一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.2.已知復數滿足，則復數對應的點在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3.已知向量，，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.64.在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數.當基本傳染數高于1時，每個感染者平均會感染1個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數呈指數級增長.當基本傳染數持續低于1時，疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本傳染數，若1個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這人中有個人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個感染者新的傳染人數為，為了有效控制病毒傳染（使1個感染者傳染人數不超過1），我國疫苗的接種率至少為（）A.75% B.80% C.85% D.90%5.設為正項等差數列的前項和.若，則的最小值為（）A. B.5 C.9 D.6.已知，，，則（）A. B. C. D.7.已知克列爾公式：對任意四面體，其體積和外接球半徑滿足，其中，，，，，，分別為四面體的三組對棱的長.在四面體中，若，，則該四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標系中，若拋物線：的準線與圓：相切于點，直線與拋物線切于點，點在圓上，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.為了建立茶水溫度隨時間變化的回歸模型，小明每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到若干組數據，，…，（其中，），繪制了如圖所示的散點圖.小明選擇了如下2個回歸模型來擬合茶水溫度隨時間的變化情況，回歸模型一：；回歸模型二：，下列說法正確的是（）A.茶水溫度與時間這兩個變量負相關B.由于水溫開始降得快，后面降得慢，最后趨于平緩，因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時間的變化情況C.若選擇回歸模型二，利用最小二乘法求得到的圖象一定經過點D.當時，通過回歸模型二計算得，用溫度計測得實際茶水溫度為65.2，則殘差為10.下列命題正確的是（）A.如果一條直線上兩點到一個平面的距離相等，那么這個直線與這個平面平行B.兩條平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等C.如果一個平面內一個銳角的兩邊，分別平行于另一個平面內一個角的兩邊，那么這兩個平面平行D.如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直11.在平面直角坐標系中，雙曲線：的下、上焦點分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點，平分，且，，則（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的方程為C.若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，則D.點到兩條漸近線的距離之積為12.已知有三個不相等的零點，，，且，則下列命題正確的是（）A.存在實數，使得B.C.D.為定值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數在點處的切線方程為________.14.甲、乙、丙3所學校每所學校各派出兩名同學，現從這六名同學中任取兩名，安排到甲、乙、丙3所學校交流。每所學校至多安排一名同學，每名同學只能去一所學校且不能去自己原先的學校，則不同的安排方法有________種.15.在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點，則的余弦值為________.16.我們稱元有序實數組為維向量，為該向量的范數.已知維向量，其中，，記范數為奇數的的個數為，則________.（用含的式子表示，）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知函數，.（1）若函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的單調增區間；（2）若函數的圖象關于對稱，且函數在上單調，求的值.18.（12分）已知整數數列是等差數列，數列滿足.數列，前項和分別為，，其中.（1）求數列的通項公式；（2）用表示不超過的最大整數，求數列的前20項和.19.（12分）某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量（單位：箱），整理得到數據如下表所示，已知每箱某類水果的進貨價為50元，售價為100元，如果當天賣不完，剩下的水果第二天將在售價的基礎上打五折進行特價銷售，但特價銷售需要運營成本每箱30元.根據以往的經驗第二天特價水果都能售馨，并且不影響正價水果的銷售.2223242526頻數10101596（1）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求店長希望每天的某類水果盡量新鮮，又能70%地滿足顧客的需求（在100天中，大約有70天可以滿足顧客的需求）.請根據頻數分布表，估計每天某類水果的進貨量箱.（結果保留一位小數）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發生的概率，設（1）中所求的值，如果店老板計劃每天購進箱或箱的某類水果，請以利潤的期望作為決策依據，判斷店老板應當購進的箱數.20.（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，，分別是線段，的中點，是線段上的一點.（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.21.（12分）已知橢圓：的左、右焦點為，，離心率為，為橢圓上的一點，且的內切圓半徑最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）直線：交橢圓于，兩點，的角平分線所在的直線與直線交于點，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.22.（12分）已知函數，.（1）討論零點的個數；（2）當時，若存在，使得，求證：.

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。題號12345678答案ADCBDBCC二選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。題號9101112答案ABBCADBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.（寫成亦可） 14.4215. 16.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.解：（1），……1分因為函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，所以.………………3分由，，解得，因此的單調增區間是，.……5分（2）由，函數的圖象關于對稱，所以，，所以，，…………7分由，，則，又函數在上單調，所以，解得，…………9分由解得，此時.……10分18.解：（1）當時，.……………………1分又因為，所以.設，則.………………2分依題意，，………………3分得恒成立……4分解得，…………5分所以，.……………………6分（2）…………①……②①-②，得……9分即………………10分時，，；時，，，所以.…………12分19.解：（1）70%地滿足顧客需求相當于估計某類水果日銷售量的70%分位數.………………1分由表可知，把50個日需求量的數據從小到大排列，由，日需求量在24箱以下的天數為，可知，可以估計日需求量的第70%分位數為，…………3分所以能70%地滿足顧客的需求，估計每天應該進貨量為24.5箱.…………4分（2）由（1）知，即設每天的進貨量為24箱的利潤為，由題設，每天的進貨量為24箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩余的概率，當天賣不完剩余2箱的概率，若當天賣完元，若當天賣不完剩余1箱元，若當天賣不完剩余2箱元，……6分所以元.………………7分設每天的進貨量為25箱的利潤為，由題設，每天的進貨量為25箱，當天賣完的概率為，當天賣不完剩余1箱的概率，當天賣不完剩余2箱的概率，當天賣不完剩余3箱的概率，若當天賣完元，當天賣不完剩余1箱元，當天賣不完剩余2箱元，當天賣不完剩余3箱元，……9分所以元，…………10分由于，顯然每天的進貨量25箱的期望利潤小于每天的進貨量為24箱的期望利潤，所以店老板應當購進24箱.…………12分20.（1）證明：連接，在正方形中，又平面，故而，是平面上的兩條相交直線，所以平面…………2分在中，為中位線，故…………3分所以平面.又平面，所以平面平面……5分（2）以，，所在直線為，，軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，，，………………7分設平面的一個法向量為，則，即，取，……8分設，則則，整理得，解得或（舍去），…………10分故，故到平面的距離，故因為，所以又，所以，又，所以平面，故到平面的距離為三棱錐體積為.…………12分21.解：（1）因為的周長等于為定值，所以內切圓半徑最大時，即的面積最大，此時點為橢圓的上（下）頂點………………1分可得；……2分又因為，，解得，，，……3分所以橢圓的方程為；……4分（2）（法一）設點由條件可知直線的斜率，設點，，由得：所以，（*）………………5分由（*）可得①…………6分②………………7分③…………8分由對稱性，不妨令點位于第四象限，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，又在的角平分線所在的直線上，則可得出……9分化簡得即將①②③式代入上式得：…………10分則，解得，（舍去）……11分故直線方程為，令得點則，故為定值.………………12分【法二】設線由條件可知直線的斜率，設直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，直線：，其中由得即整理得…………6分即令，則，其中，為方程的根所以，…………8分由對稱性，不妨令點位于第四象限，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，又在的角平分線所在的直線上，則由得……9分代入整理得，………………10分則故（舍去）或者……………………11分所以直線的方程為，令得點故