三角函數(shù)專題【高三】一．解答題（共30小題）1．已知過圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上一點(diǎn)A（0，5）的直線l與該圓另一交點(diǎn)為B，O為原點(diǎn)，記∠AOB＝α，α∈[0，π]．（1）當(dāng)|AB|=53時(shí)，求α的值和l（2）當(dāng)|AB|＝5時(shí)，f（x）＝﹣sinx+2cosx?sinα+2cos2α﹣1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．2．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求A，ω和φ的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[1，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上恰有2022個(gè)零點(diǎn)，求b﹣a的取值范圍．3．已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+π（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），|x1﹣x2|min=π2，求f（（2）已知0＜ω＜5，函數(shù)f（x）圖象向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，x=π3是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求n4．已知向量a→=(3sinx，cosx），b→=（1）如果cosx≠0，_____，求tan2x的值；（在①a→∥b→（2）設(shè)函數(shù)f(x)=|a→+b→|2?|b5．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm的圓）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)A（1，0）同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角（其中0＜α＜β＜180°），如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限．（Ⅰ）求α，β的值；（Ⅱ）兩只螞蟻的爬行速度保持不變，若紅螞蟻從點(diǎn)A逆時(shí)針勻速爬行，黑螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A順時(shí)針勻速爬行，求當(dāng)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，紅螞蟻爬過的距離．6．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x?π（1）當(dāng)x∈[0，5π8]時(shí)，求f（x（2）若α∈(π6，π)，且f(7．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(x+π6)，求g（x條件①：f（x）的最小正周期為π；條件②：f（0）＝0；條件③：f（x）圖象的一條對稱軸為x=π注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．8．已知函數(shù)f(x)=asin(π2x+φ)(a＞0，0＜φ＜π)的圖像如圖，其中A，B分別為最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．C，D（1）求f（x）的解析式；（2）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．9．函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，其中B（7π3，0），且最高點(diǎn)A與B的距離（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若α∈（?π6，π3），f（4α）=10．已知函數(shù)f（x）＝2sinωx，其中常數(shù)ω＞0．（1）令ω＝1，判斷F(x)=f(x)+f(x+π（2）y＝f（x）在[?π4，（3）令ω＝2，將函數(shù)y＝f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像．對任意a∈R，求y＝g（x）在區(qū)間[a，a+10π11．亞洲第三大摩天輪“水城之眼”是聊城的地標(biāo)建筑，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組為了測量摩天輪的最高點(diǎn)P距地面的高度，選取了與點(diǎn)P在地面上的射影A在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)B，C（如圖所示）；現(xiàn)測得∠ABC＝∠ACB＝∠ACP＝30°，B，C兩點(diǎn)間的距離是390米．（1）求最高點(diǎn)P距地面的高度PA；（2）若摩天輪最低點(diǎn)Q距地面的距離QA＝20米，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要20分鐘．從游客進(jìn)入摩天輪位于最低點(diǎn)Q處的轎廂開始計(jì)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為h米．若在摩天輪所在的平面內(nèi)，以PQ的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，PO所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，h（單位：米）關(guān)于t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式．12．“南昌之星”摩天輪于2006年竣工，總高度160m，直徑153m．勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時(shí)30min．以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，畫示意圖，如圖1．設(shè)座艙A為起始位置如圖2，經(jīng)過xmin后，OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OP，此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度h（x）（m）滿足h（x）＝Msin（ωx+φ）+K，其中M＞0，ω＞0，φ∈[﹣π，π]．（1）根據(jù)條件求出h（x）（m）關(guān)于x（min）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的第一圈內(nèi)，有多長時(shí)間P點(diǎn)距離地面不低于45.25m？13．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個(gè)半徑為3m的筒車，按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周的時(shí)長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則y與時(shí)間t（單位：min）之間的關(guān)系為y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π（Ⅰ）求A，ω，φ，b的值；（Ⅱ）盛水筒出水后至少經(jīng)過多長時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)？14．