第四章連續系統的復頻域分析拉普拉斯變換與反變換線性系統的拉斯變換分析法線性系統的模擬(方框圖)信號流圖與梅森公式主要內容：第四章連續系統的復頻域分析傅里葉級數、傅里葉變換和頻域分析法引入了信號頻譜和系統頻率響應的概念，具有清晰的物理意義。傅里葉變換的局限性1、有些信號非絕對可積，傅里葉變換不存在；2、反變換是復變函數的廣義積分，難以計算，甚至求不出；3、用傅里葉變換可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。§4.1拉普拉斯變換解決方法：衰減因子一定滿足絕對可積的條件頻域中的傅里葉變換復頻域中的拉普拉斯變換推廣§4.1拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

2、拉普拉斯變換的物理意義（理解est）§4.1拉普拉斯變換§4.1.1拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

§4.1.1拉普拉斯變換反變換：§4.1.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換更常用的是單邊拉普拉斯變換，定義為：象函數原函數§4.1.1拉普拉斯變換1.工程技術中所遇到的激勵信號與系統響應大都為有始函數2.積分下限為何取為0-，考慮激勵與響應中在原點存在沖激函數或其各階導數的情況，所以積分區間應包括時間零點在內3.反變換，S包含的w從-無窮到+的各個分量，所以積分區間不變2、拉普拉斯變換的物理意義s常稱為復頻率,因此拉普拉斯變換分析法常稱為復頻域分析法§4.1拉普拉斯變換§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域f(t)e-σt是否收斂，取決于σ的取值，這就是拉普拉斯變換的收斂域問題2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法F(s)的所有極點必須在收斂域外（1）、持續時間有限的單個脈沖信號2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域不管σ取何值，總是滿足

，收斂域為整個s平面，拉斯變換無條件存在。（1）、持續時間有限的單個脈沖信號2、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域信號能量有限所以，收斂域為不包含虛軸的右半平面。推廣§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域§4.1.2拉普拉斯變換的收斂域結論：1、在電子技術中常用的有始函數一般都屬于指數階函數，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。2、能量有限的信號，單邊拉普拉斯變換的收斂域為整個復平面3、有始無終的單邊函數，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。4、在收斂域中不包含極點。5、凡符合絕對可積條件的函數不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對可積條件的函數，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。注意收斂域！§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域

：整個平面§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域為σ>Re(α)s=α為極點，不包含在內§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對有了指數函數這個基本變換對，就可以派生出許多其他變換對。例如：§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對有了指數函數這個基本變換對，就可以派生出許多其他變換對。例如：（1）ε(t)§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對（2）單邊正弦函數sinω0tε(t)分部積分法：§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對§4.1.3常見信號的拉普拉斯變換對收斂域

：整個平面收斂域為σ>Re(α)s=α為極點，不包含在內收斂域為σ>0符合絕對可積條件的函數其傅里葉變換、拉普拉斯變換都存在相互轉化對不符合絕對可積條件的函數，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則不符合上面的轉化關系?！?.2拉普拉斯變換的性質1、線性2、尺度變換3、時間平移4、復頻域平移5、時域微分6、時域積分7、復頻域微分與積分8、對參變量的微分與積分10、終值定理11、卷積定理9、初值定理2、尺度變換1、線性若：則：相同近似§4.2拉普拉斯變換的性質3、時間平移例：f(t)如圖，求F(s)解：

近似§4.2拉普拉斯變換的性質例：下列函數的拉普拉斯變換解：

例:如圖，有始周期函數f(t)，若其第一個周期的函數記為f1(t)，且，求F(s)解：§4.2拉普拉斯變換的性質1、對于周期為T的有始周期函數，求其拉普拉斯變換只需求其第一個周期的變換，再乘以因子

2、反之若見到象函數的分母含有因子就應想到其原函數為有始周期函數。進行拉普拉斯反變換時也只要做第一個周期的反變換，然后再以T為周期延拓。兩個結論：§4.2拉普拉斯變換的性質解：§4.2拉普拉斯變換的性質解：§4.2拉普拉斯變換的性質4、復頻域平移若：相同例：已知，求下列函數的拉普拉斯變換解：

5、時域微分若：

不同§4.2拉普拉斯變換的性質5、時域微分若：

不同§4.2拉普拉斯變換的性質5、時域微分若：

推廣到n階導數不同§4.2拉普拉斯變換的性質分部積分法用時域微分性質求解：§4.2拉普拉斯變換的性質6、時域積分不同§4.2拉普拉斯變換的性質6、時域積分不同§4.2拉普拉斯變換的性質分部積分法6、時域積分可推廣到多重積分情況不同§4.2拉普拉斯變換的性質如積分區間是注意:這里對的積分區間是這對本是一個有始信號進行積分運算是合適的；顯然當是有始信號兩者是一致的?！?.2拉普拉斯變換的性質6、時域積分7、復頻域微分與積分不同7、復頻域微分與積分不同§4.2拉普拉斯變換的性質舉例§4.2拉普拉斯變換的性質8、對參變量的微分與積分§4.2拉普拉斯變換的性質§4.2拉普拉斯變換的性質§4.2拉普拉斯變換的性質9、初值定理：說明：像函數F(s)為假分式時，原函數f(t)在t=0處有沖激函數及其n階導數存在§4.2拉普拉斯變換的性質9、初值定理：10、終值定理F(s)

