第7講 函數的圖象最新考綱

1.理解點的坐標與函數圖象的關系；2.會利用平移、對稱、伸縮變換，由一個函數圖象得到另一個

函數的圖象；3.會運用函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式的解的問題.知識梳理1.利用描點法作函數圖象其基本步驟是列表、描點、連線.首先：(1)確定函數的定義域，(2)化簡函數解析式，(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等).其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.函數圖象間的變換

(1)平移變換y＝f(x)-k對于平移，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減.(2)對稱變換y＝-f(-x)(3)伸縮變換診斷自測判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)當x∈(0

，＋

∞)

時，函數y

＝|f(x)|與y

＝

f(|x|)

的圖象相同.(

×

)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱.(×)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(√)若函數y＝f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(×)將函數y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數y＝f(－x－1)的圖象.(

×

)2.(2015·廣州一調)把函數y＝(x－2)2＋2的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，所得圖象對應的函數解析式是()A.y＝(x－3)2＋3C.y＝(x－1)2＋3B.y＝(x－3)2＋1D.y＝(x－1)2＋1解析

把函數y＝f(x)的圖象向左平移1個單位，即把其中x換成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1個單位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案

C3.

點P從點O出發，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，

O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是()答案

C4.(2016·沈陽調研)已知圖(1)中的圖象對應的函數為y＝f(x)，則圖(2)中的圖象對應的函數為(

)A.y＝f(|x|)C.y＝f(－|x|)B.y＝|f(x)|D.y＝－f(|x|)解析

由圖(1)和圖(2)的關系可知，圖(2)是由圖(1)在y軸左側的部分及其關于y軸對稱圖形構成的，故選C.答案

C5.(2015·長沙模擬)已知函數f(x)＝log2x（x＞0），2x（x≤0），且關于x

的方程f(x)－a＝0

有兩個實根，則實數a

的取值范圍是

.解析

當

x≤0

時，0＜2x≤1，所以由圖象可知要使方程

f(x)－a＝0

有兩個實根，即函數y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，所以由圖象可知0＜a≤1.答案

(0，1]考點一

函數圖象的作法【例1】分別畫出下列函數的圖象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)首先作出y＝lg

x

的圖象C1，然后將C1

向右平移1個單位，得到y＝lg(x－1)的圖象C2，再把C2

在x

軸下方的圖象作關于x

軸對稱的圖象，即為所求圖象C3：y＝|lg(x－1)|.如圖1

所示(實線部分).(2)y＝2x＋1－1

的圖象可由y＝2x

的圖象向左平移1

個單位，得y＝2x＋1

的圖象，再向下平移一個單位得到，如圖2

所示.(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2（x≥0），2x

＋x－2（x＜0），其圖象如圖所3

所示.規律方法

畫函數圖象的一般方法：直接法，當函數表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據這些函數或曲線的特征直接作出.圖象變換法，若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響.描點法，當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結合函數的單調性、奇偶性等性質討論.【訓練1】分別畫出下列函數的圖象：x＋1

；(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1

(3)y＝10|lg

x|.解

(1)先畫函數y＝x2－4x＋3的圖象，再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方，如圖1.2x＋12（x＋1）－1＝

x＋1

＝

x＋1

1

(2)y

＝2－x＋1.1可由函數y＝－向左平移1

個單位，再向上平x移2

個單位得到，如圖2.x，x≥1，(3)y＝10|lg

x|＝1x，0＜x＜1，如圖3.考點二 函數圖象的辨識

1【例

2】

(1)(2015·浙江卷)函數

f(x)＝x－xcos

x(－π≤x≤π且

x≠0)的圖象可能為(

)(2)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是()1

1解析

(1)因為

f(－x)＝－x＋xcos(－x)＝－x－xcos

x＝

－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函數f(x)為奇函數，排除

1A，B.當x＝π

時，f(x)＝π－πcos

π＜0，排除C，故選D.(2)小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，排除B.故選C.答案(1)D