已知向量m→=（3sinx2，1），n→=（cosx2，cos2x2（1）若f（x）=56，且x∈（π3，5π（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2acosB＝bcosC+ccosB，求角B及f（A+π15．記△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且3cosC＝2sinAsinB．（1）求sinCsinAsinB（2）若A=π6，a=7，求c16．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）﹣2cos2（ωx+φ2）+1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為（1）當(dāng)x∈[?π4，π2（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π6個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，記方程g（x）=43在x∈[π6，4π3]上的根從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+217．已知函數(shù)f(x)=3sin(2ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)?1(ω＞0，|φ|＜π2)的圖象過點(diǎn)（0，﹣1），若存在x1，x2，使得f（1）求f（x）的解析式；（2）將f（x）的圖象向右平移π24個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，?m∈[?π12，π6]，?n∈[12，3]，18．某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購房，決定在一塊扇形空地修建一個(gè)矩形花園，如圖所示．已知扇形角∠AOB=2π3，半徑OA＝120米，截出的內(nèi)接矩形花園MNPQ的一邊平行于扇形弦AB．設(shè)∠POA＝θ，PQ＝（1）以θ為自變量，求出y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形花園MNPQ的面積最大，并求其最大面積．19．已知函數(shù)f(x)=2sin(x?π（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣a在區(qū)間[0，7π12]上恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3（x1＜x2＜（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求sin（2x1+x2﹣x3）的值．20．已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4sin2ωx①函數(shù)f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對稱且f②函數(shù)f（x）的圖像的一條對稱軸為直線x=?π3且（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若x∈[π2，3π4]，函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，求21．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=23，求22．為扎實(shí)推進(jìn)美麗中國建設(shè)，豐富市民業(yè)余生活，某市計(jì)劃將一圓心角為π3，半徑為R的扇形OAB空地（如圖），改造為市民休閑中心，休閑中心由活動(dòng)場地和綠地兩部分構(gòu)成，其中活動(dòng)場地是扇形的內(nèi)接矩形，其余部分作為綠地．設(shè)點(diǎn)P為AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)．請以點(diǎn)P23．已知函數(shù)f(x)=4cosωx?cos(ωx?π3)?1(ω＞0)的部分圖像如圖所示，若AB→?（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[0，13π12]上有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，（x1＜x2＜x3），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出cos（x1+2x2+24．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x?π6）+2cos2x﹣1（x∈（1）若f（α）=32，α∈[0，π2（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x+π6）﹣2a﹣2＜0對任意x∈（?π12，（3）將函數(shù)f（x）的圖像向左平移π12個(gè)單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?m，得到函數(shù)g（x）的圖像，若存在非零常數(shù)λ，對任意x∈R，有g(shù)（x+λ）＝λg（x）成立，求實(shí)數(shù)25．已知函數(shù)f(x)=2sin(2x?π（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)x∈[7π12，13π12]，關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m26．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x+π6），x∈（1）求函數(shù)y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝sin（2x+5π6），若對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求實(shí)數(shù)（3）將函數(shù)f（x）的圖像向右平移π4個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝h（x）的圖像．記方程h（x）=23在x∈[π6，4π3]上的根從小到依次為x1，x2，?，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2x3+?+2x27．已知函數(shù)是f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），P（76，0）函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，M，N是函數(shù)f（x）圖象上一組相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)T，使得PT→（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（Aπ）=62（3）已知PH→=13PT→，過點(diǎn)H的直線交PM于點(diǎn)Q，交PN于點(diǎn)K，PQ→=λ28．若函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）滿足：f（x）+g（x）＝0有解，則稱函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）具備“相融關(guān)系”．（1）若f（x）=log28x2，g（x）＝log2x?log4x，判斷y＝f（x）與y（2）若f（x）＝sinx?3cosx與g（x）＝sin（x+π3）﹣a在x∈[?π3（3）若a＜0，且f（x）=52sin2x+a與g（x）=52sinx+45cos29．已知函數(shù)f（x）=12sin（ωx?π3）?3sin2（ω2x?π6）+32，（ω＞0，x∈R）的最小正周期為4．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小是為m（t），記g（（1）求f（x）的解析式及對稱軸方程；（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式2k﹣5g（t）≤0有解．若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．30．如果實(shí)數(shù)x、y∈[0，2π]，且滿足cos（x+y）＝cosx+cosy，則稱x、y為“余弦相關(guān)”的．（1）若x=π2，請求出所有與之“余弦相關(guān)”的實(shí)數(shù)（2）若兩數(shù)x、y為“余弦相關(guān)”的，求證：π≤x+y≤3π；（3）若不相等的兩數(shù)x、y為“余弦相關(guān)”的，求證：存在唯一的實(shí)數(shù)z∈[0，2π]，使得x、z為“余弦相關(guān)”的，y、z也為“余弦相關(guān)”的．