的極點必須位于s平面的左半平面，原點處若有極點須是單極點§4.2拉普拉斯變換的性質初值定理應用的隱含條件:F(s)是真分式。若不是，則使用長除法得到真分式帶入公式。終值定理應用的條件:(1)F(s)是真分式(2)F(s)的極點必須位于s平面的左半平面，原點處若有極點須是單極點。§4.2拉普拉斯變換的性質11、卷積定理不同相同§4.2拉普拉斯變換的性質時域卷積證明：§4.2拉普拉斯變換的性質復頻域卷積證明：§4.2拉普拉斯變換的性質§4.2拉普拉斯變換的性質解法1：解法2：§4.2拉普拉斯變換的性質解法3：部分分式展開法(HavisideTheorem)若象函數為有理分式：Ⅰ.F(s)單極點情況Ⅱ.F(s)有重極點情況§4.3拉普拉斯反變換Ⅰ.F(s)單極點情況§4.3拉普拉斯反變換真分式、共軛極點(2)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根，則在部分分式展開時應把它們作為整體來處理。一、部分分式展開法(HavisideTheorem)若F(s)

有一個p階極點s1，另有n-p個單極點sp+1，...sn。Ⅱ.F(s)有重極點情況§4.3

拉普拉斯反變換§4.3

拉普拉斯反變換H(p)有k階極點λ§4.3

拉普拉斯反變換§4.3

拉普拉斯反變換解：F(s)為假分式則應將F(s)化為多項式和真分式之和，而多項式的反變換為沖激函數及其導數，真分式則可用部分分式展開法求反變換。(2)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根，則在部分分式展開時應把它們作為整體來處理。一、部分分式展開法(HavisideTheorem)(3)若F(s)有p階重根，分解為p個分式相加

§4.4復頻域系統函數復頻域系統函數定義（第一種計算方法）：在第三章中曾講過有四種方法求H(jω):

（4）、若已知的是電路，只要將電路中的元件用阻抗表示，然后由電路求H(jω)。對于H(s)也有類似的方法：§4.4復頻域系統函數

H(p)，H(jω)，H(s)三者的關系：(4)、若已知的是電路，只要將電路中的元件用運算阻抗表示，然后由電路求H(s)。§4.4復頻域系統函數例：電路如圖所示，開關K在t=0時開啟，求t>0時的uc(t)。

解法1：

(3)、若已知的是電路，只要將電路中的元件用運算阻抗表示，然后由電路求H(s)?！?.4復頻域系統函數(4)、根據系統的模擬方框圖求

。(5)、由系統的信號流圖，根據梅森公式求

?！?.5線性系統復頻域分析法例1：已知一個二階系統的微分方程為：§4.5.1拉普拉斯變換求響應

代入初始條件并整理解：利用拉普拉斯變換的性質對系統方程兩邊進行拉普拉斯變換全響應在求解過程中已經計入了初始條件，所以它就是全響應。由本例可見，用拉普拉斯變換求解微分方程的實質是：用拉普拉斯變換求解微分方程的實質是：在這種變換過程中，反映系統儲能的初始條件可自動代入，運算簡單，所得系統為系統全響應。一步到位根據S域電路模型求系統響應元件在時域和復頻域中的表現形式：初始條件可以看成是等效源①電阻②電感③電容②電感③電容

常用等效電路：選用串聯電壓源電容：串聯電壓源方向與“電容的初始電壓方向”保持一致電感：串聯電壓源方向與“電感的初始電流方向”保持一致！例：電路如圖所示，求回路電流i1(t)。解:1、作運算等效電路2、列運算方程§4.5.2從信號分解的角度分析系統

和激勵相關和初始狀態相關例:電路如圖所示，求回路電流i1(t)。要分別求零輸入響應和零狀態響應，及全響應。解：作運算等效電路：1、先求零輸入響應將電路中的激勵短路2、再求零狀態響應，將電路中的等效電源短路，列回路方程：§4.6線性系統的模擬▲用具體的電路（物理模型）描述線性系統▲用微分方程（數學模型）描述線性系統▲可以用一些基本的運算器從數學意義上來模擬線性系統輸入輸出關系一、基本運算器（1）、加法器（3）、積分器（初值為0）（2）、標量乘法器（4）、積分器（初值不為0）§4.6.1線性系統的模擬方框圖一、基本運算器（1）、加法器（2）、標量乘法器（3）、積分器（初值為0）（4）、積分器（初值不為0）二、系統模擬（零狀態）一階系統：§4.6.1線性系統的模擬方框圖§4.6.1線性系統的模擬方框圖這種根據微分方程作出的系統模擬框圖稱為直接型模擬框圖。作直接型模擬框圖的規律：1、框圖中積分器的數目與系統的階數相同；2、圖中前向支路的系數就是微分方程右邊的系數或系統函數分子多項式的系數；3、圖中反饋支路的系數就是微分方程左邊的系數或系統函數分母多項式的系數取負；4、復頻域中的框圖只要將時域框圖中相應的變量換成復頻域中的變量、積分器換成1/s。所以對于n階系統，可以根據規律畫出它的直接型模擬框圖：§4.6.1線性系統的模擬方框圖直接型模擬框圖三、系統的級聯與并聯對H(s)進行因式分解，可分為r個子系統的級聯或并聯§4.6.1線性系統的模擬方框圖分解時若零點和極點中有共軛復根、重根則保留因式作出直接型、級聯型、并聯型模擬框圖。分解時若零點和極點中有共軛復根、重根則保留因式§4.6.2信號流圖

