專(zhuān)題08線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的三種考法類(lèi)型一、求值問(wèn)題例.數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，A，B表示的數(shù)分別為m，n，點(diǎn)C在B的右側(cè)，．(1)如圖1，若多項(xiàng)式是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，請(qǐng)直接寫(xiě)出m，n的值：(2)如圖2，在（1）的條件下，長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段（E在F的左側(cè)）在A，B之間沿?cái)?shù)軸水平滑動(dòng)（不與A，B重合），點(diǎn)M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，在滑動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)．①直接寫(xiě)出點(diǎn)D表示的數(shù)____________（用含m，n的式子表示）；②若，試求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，圖中共有三條線(xiàn)段AB，AC和BC，若其中有一條線(xiàn)段的長(zhǎng)度是另外一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的2倍，則稱(chēng)點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的“巧點(diǎn)”．（1）線(xiàn)段的中點(diǎn)__這條線(xiàn)段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，已知AB＝15cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝__s時(shí)，Q為A，P的“巧點(diǎn)”．【變式訓(xùn)練2】已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D在線(xiàn)段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．【變式訓(xùn)練3】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足，若點(diǎn)M為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)______．類(lèi)型二、證明定值問(wèn)題例.如圖，已知線(xiàn)段，，線(xiàn)段在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若．（1）求線(xiàn)段，的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值，②是定值，請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的一個(gè)并加以說(shuō)明．【變式訓(xùn)練1】已知線(xiàn)段AB＝m，CD＝n，線(xiàn)段CD在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿(mǎn)足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線(xiàn)段CD以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，若M是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；②P是直線(xiàn)AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線(xiàn)段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)，表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)是射線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），是線(xiàn)段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線(xiàn)段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）若點(diǎn)表示的有理數(shù)是0，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______；若點(diǎn)表示的有理數(shù)是6，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______；（2）點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)寫(xiě)出求的長(zhǎng)的過(guò)程；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練3】(1)如圖1，在直線(xiàn)上，點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，點(diǎn)為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，且使關(guān)于的方程無(wú)解.①求線(xiàn)段的長(zhǎng)；②線(xiàn)段的長(zhǎng)與點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置有關(guān)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，試說(shuō)明的值不變.類(lèi)型三、數(shù)量關(guān)系例.數(shù)軸上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，線(xiàn)段在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)均在之間時(shí)，若，則_________，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_______，________；（2）如圖2，當(dāng)線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)在之間時(shí)，畫(huà)出草圖并求與的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知線(xiàn)段AB，延長(zhǎng)線(xiàn)段BA至C，使CB＝AB．（1）請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫(xiě)出＝_______；（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線(xiàn)AB向左運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，求的值；②在點(diǎn)D，E沿直線(xiàn)AB向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，M，N分別是線(xiàn)段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線(xiàn)段BD的三等分點(diǎn)時(shí)，求MN的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線(xiàn)段DE在線(xiàn)段AB上移動(dòng)，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C是線(xiàn)段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）若AB＝2DE，線(xiàn)段DE在直線(xiàn)上移動(dòng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式，則＝．課后作業(yè)1.已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從左到右順次為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個(gè)單位長(zhǎng)度，BC=2AB．（1）填空：a=，b=，c=（2）點(diǎn)D從點(diǎn)A開(kāi)始，點(diǎn)E從點(diǎn)B開(kāi)始，點(diǎn)F從點(diǎn)C開(kāi)始，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度、4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F追上點(diǎn)D時(shí)停止動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．試問(wèn)：①當(dāng)三點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)以后，t為何值時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？②F在追上E點(diǎn)前，是否存在常數(shù)k，使得的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)，為定值．若存在，請(qǐng)求出k和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．已知點(diǎn)在線(xiàn)段上，，點(diǎn)、在直線(xiàn)上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線(xiàn)段在線(xiàn)段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線(xiàn)段上，，，求的長(zhǎng)．3.已知線(xiàn)段AB，點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．(1)若，，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．(2)若點(diǎn)E是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段DE和AB的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．4.已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D在線(xiàn)段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．5．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，是最大的負(fù)整數(shù)，且，滿(mǎn)足．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立刻返回到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后再返回到點(diǎn)并停止．（1）________，________，________．（2）點(diǎn)從點(diǎn)離開(kāi)后，在點(diǎn)第二次到達(dá)點(diǎn)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)秒鐘，，求的值．（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，假設(shè)秒鐘時(shí)，、、三點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的的值．6．七（1）班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線(xiàn)段中點(diǎn)”內(nèi)容時(shí)，得到一個(gè)很有意思的結(jié)論，請(qǐng)跟隨他們一起思考.（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，線(xiàn)段，點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段和線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)________；若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變（請(qǐng)?jiān)趫D2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整），得到的線(xiàn)段與線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________.（2）應(yīng)用：如圖3，現(xiàn)有長(zhǎng)為40米的拔河比賽專(zhuān)用繩，其左右兩端各有一段（和）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求.已知磨損的麻繩總長(zhǎng)度不足20米.小明認(rèn)為只利用麻繩和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長(zhǎng)20米的拔河比賽專(zhuān)用繩.小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線(xiàn)段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專(zhuān)用繩，請(qǐng)你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：①在圖中標(biāo)出點(diǎn)、點(diǎn)的位置，并簡(jiǎn)述畫(huà)圖方法；②請(qǐng)說(shuō)明①題中所標(biāo)示點(diǎn)的理由.7．問(wèn)題背景整體思想就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理，整體思想在代數(shù)和幾何中都有很廣泛的應(yīng)用．(1)如圖1，A、B、O三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，射線(xiàn)OD和射線(xiàn)OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE的度數(shù)為（直接寫(xiě)出答案）．(2)當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式a+bx+2021的值為2020，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，求代數(shù)式a+bx+2021的值．(3)①如圖2，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A、點(diǎn)E從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)分別沿直線(xiàn)AB向左、向右勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度的3倍，且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿(mǎn)足CE＝3CD，求的值；②如圖3，在①的條件下，若點(diǎn)E沿直線(xiàn)AB向左運(yùn)動(dòng)，其它條件均不變．在點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P、Q分別是AE、CE的中點(diǎn)，若運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，恰好CE＝4PQ，求此時(shí)的值．8．已知：如圖1，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，AB＝12cm，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線(xiàn)BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線(xiàn)段AM上，D在線(xiàn)段BM上）（1）若AM＝4cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，此時(shí)AC＝，DM＝；（直接填空）（2）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了2s，求AC+MD的值．（3）若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝2AC，則AM＝（填空）（4）在（3）的條件下，N是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求的值．9．如圖，數(shù)軸正半軸上的，兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)，，為原點(diǎn)，若，線(xiàn)段.（1）______，______；（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向軸正半軸運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)；點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的3倍；（3）數(shù)軸上還有一點(diǎn)表示的數(shù)為32，若點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立刻以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，求點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，、兩點(diǎn)之間的距離為4.10．已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如果點(diǎn)P以每分鐘3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度和每分鐘4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度也向左運(yùn)動(dòng)，且三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等.（直接寫(xiě)出答案）11．如圖，P是定長(zhǎng)線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、