三角函數(shù)專題【高三】參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．已知過圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上一點(diǎn)A（0，5）的直線l與該圓另一交點(diǎn)為B，O為原點(diǎn)，記∠AOB＝α，α∈[0，π]．（1）當(dāng)|AB|=53時(shí)，求α的值和l（2）當(dāng)|AB|＝5時(shí)，f（x）＝﹣sinx+2cosx?sinα+2cos2α﹣1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，5）在圓O：x2+y2＝r2（r＞0）上，∴r2＝25，∵|AB|＝53，|OA|＝|OB|＝5，∴cosα=|OA∵α∈[0，π]，∴α=2π由條件得O到l的距離為d=25?(∴l(xiāng)不與x軸垂直，設(shè)l的方程為y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，∴5k2+1=52，解得所以l的方程為3x﹣y+5＝0，或3x+y﹣5＝0．（2）當(dāng)|AB|＝5時(shí)，α=π3，由f（x）＝﹣sinx+2cosx?sinα+2cos2得f（x）＝﹣sinx+3cosx?12=2cos（x當(dāng)且僅當(dāng)2kπ﹣π≤x+π6≤2kπ，（k即2kπ?7π6≤x≤2kπ?π6，（k∈Z所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ?7π6，2kπ?π6]，2．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求A，ω和φ的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[1，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上恰有2022個(gè)零點(diǎn)，求b﹣a的取值范圍．【解答】解：（1）據(jù)圖知A＝1，T=2(43?13)=2，ω=2π2=π，故則sin(13π+φ)=0，故13π+φ=2kπ，k∈Z故A＝1，ω＝π，φ=?π3，所以f（x）＝sin（πx（2）要求原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需π2+2kπ≤πx?π3≤即56+2k≤x≤116+2k，k∈Z，結(jié)合故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，116（3）因?yàn)閒（x）的周期為2，若函數(shù)f（x）在[a，b]上恰有2022個(gè)零點(diǎn)，則1010×2+1≤b﹣a＜1011×2+1，解得b﹣a的取值范圍為[2021，2023）．3．已知函數(shù)f(x)=2sin(2ωx+π（1）若f（x1）≤f（x）≤f（x2），|x1﹣x2|min=π2，求f（（2）已知0＜ω＜5，函數(shù)f（x）圖象向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，x=π3是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求n【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（2ωx+π6）+1的最小正周期為T又∵f（x1）≤f（x）≤f（x2），|x1﹣x2|min=π∴f（x）的最小正周期是π，∴T=2π|2ω|=π當(dāng)ω＝1時(shí)，f（x）＝2sin（2x+π6）+1，由2x+π6=kπ，k∈Z，可得x=?π12+kπ2，k∈Z，可得當(dāng)ω＝﹣1時(shí)，f（x）＝2sin（﹣2x+π6）+1，由﹣2x+π6=kπ，k∈Z，可得x=π12?kπ2，k∈Z，可得（2）由函數(shù)f（x）圖象向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，可得g（x）＝2sin（2ωx+π又∵x=π3是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，從而可得從而可得sin(π∴從而解得π3ω+π6=7π6解得ω＝3+6k（k∈Z）或ω＝5+6k（k∈Z），由0＜ω＜5，可得ω＝3，∴g(x)=2sin(6x?5π6)+1令g（x）＝0，則sin(6x?5π解得6x?5π6=?π6+2k1π，或6x?解得x=k1π3+π9或x=k2由題意函數(shù)g（x）在[m，n]（m，n∈R且m＜n）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，從而可得4T＜n﹣m＜6T，要使n﹣m最小，須m、n恰好為g（x）的零點(diǎn)，從而可得(n?m)4．已知向量a→=(3sinx，cosx），b→=（1）如果cosx≠0，_____，求tan2x的值；（在①a→∥b→（2）設(shè)函數(shù)f(x)=|a→+b→|2?|b【解答】解：（1）選①得23得tanx=36，故tan2x選②得3sinxcosx+2cos2故tan2x=?2（2）因?yàn)閨a→+b→|2＝（a故f(x)=|a→+b→|2?|b→=3令sin(2x+π6)=0得2x+π6=kπ，k∈Z，解得x故原函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為（kπ2則將該函數(shù)圖象沿x軸向右平移π12個(gè)單位，再沿y5．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm的圓）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)A（1，0）同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角（其中0＜α＜β＜180°），如果兩只螞蟻都在第14秒時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2秒時(shí)均位于第二象限．（Ⅰ）求α，β的值；（Ⅱ）兩只螞蟻的爬行速度保持不變，若紅螞蟻從點(diǎn)A逆時(shí)針勻速爬行，黑螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A順時(shí)針勻速爬行，求當(dāng)它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，紅螞蟻爬過的距離．