(2)C規律方法辨識函數圖象常用方法：(1)定性分析法，通過對問題進行定性分析，結合函數的單調性、對稱性等解決問題；(2)定量計算法，通過定量(如特殊點、特殊值)的計算，來分析解決問題；(3)函數模型法，由所提供的圖象特征，結合實際問題的含義以及相關函數模型分析解決問題.【訓練2】

(1)函數f(x)＝(1－cos

x)sin

x在[－π，π]的圖象大致為(

)(2)(2016·杭州模擬)已知函數f(x)的圖象如圖所示，則

f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)＝x2－2ln

|x|C.f(x)＝|x|－2ln

|x|B.f(x)＝x2－ln

|x|D.f(x)＝|x|－ln

|x|解析(1)因為f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos

x)·sin

x＝－f(x)，且－π≤x≤π，所以函數f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，排除B；當x∈(0，π)時，

1－cos

x＞0，sin

x＞0，所以f(x)＞0，排除A；又函數f(x)的導函數f′(x)＝sin2x－cos2x＋cos

x，所以f′(0)＝0，排除D，故選C.(2)由函數圖象可得，函數f(x)為偶函數，且x＞0

時，函數f(x)的單調性為先減后增，最小值為正，極小值點小于1，分別對選項中各個函數求導，并求其導函2數等于0

的正根，可分別得1，2，2，1，由此可得僅函數f(x)＝x2－ln

|x|符合條件.答案

(1)C

(2)B考點三

函數圖象的應用[微題型1]求解不可解方程根的個數問題【例3－1】已知函數y＝f(x)的周期為2，當x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，那么函數y＝f(x)的圖象與函數y＝|lg

x|的圖象的交點共有(

)A.10個

B.9個

C.8個D.7個解析

根據f(x)的性質及f(x)在[－1，1]上的解析式可作圖如下：可驗證當x＝10時，y＝|lg10|＝1；當x＞10時，|lg

x|＞1.因此結合圖象及數據特點知y＝f(x)與y＝|lg

x|的圖象交點共有10個.答案

A規律方法

當某些方程求解很復雜時，可以考慮利用函數的圖象判斷解的個數，即將方程解的個數問題轉化為兩個函數圖象的交點問題，對應圖象有幾個交點，則方程有幾個解.[微題型

2]

求解參數的取值范圍問題【例3－2】已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，當x∈(－1，211)時，均有

f(x)＜，則實數

a

的取值范圍是

.解析

由題知，當

x∈(－1，1)時，f(x)＝x2－ax1

12

x函數y＝x211＜2，即x

－2＜a

.在同一坐標系中分別作出二次－2，指數函數y＝ax

的圖象，如圖，當x∈(－1，1)時，要使指數函數的圖象均在二次函數圖象的上方，需2≤a≤2

且a≠1.故實數a的1

2取值范圍是

，1∪(1，2].1

2答案

，1∪(1，2]規律方法

對于含有參數的函數求參數范圍時，一般是將含參數部分分離出來，轉化為一個已知函數和一個含有參數的

函數的問題，再借助圖象處理.[微題型3]

求不等式的解集【例3－3】已知函數y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是

.解析由圖象可知，函數f(x)為奇函數，故原不等式可等價轉化為f(x)＞－x，在同一直角坐標系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，由圖象可知不等式的解集為(－1，0)∪(1，2].答案(－1，0)∪(1，2]規律方法

對于形如f(x)＞g(x)或可化為f(x)＞g(x)的不等式，可以分別作出函數f(x)，g(x)的圖象，找到f(x)的圖象位于g(x)的圖象上方部分所對應的x的取值范圍，即為不等式f(x)＞g(x)的解集.【訓練

3】(1)函數

f(x)＝2ln

x

的圖象與函數

g(x)＝x2－4x＋5

的圖象的交點個數為(

)A.3

B.2

C.1

D.0|x2－1|(2)已知函數y＝

x－1

的圖象與函數y＝kx－2

的圖象恰有兩個交點，則實數

k

的取值范圍是

.解析

(1)在同一直角坐標系下畫出函數

f(x)＝2ln

x

與函數g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1

的圖象，如圖所示.∵f(2)＝2ln