可以通過對序列傅立葉變換的采樣值H(k)(即DFT值)恢復出有限長序列h(n)或者系統函數H(z)。jwHd
(e
)Ｎ點采樣IDFTH
(k
)
h(n)H
(z)jwHd
(e
)H
(k
)Ｎ點采樣利用內插函數H
(z)直接型結構頻率采樣型結構N
-1k
=0N1-W
zX
(k
)-k
-1-NH
(z)
=
1-
zNN
-1H
(z)
=
h(n)z
-nk
=0791-eNH(z)
=N
z-1k=01-
z-N
N-1H(k)j
2pk-nkN=N
-1k
=0H
(k
)W1N1、設計思想按頻域采樣定理FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)和系統函數H(z)可由它的N個頻域采樣值H(k)唯一確定。h(n)
=
IDFT
[
H
(k
)]80=k
=0,1,...N
-1dNd
dj
2pkN
)w
2pkH
(k)
=H
(ejw
)|
=H
(eH(k)
=
Hd
(k)
=
Hd
(e k
=0,1,...N
-1j
2pkN
)令按頻域采樣定理由Hd(k)求H(z)或h(n)：h(n)H
(ejw
)
H
(k)
H(z)d
d頻域采樣過程：假定要設計的FIR數字濾波器的頻率響應為:jwHd
(e
)從頻域從發,對理想頻響在0~2p
間進行N點的等間隔采樣Hd
(k)w81Hd
(k)10w2、設計過程和公式(1) N值的確定：通帶最后一個采樣點和阻帶第一個采樣點之間形成過渡帶Dw
=
2p
/
NN
=
2p
/
Dw822、設計過程和公式(2)
為使設計的濾波器為線性相位濾波器，濾波器的頻率響應H(ejw
)及其頻率采樣值H(k)必須滿足一定的條件。H
(e
jw
)
=
H
(w
)e
jq
(w
)q(w)
=
-(N
-1)w
/
2①h(n)=h(N-n-1)偶對稱，N為奇數幅度函數
相位函數為H
(w
)
=
H
(2p
-w
)則對應頻域的幅度采樣也是偶對稱的，幅度和相位函數分別為：Hk
=
HN
-kq(k)
=-(N
-1)w/2
=
-kp(1-1/
N)w
=2pk
/
Njq
(k
)H
(k
)
=
Hk
e2、設計過程和公式q(w)
=
-(N
-1)w
/
2②h(n)=h(N-n-1)偶對稱，N為偶數幅度函數
相位函數為H
(w
)
=
-H
(2p
-w
)則對應頻域的幅度采樣也是奇對稱的，幅度和相位分別為：Hk
=
-HN
-k2q(k)
=-
1
(N
-1)w
=
-kp(1-1/
N)w
=2pk
/
N832、設計過程和公式q(w)
=
-(N
-1)w
/
2
-p
/
2③h(n)=-h(N-n-1)奇對稱，N為奇數幅度函數
相位函數為H
(w
)
=
-H
(2p
-w
)則對應頻域的幅度采樣也是奇對稱的，幅度和相位分別為：Hk
=
-HN
-kq(k)
=-(N
-1)w
/
2
-p
/
2
=
-kp(1-1/
N)-p
/
2w
=2pk
/
N842、設計過程和公式q(w)
=
-(N
-1)w
/
2
-p
/
2④h(n)=-h(N-n-1)奇對稱，N為偶數幅度函數
相位函數為H
(w
)
=
H
(2p
-w
)則對應頻域的幅度采樣也是奇對稱的，幅度和相位分別為：Hk
=
HN
-k=
-kp(1-1/
N)-p
/
2q(k)
=-(N
-1)w
/
2
-p
/
2w
=2pk
/
N852、設計過程和公式Hk
=-HN
-k
,N為偶h(n)
=
h(N
-
n
-1)H
(w
)
=
-H
(2p
-w
)
fi
H
(w
)=H
(2p
-w
)fi
Hk
=HN
-k
,N為奇=
-kp
(1-1/
N
)
-p
/
2q(k
)
=
-(N
-1)w
/
2
-p
/
2w
=2pk
/
N以上結果可歸納為：Hk
=HN
-k
,N為偶Hk
=-HN
-k
,N為奇h(n)
=
-h(N
-
n
-1)
H
(w
)
=
H
(2p
-w
)
fiH
(w
)
=
-H
(2p
-w
)
fi=
-kp
(1-1/
N
)q(k
)
=
-(N
-1)w/2w
=2pk
/
N8687例：用頻率采樣法設計一個低通FIR數字濾波器。要求頻率特性逼近的理想頻率特性為：=0,3p