【解答】解：（Ⅰ）由已知得90°＜2α＜2β＜180°，所以45°＜α＜β＜90°，14β＝14α+k?360°①，且14α＝n?360°②，k，n∈N*，由①式得45°＜n?360°14＜90°結(jié)合①式得14α＝2×360°，14β＝3×360°，解得α=360°7，β（Ⅱ）它們從點(diǎn)A出發(fā)后第一次相遇時(shí)，用的時(shí)間為360°360°則紅螞蟻爬過的距離為360°7×π6．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x?π（1）當(dāng)x∈[0，5π8]時(shí)，求f（x（2）若α∈(π6，π)，且f(【解答】解：（1）f(x)=sin(2x?π6)+sin(2x+π因?yàn)閤∈[0，5π所以2x+π所以f（x）的取值范圍為[?6（2）由f(α得2sin（α+π12）所以sin（α+π12）因?yàn)棣痢?π所以α+π12∈（π4又因?yàn)閟in（α+π12）=24所以α+π12∈（π2所以cos（α+π12）所以sin（2α+π6）＝2sin（α+π12）cos（α+π12）＝27．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(x+π6)，求g（x條件①：f（x）的最小正周期為π；條件②：f（0）＝0；條件③：f（x）圖象的一條對稱軸為x=π注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解答】解：若選擇條件①②：（Ⅰ）由條件①及已知得T=2πω=π由條件②f（0）＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ（k∈Z），因?yàn)閨φ|＜π2，所以所以f（x）＝sin2x，經(jīng)檢驗(yàn)φ＝0符合題意．（Ⅱ）由題意得g(x)=sin2x+sin(2x+π化簡得g(x)=sin2x+sin2xcosπ因?yàn)?≤x≤π4，所以所以當(dāng)2x+π6=π2，即x=π6若選擇條件①③；（Ⅰ）由條件①及已知得T=2πω=π由條件③得2×π4+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ＝k因?yàn)閨φ|＜π2，所以φ＝0，所以f（x）＝sin2（Ⅱ）由題意得g(x)=sin2x+sin(2x+π化簡得g(x)=sin2x+sin2xcosπ因?yàn)?≤x≤π4，所以所以當(dāng)2x+π6=π2，即x=π68．已知函數(shù)f(x)=asin(π2x+φ)(a＞0，0＜φ＜π)的圖像如圖，其中A，B分別為最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．C，D（1）求f（x）的解析式；（2）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．【解答】解：（1）∵f（x）＝asin（π2x+φ∴周期T=2π∴CD=T∴S△ABD=12×CD×（yA?yB）=∴a＝2，∴f（x）＝2sin（π2x+φ又M（0，3），∴f（0）＝2sinφ=3∴sinφ=3又M為上升點(diǎn)，且0＜φ＜π，∴φ=π∴f（x）＝2sin（π2x+（2）由（1）知f（x）的周期為4，又2023＝4×505+3，∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2022）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]×505+f（0）+f（1）+f（2）＝（3+1?3?1）×505+（3＝1，9．函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，其中B（7π3，0），且最高點(diǎn)A與B的距離（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若α∈（?π6，π3），f（4α）=【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）的最大值為3，又A為最高點(diǎn)，即A的縱坐標(biāo)為3，所以可設(shè)A（a，3），B（7π3所以|AB|=(7π3?a)2因?yàn)锳在B點(diǎn)左側(cè)，故a=10π3舍去，可得A（可得14T＝xB﹣xA＝π，可得T＝4π又因?yàn)?πω=T＝4π，可得ω又因?yàn)辄c(diǎn)A在f（x）上，故sin（2π3+所以2π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=?π6+又因?yàn)閨φ|＜π所以k＝0時(shí)，φ=?π所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝3sin（12（2）因?yàn)閒（4α）=3所以3sin[2α+（?π6）]=3，即sin（2α?因?yàn)棣痢剩?π6，π3），可得2α?π6∈所以cos（2α?π6）所以cos2α＝cos[（2α?π6）+π6]＝cos（2α?π6）cos10．已知函數(shù)f（x）＝2sinωx，其中常數(shù)ω＞0．（1）令ω＝1，判斷F(x)=f(x)+f(x+π（2）y＝f（x）在[?π4，（3）令ω＝2，將函數(shù)y＝f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖像．對任意a∈R，求y＝g（x）在區(qū)間[a，a+10π【解答】解：（1）由題意可得f（x）＝2sinx，可得F(x)=f(x)+f(x+π2)=2sinx+2sin(x+π2∵F(π4)=2∴F(?π4)≠F(∴F（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）對于函數(shù)f（x）＝2sinωx，其中常數(shù)ω＞0，若y＝f（x）在[?π則ω?（?π4）≥?π2，且ω?2π3≤π2（3）f（x）＝2sin2x，若y＝f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin2(x+∴g(x)=2sin2(x+π令g（x）＝0，得x=kπ+5π12或∵[a，a+10π]恰含10個(gè)周期，∴當(dāng)a是零點(diǎn)時(shí)，在[a，a+10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為21；當(dāng)a不是零點(diǎn)時(shí)，a+kπ（k∈Z）也都不是零點(diǎn)，區(qū)間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故在[a，a+10π]上有20個(gè)零點(diǎn)．綜上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零點(diǎn)的所有可能值為21或20．11．亞洲第三大摩天輪“水城之眼”是聊城的地標(biāo)建筑，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組為了測量摩天輪的最高點(diǎn)P距地面的高度，選取了與點(diǎn)P在地面上的射影A在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)B，C（如圖所示）；現(xiàn)測得∠ABC＝∠ACB＝∠ACP＝30°，B，C兩點(diǎn)間的距離是390米．（1）求最高點(diǎn)P距地面的高度PA；（2）若摩天輪最低點(diǎn)Q距地面的距離QA＝20米，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要20分鐘．從游客進(jìn)入摩天輪位于最低點(diǎn)Q處的轎廂開始計(jì)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為h米．若在摩天輪所在的平面內(nèi)，以PQ的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，PO所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，h（單位：米）關(guān)于t（單位：分鐘）的函數(shù)解析式．