信號流圖主要由結點、支路和環組成。簡化的模擬圖梅森公式用上面的化簡方法雖然總可以將流圖化簡為一條支路，最終求出總的傳輸值，但作圖比較繁瑣。而梅森公式則可以根據流圖直接計算任意兩個結點之間的傳輸值。梅森公式：§4.6.2信號流圖其物理意義為流圖表示的方程組的系數矩陣的行列式，常稱為圖行列式。Li——為第i個環的傳輸值。LiLj——為各個可能的互不接觸的兩個環的傳輸值之積。LiLjLk——為各個可能的互不接觸的三個環的傳輸值之積。奇數個環取負號，偶數個環取正號。圖形行列式Gk

——為正向傳輸路徑的傳輸值。Δk

——為去除Gk后的Δ值，稱第k種路徑的路徑因子關鍵：幾個環及相互關系？幾個正向傳輸路徑？例1：關鍵：幾個環及相互關系？幾個正向傳輸路徑？解：1、求Δ2、求Gk和Δk：例2：解：1、求Δ2、求Gk和Δk：主要內容：一.由極點（即系統特征方程的根）在S平面位置來判斷系統穩定性§4.7系統穩定性判斷

二.由系統特征方程系數（利用羅斯-霍維茨判據）判斷系統穩定性§4.7系統穩定性判斷

所謂系統穩定是指有限（有界）的激勵只能產生有限（有界）的響應的系統。有限的激勵也包括激勵為零的情況。1、系統的穩定與沖激響應--零輸入響應1、系統的穩定與沖激響應系統穩定的充分必要條件為:即h(t)絕對可積§4.7系統穩定性判斷

不滿足絕對可積條件sjwttttt0tH(s)的極點與沖激響應h(t)的對應關系1、若系統所有的極點都位于s平面的左半平面，則系統是穩定的。2、若系統有極點位于s平面的右半平面。則系統是不穩定的。3、若系統有極點位于虛軸上，且此極點是一階的則系統是臨界穩定的；此極點是多階的則系統是不穩定的?！?.7系統穩定性判斷

從Ｈ(s)極點的分布來判定：系統穩定：全部極點均位于s的左半平面上；系統臨界穩定：在j軸上有單極點,其它極點均位于s的左半平面上。系統不穩定：至少有一個極點位于s的右半平面上或在jω軸上有重極點§4.7系統穩定性判斷

舉例§4.7系統穩定性判斷

兩個問題：一.由極點（即系統特征方程的根）在S平面位置來判斷系統穩定性§4.7系統穩定性判斷

二.由系統特征方程系數（利用羅斯-霍維茨判據）判斷系統穩定性第一種方法要求：系統函數極點都在S平面的左邊平面→即所有根實部為負→分母多項式各系數均為同號且不為零所以在特征多項式中系數不同號或有缺項，立即就可判定它有實部為非負的根，因而系統不穩定或臨界穩定。必要非充分條件例如：系統的特征方程為雖然系數同號且沒有缺項，但顯然不能認為系統穩定。對于這種情況要用下面介紹得羅斯判據來判別?！?.7系統穩定性判斷

系數不同號或有缺項為必要非充分條件根據H(s)分母系數特點來判斷系統穩定情況不穩定，缺一階可能穩定，可能不穩定需要繼續使用羅斯判據不穩定，符號不一致不穩定，符號不一致，缺§4.7系統穩定性判斷

要求所有根實部為負，則多項式各系數均為同號且不為零所以在特征多項式中系數不同號或有缺項，立即就可判定它有實部為非負的根，因而系統不穩定或臨界穩定。必要非充分條件若

a0=0而其它系數不為零，則有一個根為零系統為臨界穩定；若全部偶次項或奇次項系數為零，則所有根實部為零，說明所有根在虛軸上。此情況下如果是單階根，系統為臨界穩定。羅斯—霍維茨（Routh—Hurwitz）判據設它有n個根為p1,p2,…,pn系統的特征多項式寫為：

§4.7系統穩定性判斷

羅斯—霍維茨判據使用前提：分母系數同號且不缺項!系數不同號或有缺項，說明系統不穩定或臨界穩定n階系統可排出如下羅氏陣列第1、2行各元素為分母的各階系數按順排列第3行及以后各行的元素需要計算得到羅斯—霍維茨（Routh—Hurwit