/
4
￡
w
￡
p1,0
￡
w
￡
3p
/
4H
(e
)jwdN
=
2p
/
Dw
=
4為方便計算，要求頻率采樣間隔Dw
=p
/2解（：1）、確定N（2）、確定H(k)H(0)
=1
H(1)
=1 H(2)
=
0
H(3)
=1對于線性相位FIR幅度函數,III,IV型不適合做低通,現又已知N為偶數,所以是II型。幅度特性和相位特性分別為：Hk
=
-HN
-kq(k
)
=
-kp
(1-1/
N
)（2）、確定H(k)H0
=1
H1
=1H(1)
=
H
e
jq
(1)
=
e-
j
3p
/
41H(2)
=
H
e
jq
(2)
=
02H(3)
=
H
e
jq
(3)
=
-e-
jp
/
4
=
3p
/
43
e（3）、確定h(n)3N-11
H(k)e
=
H(k)e
2N
n=0
4
n=01h(n)
=jp
nkj2p
nkNh(0)
=
h(3)
=
(1-2)
/
4
=
-0.104h(1)
=
h(2)
=
(1+
2
cos(p
/
4))
/
4
=
0.604
88q(0)
=
0q(1)
=
-3p
/
4jq
(0)H(0)
=
H0e
=1H
2
=
0q(2)
=
-3p
/
2H3
=
-1q(3)
=
-9p
/
4
=
--
p
/
489（4）、確定H(z)N-1H(z)
=
h(n)z-n
=
-0.104(1+
z
-3
)
+
0.604(z
-1
+
z
-2
)n=0（5）、系統頻率響應H(ejw
)
=
H(z)z=e
jw=
-0.104(1+e-
j3w
)
+0.604(e-
jw
+e-
j2w
)=
e-
j3w
/
2[-0.208cos(3w
/
2)
+1.208cos(w
/
2)]=
H(w)e
jq(w
)在w
=0,p
/2,p,3p
/2處與H(k)值完全相等其它值點則由三角函數延伸疊加而成3、濾波器的頻率響應代入頻率采樣公式將z
=e
jwNH(k)f(w
-
2p
k)H(ejw
)
=
H(z)
=
N-1k=0z=e
jw2e-
jw
N
-1N
sin(w
/
2)1 sin(wN
/
2)f(w
)
=其中z
-11
-
eNN
-1k
=0-
NH
(z)
=
1
-
zNH
(k
)j
2pk90w
=
2pk N
,
k
=
0,1,2,,
N
-1,f(w
-
2pk N
)
=191k
dH(e
)(kjww
=
2pk
/
N)和H(k)
=
H
(e在采樣點j
2pkN
)沒有誤差jw但在采樣點之間，其誤差與Hd
(e
)
特性的平滑程度有關，jw在
Hd
(e
)幅度曲線的平滑段，誤差較小，但在曲線的間斷點附近，會產生較大的誤差，使得濾波器的阻帶性能變壞。誤差還與采樣點數N有關，N越大誤差越小?；仡櫍?.3
FIR濾波器頻率采樣法設計jwHd
(e
)Ｎ點采樣IDFTH
(k
)
h(n)
H
(z)(1) N值的確定：通帶最后一個采樣點和阻帶第一個采樣點之間形成過渡帶。Dw
=
2p
/
NN
=
2p
/
Dw92Hk
=-HN
-k
,N為偶h(n)
=
h(N
-
n
-1)H
(w
)
=
-H
(2p
-w
)
fi
H
(w
)=H
(2p
-w
)fi
Hk
=HN
-k
,N為奇=
-kp
(1-1/
N
)
-p
/
2q(k
)
=
-(N
-1)w
/
2
-p
/
2w
=2pk
/
N線性相位FIR可歸納為四類：Hk
=HN
-k
,N為偶Hk
=-HN
-k
,N為奇h(n)
=
-h(N
-
n
-1)
H
(w
)
=
H
(2p
-w
)
fiH
(w
)
=
-H
(2p
-w
)
fi=
-kp
(1-1/
N
)q(k
)
=
-(N
-1)w/2w
=2pk
/
N(2)
H(k)值的確定：kH
(k
)
=
H e
jq
(k
)k
=
0,1,...N
-1Ndw
=
2pkH
(k
)
=
H
(e
jw
)
|9394例：用頻率采樣法設計一個低通FIR數字濾波器。要求頻率特
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