【解答】解：（1）由題意得，∠BAC＝120°，在△ABC中，由正弦定理得：ACsin∠ABC即AC=39032又PA⊥AC，∠PCA＝30°，所以PAAC=tan30°所以PA=33×AC=（2）以PQ的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，PO所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由PA＝130，QA＝20，可得摩天輪的半徑為r=130?202=因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)一周需要20分鐘，從而可得每分鐘轉(zhuǎn)2π20設(shè)從Q點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，t分鐘時(shí)轎廂運(yùn)動(dòng)到M，則轉(zhuǎn)過的∠QOM=π10可得∠xOM=π10t設(shè)M（x0，y0），可得：y0＝55sin（π10t?π2）＝﹣55cos而h＝y(tǒng)0+OA＝75﹣55cosπ10t可得解析式為h＝75﹣55cosπ10t，（0≤t12．“南昌之星”摩天輪于2006年竣工，總高度160m，直徑153m．勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時(shí)30min．以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，畫示意圖，如圖1．設(shè)座艙A為起始位置如圖2，經(jīng)過xmin后，OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OP，此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度h（x）（m）滿足h（x）＝Msin（ωx+φ）+K，其中M＞0，ω＞0，φ∈[﹣π，π]．（1）根據(jù)條件求出h（x）（m）關(guān)于x（min）的解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的第一圈內(nèi)，有多長時(shí)間P點(diǎn)距離地面不低于45.25m？【解答】解：（1）由題意得M+K=160?M+K=160?153，可得M=76.5又ω=2π由于A（0，7）在函數(shù)圖象上，可得7＝76.5sinφ+83.5，可得sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，所以φ=?π所以h（x）＝76.5sin（π15x?π2（2）由76.5sin（π15x?可得sin（π15x?π2又0≤x≤30時(shí)，可得?π2≤所以?π6≤解得5≤x≤25，故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的第一圈內(nèi)，有20分鐘P點(diǎn)距離地面不低于45.25m．13．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個(gè)半徑為3m的筒車，按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周的時(shí)長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P裝剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則y與時(shí)間t（單位：min）之間的關(guān)系為y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π（Ⅰ）求A，ω，φ，b的值；（Ⅱ）盛水筒出水后至少經(jīng)過多長時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)？【解答】解：（Ⅰ）由題知T＝2=2πω，得ω＝由題意知A＝3，b=32，φ（Ⅱ）方法一：∵盛水筒出水后到最高點(diǎn)至少經(jīng)歷13∴t=13T=方法二：由f（t）＝3sin（πt?π6）+32=所以πt?π6=π2+2kπ，即t=2當(dāng)k＝0時(shí)，盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)t=2314．已知向量m→=（3sinx2，1），n→=（cosx2，cos2x2（1）若f（x）=56，且x∈（π3，5π（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2acosB＝bcosC+ccosB，求角B及f（A+π【解答】解：（1）f（x）=m→?n→=3sinx=32sinx+1＝sin（x+π6）∵f（x）＝sin（x+π6）∴sin（x+π6）又∵x∈（π3，5π6），∴x+π6∈（∴cos（x+π6）∴sinx＝sin（x+π6）cosπ6?cos（=1（2）∵2acosB＝bcosC+ccosB，∴2acosB＝a，∴cosB=1∴B=πf（A+π6）＝sin（A+π∵0＜A＜2π∴π3＜A+∴12＜sin（A+π即f（A+π6）的取值范圍為（1215．記△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且3cosC＝2sinAsinB．（1）求sinCsinAsinB（2）若A=π6，a=7，求c【解答】解：（1）由已知得3cosC＝﹣3cos（A+B）＝﹣3cosAcosB+3sinAsinB＝2sinAsinB，即sinAsinB＝3cosAcosB，可知：tanAtanB＝3，所以sinC≥23tanAtanB=23（2）因?yàn)锳=π6，結(jié)合tanAtanB＝3，可得tanB＝33，所以sinB=33由正弦定理得7sinπ6=tanC＝﹣tan（A+B）=?tanA+tanB所以sinC=567，由正弦定理得c故S△ABC=116．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）﹣2cos2（ωx+φ2）+1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為（1）當(dāng)x∈[?π4，π2（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π6個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，記方程g（x）=43在x∈[π6，4π3]上的根從小到大依次為x1，x2，x3，…，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2【解答】解：（1）f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ?因?yàn)閒（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π2，所以T＝π=2πω又由f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）＝2sin（φ?π6）＝0，∴φ?π6=kπ∵0＜φ＜π，∴φ=π6，∴函數(shù)f（x）＝2sin2令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π4+kπ≤x≤則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[π4+kπ，3π4+kπ]，k∈可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[π4，π（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π6個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝2sin（2x?再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（xg（x）＝2sin（4x?π3），由方程g（x）=43，即2sin（4x?π3）=∵x∈[π6，4π3]，可得4x?π3∈[π3，5π]，設(shè)θ＝4x?π結(jié)合正弦函數(shù)y＝sinθ的圖象，可得方程sinθ=23在區(qū)間[π3，5π其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即4x1?π3+4x2?π3=3π，4x2?π3+4x3?π3=5π，4x3?π3+4x解得x1+x2=11π12，x2+x3=17π12，x3+x4=23π12，x所以x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=20π17．已知函數(shù)f(x)=3sin(2ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)?1(ω＞0，|φ|＜π2)的圖象過點(diǎn)（0，﹣1），若存在x1，x2，使得f（1）求f（x）的解析式；（2）將f（x）的圖象向右平移π24個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，?m∈[?π12，π6]，?n∈[12，3]，【解答】解：（1）由題意，f(x)=3因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)（0，﹣1），所以sin(φ?π6)=?12，φ?π6由于|φ|＜π2，所以k＝0時(shí)得由f（x1）f（x2）＝4，得f（x1），f（x2）皆為最大值或最小值，則結(jié)合|x1?x2所以f(x)=2sin(4x?π（2）將f（x）的圖象向右平移π24個(gè)單位長度，得y=g(x)=2sin(4x?由m∈[?π12，π6]，得4m?π由題可知存在n∈[12，3]，使得an+nlnn令?(n)=?lnn?2n，n∈[12，3]，則?′(n)=?1n+2n2=2?nn知h（n）在[12，2)上單調(diào)遞增，在（2，3]上單調(diào)遞減，則h（x）max＝h則a≤﹣ln2﹣1，即a的取值范圍為（﹣∞，﹣ln2﹣1]．18．某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購房，決定在一塊扇形空地修建一個(gè)矩形花園，如圖所示．已知扇形角∠AOB=2π3，半徑OA＝120米，截出的內(nèi)接矩形花園MNPQ的一邊平行于扇形弦AB．設(shè)∠POA＝θ，PQ＝（1）以θ為自變量，求出y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形花園MNPQ的面積最大，并求其最大面積．【解答】解：（1）由題意得OA＝OB＝120米，且∠AOB=2π3，則∠OAB＝∠OBA在矩形PNMQ中∠PQM=π2，∴∠PQO在△OPQ中，由正弦定理得PQsinθ=OP∴y＝803sinθ，θ∈（0，π3（2）由（1）得y＝803sinθ，θ∈（0，π3在△OPQ中，∠QPO=π3由正弦定理得PQsinθ=OQsin(π3?θ)，即在△QOM中，由正弦定理得QOsinπ6=QMsin設(shè)矩形花園MNPQ的面積為S，則S＝QM?OQ＝803sinθ?240sin（π3?θ）＝192003（32sinθcosθ?12sin2θ）＝4800∵θ∈（0，π3），∴（2θ+π6）∈（π∴當(dāng)2θ+π6=π2，即θ=π故當(dāng)θ=π6時(shí)，矩形花園MNPQ的面積最大，且最大面積為480019．已知函數(shù)f(x)=2sin(x?π（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣a在區(qū)間[0，7π12]上恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3（x1＜x2＜（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求sin（2x1+x2﹣x3）的值．【解答】解：（1）f(x)=2sin(x?π3)sin(x+π6)+23cos2(x?π3)?3=2sin（x?π3）cos[?π2+（x+π6）]+3[cos（2x?2π∴令?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ（k∈Z），解得?π12+故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π12+kπ，5π12+kπ（2）（i）由（1）得g（x）＝2sin（4x?π3）﹣a，x∈[0，7π12]，令t＝4x?π3，函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣a在區(qū)間[0，7π12]上恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝2sint與y＝a在[?作出函數(shù)y＝2sint與y＝a的圖象，如圖所示：由圖象可知當(dāng)?3≤a≤0時(shí)，函數(shù)y＝2sint與y＝a在[?π故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[?3（ii）由（i）可知，設(shè)函數(shù)y＝2sint與y＝a在[?π3，2π]上恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，t3（t1＜t2＜t由圖象可得t2+t3＝3π，t3﹣t1＝2π，則2t1+t2﹣t3＝2（t3﹣2π）+t2﹣t3＝﹣π，即2（4x1?π3）+（4x2?π3）﹣（4x3?π3）＝﹣π，則8x1+4x∴2x1+x2﹣x3=?π12，又sin[﹣（π4?π6）]＝﹣sin（π4?π6）＝﹣（sinπ4cosπ故sin（2x1+x2﹣x3）=220．已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4sin2ωx①函數(shù)f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對稱且f②函數(shù)f（x）的圖像的一條對稱軸為直線x=?π3且（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若x∈[π2，3π4]，函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，求【解答】解：∵f（x）＝2sinωxcosφ+2sinφ﹣4sin2ωx2sin＝2sinωxcosφ+2sinφ﹣2（1﹣cosωx）sinφ＝2sinωxcosφ+2cosωxsinφ＝2sin（ωx+φ），又其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差π4∴T4=π4，∴T＝∴f（x）＝2sin（2x+φ），若選①，則函數(shù)f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位長度后為y＝2sin（2x+π又其為偶函數(shù)，∴π3+φ=π∴φ=π6+kπ，（k∈Z），又|φ|＜π∴φ＝?5π6∴f（x）＝2sin（2x?5π6若選②，∵函數(shù)f（x）的圖像的一條對稱軸為直線x=?π3，又而?π3+π2=π6，∴x=∴f（π6∴2×π6+φ＝?π2∴φ＝?5π6+2kπ，k∈Z，又|φ|＜∴φ＝?5π6∴f（x）＝2sin（2x?5π6故無論選①還是選②，都有f（x）＝2sin（2x?5π6（1）函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝2sin（2x?5π6（2）∵x∈[π2，3π4]，∴2x?5π6∈[π令t＝2x?5π6而y＝2sint與y＝a在t∈[π6，2π3]的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)t1，t2關(guān)于t∴t1+t22=π2，∴即（2x1?5π6）+（2x2?5π6）＝解得x1+x2=4π∴x1+x2的值為4π321．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=23，求【解答】解：（1）S1=12a2sin60°=3S2=12b2sin60°=3S3=12c2sin60°=3∵S1﹣S2+S3=34a2?34b2+解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB=13，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cos∴cosB=2∴cosB=a解得：ac=3S△ABC=12acsinB∴△ABC的面積為28（2）由正弦定理得：bsinB∴a=bsinAsinB，c由（1）得ac=3∴ac=bsinAsinB已知，sinB=13，sinAsinC解得：b=122．為扎實(shí)推進(jìn)美麗中國建設(shè)，豐富市民業(yè)余生活，某市計(jì)劃將一圓心角為π3，半徑為R的扇形OAB空地（如圖），改造為市民休閑中心，休閑中心由活動(dòng)場地和綠地兩部分構(gòu)成，其中活動(dòng)場地是扇形的內(nèi)接矩形，其余部分作為綠地．設(shè)點(diǎn)P為AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)．請以點(diǎn)P【解答】解：方案1：如圖1，矩形PQMN內(nèi)接于扇形OAB，在Rt△ONP中，設(shè)∠POB＝θ，則ON＝Rcosθ，NP＝Rsinθ，在Rt△OMQ中QMOM所以O(shè)M=33QM=設(shè)矩形PQMN的面積為S，則S=MN?NP=R由0＜θ＜π3，得所以當(dāng)2θ+π6=π2因此，當(dāng)θ=π6時(shí)，活動(dòng)場地面積取得最大值，最大值為方案2：如圖2，矩形PQMN內(nèi)接于扇形OAB，過點(diǎn)O作MN的垂線分別交MN，PQ于S，T，由對稱性可知，OT平分∠AOB，在Rt△OPT中，設(shè)∠POT＝θ，則OT＝Rcosθ，PT＝Rsinθ，在Rt△ONS中，NSOS所以O(shè)S=3NS=3設(shè)矩形PQMN的面積為S，則S＝MN?NP＝PQ?ST=2=R=R=R∵0＜θ＜π6，∴∴當(dāng)2θ+π3=π2∴，當(dāng)θ=π12時(shí)，活動(dòng)場地面積取得最大值，最大值為23．已知函數(shù)f(x)=4cosωx?cos(ωx?π3)?1(ω＞0)的部分圖像如圖所示，若AB→?（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[0，13π12]上有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，（x1＜x2＜x3），求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出cos（x1+2x2+【解答】解：（1）由題意可知：f(x)=2cosωx(3=23=3=2sin(2ωx+π設(shè)函數(shù)f（x）的周期為T，則A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由圖像可知：x2﹣x1=T4，y2﹣y1＝2，x3﹣x2=T2，y3AB→=(T由題意得：AB→解得：T＝π，T=2π2ω=π∴f(x)=2sin(2x+π（2）由題意，函數(shù)y＝f（x）﹣m在[0，13π12]上有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，x1，x2，即曲線y＝f（x）與y＝m在[0，13π設(shè)t=2x+π6，當(dāng)x∈[0，13π則y＝2sint，t∈[π由圖像可知m∈[1，3]，t1+t2＝π，t2+t3＝3∴t1+2t2+t3＝4π，即(2x則x1∴cos（x1+2x2+x3）＝cos5π324．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x?π6）+2cos2x﹣1（x∈（1）若f（α）=32，α∈[0，π2（2）若不等式[f（x）]2+2acos（2x+π6）﹣2a﹣2＜0對任意x∈（?π12，（3）將函數(shù)f（x）的圖像向左平移π12個(gè)單位，然后保持圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?m，得到函數(shù)g（x）的圖像，若存在非零常數(shù)λ，對任意x∈R，有g(shù)（x+λ）＝λg（x）成立，求實(shí)數(shù)【解答】解：（1）由題意可知，f(x)=sin(2x?π∴f(α)=sin(2α+π∴2α+π6=∵α∈[0，π∴α=π12或（2）[f(x)=?cos令t=cos(2x+π∴cos(2x+π2a(t?1)＜t令m=t?1∈(?1，0)，t∴2a≥﹣1，解得：a≥?1即實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件是a∈[?1（3）∵f(x)=sin(2x+π∴f（x）的圖像向左平移π12個(gè)單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?可得y=sin(2mx+2×π∵g(x)=sin(2mx+π3)，存在非零常數(shù)λ，對任意的x∈R，g（x+λ）＝λgg（x+λ）在R上的值域?yàn)閇﹣1，1]，λg（x）在R上的值域?yàn)閇﹣|λ|，|λ|]，∴|λ|＝1，當(dāng)λ＝1時(shí)，g（x+1）＝g（x），1為g（x）的一個(gè)周期，即1為g（x）最小正周期的整數(shù)倍，所以kπm=1，即m＝kπ（k∈Z且當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，g(x?1)=sin(2mx+π由誘導(dǎo)公式可得2m＝（2n+1）π，n∈Z，即m=(2n+1)?π所以當(dāng)λ＝1時(shí)，m＝kπ（k∈Z且k≠0）；當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，m=(2n+1)?π25．已知函數(shù)f(x)=2sin(2x?π（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)x∈[7π12，13π12]，關(guān)于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m【解答】解：（1）令2kπ?π2≤2x?π3≤2kπ解得kπ?π12≤x≤kπ+5π12故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π12，kπ+5π12]，（2）因?yàn)閇f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0等價(jià)于[f（x）﹣（m+1）][f（x）﹣m]＝0，解得f（x）＝m+1或f（x）＝m，因?yàn)閤∈[7π12，13π12]，所以2x?π3∈[5π6如圖，繪出函數(shù)f（x）的圖像，方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于f（x）＝m+1有一個(gè)實(shí)數(shù)解且f（x）＝m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解或f（x）＝m+1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解且f（x）＝m有一個(gè)實(shí)數(shù)解，①當(dāng)m＜﹣1或m＞2時(shí)，f（x）＝m無解，不符合題意；②當(dāng)m＝﹣1時(shí)，則m+1＝0，f（x）＝m有一個(gè)實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；③當(dāng)﹣1＜m≤0時(shí)，則0＜m+1≤2，f（x）＝m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意；④當(dāng)0＜m≤2時(shí)，則1＜m+1≤3，f（x）＝m有一個(gè)實(shí)數(shù)解，f（x）＝m+1至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合題意，綜上，m的取值范圍為[﹣1，0]．26．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的解析式為f（x）＝sin（2x+π6），x∈（1）求函數(shù)y＝f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝sin（2x+5π6），若對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），求實(shí)數(shù)（3）將函數(shù)f（x）的圖像向右平移π4個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝h（x）的圖像．記方程h（x）=23在x∈[π6，4π3]上的根從小到依次為x1，x2，?，xn，試確定n的值，并求x1+2x2+2x3+?+2x【解答】解：（1）令2x+π6=2kπ+π2解得x＝kπ+π6（k∈即當(dāng)x＝kπ+π6（k∈Z）時(shí)，f（（2）∵對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），∴對任意x1，x2∈[0，t]，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），即函數(shù)f（x）﹣g（x）在[0，t]上是增函數(shù)；f（x）﹣g（x）＝sin（2x+π6）﹣sin（2x＝（sin2x?cosπ6+cos2x?sinπ6）﹣（sin2x?cos5π6+=3sin2x∵y=3sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π4，kπ+π4∴[0，t]?[kπ?π4，kπ+π4]（∴0＜t≤π故實(shí)數(shù)t的最大值為π4（3）函數(shù)f（x）的圖象向右平移π4得到函數(shù)y＝sin（2（x?π4）+π6再把橫坐標(biāo)縮小為原來的12得到y(tǒng)＝h（x）＝sin（4x?π作函數(shù)y=23與h（x）＝sin（4x?π3）（x∈[由圖象可知，共有5個(gè)交點(diǎn)，故方程h（x）=23在x∈[π6，4π令|sin（4x?π4x?π3=kπ+π2故x=kπ4+5π24又∵x∈[π6，4π∴x=5π24，11π24，17π24，故x1+x2＝2×11π24，x2+x3＝2×17π24，x3+x4＝2×23π24，x4故x1+2x2+2x3+2x4+x5＝2（11π24+17π27．已知函數(shù)是f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），P（76，0）函數(shù)f（x）圖象上的一點(diǎn)，M，N是函數(shù)f（x）圖象上一組相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，在x軸上存在點(diǎn)T，使得PT→（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（Aπ）=62（3）已知PH→=13PT→，過點(diǎn)H的直線交PM于點(diǎn)Q，交PN于點(diǎn)K，PQ→=λ【解答】解：（1）由題意知，S四邊形PMTN＝2S△PMN，連接MN，交x軸于點(diǎn)Q，則若使四邊形PMTN的面積最小，則△PMN的面積最小，即|PQ|最小，故此時(shí)P、Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)T是函數(shù)f（x）的最小正周期，則|PQ|=T四邊形PMTN的面積的最小值為23；故S四邊形PMTN＝2S△PMN＝2×12×故T＝2，故ω=2π2∵P（76，0）函數(shù)f（x∴3sin（76π+φ故76π+φ＝kπ（k∈Z），又∵|φ|＜∴φ=?π故f（x）=3sin（πx?（2）∵f（Aπ）=3sin（A?π∴sin（A?π6）∴A?π6=2kπ+π4或A?π6=2故A＝2kπ+5π12或A＝2kπ+11π12（（3）∵PQ→=λPM→，PK∴PM→=1∵PT→∴PT→又∵PH→∴13即PT→=3?1λ又∵T、Q、K三點(diǎn)共線，∴3?1λ+3?故1λ28．若函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）滿足：f（x）+g（x）＝0有解，則稱函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）具備“相融關(guān)系”．（1）若f（x）=log28x2，g（x）＝log2x?log4x，判斷y＝f（x）與y（2）若f（x）＝sinx?3cosx與g（x）＝sin（x+π3）﹣a在x∈[?π3（3）若a＜0，且f（x）=52sin2x+a與g（x）=52sinx+45cos【解答】解：（1）由f(x)=log28令?(x)=f(x)+g(x)=1所以y＝f（x）與y＝g（x）不具備“相融關(guān)系”；（2）t=sinx?cosx=2sin(x?π4)∈[?2設(shè)u（t）＝f（x）+g（x）＝﹣at2+|t|+a，且u（t）為偶函數(shù)，考慮t∈[0，2所以u（t）＝﹣at2+t+a，當(dāng)a＝0時(shí)，u（t）＝t＝0，滿足題設(shè)，當(dāng)a≠0時(shí)，u(t)=?a(t?1若a＜0，u（t）在[0，2]上單調(diào)遞增，若a≥24，u(t)max=u(12a)=a+1若0＜a＜24，u（t）在[0，2]上遞增，u（t）≥綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞，0]∪[2（3）設(shè)?(x)=f(x)+g(x)=5sinxcosx+5觀察到?(?π2)=?52+a＜0，因此所以?(x)==1當(dāng)且僅當(dāng)sinx=15，cosx=25時(shí)，所以整數(shù)a的最大值﹣11．29．已知函數(shù)f（x）=12sin（ωx?π3）?3sin2（ω2x?π6）+32，（ω＞0，x∈R）的最小正周期為4．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小是為m（t），記g（（1）求f（x）的解析式及對稱軸方程；（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝2|x﹣k|，H（x）＝x|x﹣k|+2k﹣8，其中k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式2k﹣5g（t）≤0有解．若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）＝H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）=12sin（ωx?π3）?3sin2（ω2x?π6）+32=12sin（ωx?π3）?3×1?cos(ωx?∵函數(shù)f（x）=12sin（ωx?π3）?3sin2（ω2?π6）+32，（x∈R）的最小正周期為4，∴T=令π2x=π2+kπ，解得x＝2k+1，故f（x）的解析式為f（x）＝sinπ2x，對稱軸方程為x＝2k+1（k∈Z（2）由（1）知f（x）＝sinπ