3.2函數模型及其應用3.2.1幾類不同增長的函數模型

1859年，當澳大利亞的一個農夫為了打獵而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態災難爆發了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數量不斷翻番.兔子每年能生產4到6次，一窩6-10只1950年，澳大利亞的兔子的數量從最初的五只增加到了五億只，這個國家絕大部分地區的莊稼或草地都遭到了極大損失.絕望之中，人們從巴西引入了多發黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子.整個20世紀中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過.這種現象能否用我們所學的數學知識來解釋呢？請進入本節的學習！例1假設你有一筆資金用于投資，現在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？方案三可以用函數進行描述.設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數進行描述；思路分析：2.如何建立日回報效益與天數的函數模型？1.依據什么標準來選取投資方案？日回報效益，還是累計回報效益？方案二可以用函數進行描述；注意x與y的意義3.三個函數模型的增減性如何？4.要對三種方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析，如何分析？根據函數性質判斷x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4三種方案所得回報的增長情況如表和圖：2y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1函數圖象是分析問題的好幫手下面再看累計的回報數：結論：投資1～6天,應選擇方案一;投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應選擇方案三.天數回報/元方案一二三40123456789101180120160200240280320360400440103060100150210280

3604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8例2：某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？1．確定x的取值范圍，即函數的定義域．2．通過圖象說明選用哪個函數模型？為什么？思考：812345672004006008001000y＝0.25xy＝log7x＋1y＝1.002xOy＝5yx

首先計算哪個模型的獎金總數不超過5萬元.

對于模型y=0.25x，它在區間[10,1000]上遞增，而且當x=20時，y=5,因此，當x>20時，y>5,所以該模型不符合要求；對于模型y=1.002x，由函數圖象，并利用計算器，可知在區間（805，806）內有一個點x0滿足由于它在區間[10,1000]上遞增，因此當x>x0時，y>5,所以該模型也不符合要求；對于模型y=log7x+1,它在區間[10,1000]上遞增，而且當x=1000時，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.

計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有

成立

如何判斷該式是否成立令

綜上所述，模型確實能符合公司要求.時，

所以,當

說明按模型獎勵,獎金不會超過利潤的25%，

利用計算器或計算機作出函數f(x)的圖象由圖象可知它是遞減的，

因此

即

構造函數微課：指數函數、冪函數、對數函數增長的差異比較1.列表并在同一坐標系中畫出下面這三個函數的圖象(a=2).x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.485x1.82.22.63.03.4…y=2x3.4824.5956.063810.556…y=x23.244.846.76911.56…y=log2

x0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=x2y=2xy=log2

x2.結合函數的圖象找出其交點坐標.

從圖象看出y=log2x的圖象與另外兩函數的圖象沒有交點，且總在另外兩函數圖象的下方，y=x2的圖象與y=2x的圖象有兩個交點(2，4)和（4，16）.x012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2x差異明顯3.根據圖象,分別寫出使不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的自變量x的取值范圍.使不等式log2x<2x<x2的x的取值范圍是(2，4);使不等式log2x<x2<2x的x取值范圍是(0，2)∪(4,+∞).

一般地，對于指數函數y=ax(a>1)和冪函數y=xn(n>0),在區間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內，ax會小于xn,但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0,當x>x0時，就會有ax>xn.指數函數與冪函數的比較

對于對數函數y=logax（a>1)和冪函數y=xn(n>0),在區間（0，+∞）上,隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0,當x>x0時，就會有logax<xn.對數函數與冪函數的比較1）在區間(0,+∞)上，y=ax（a>1)，y=logax(a>1)和y=xn（n>0）都是增函數.因此總會存在一個x0，當x>x0時，就有logax<xn<ax.2）隨著x的增大，y=ax（a>1)的增長速度越來越快，會

遠遠大于y=xn（n>0）的增長速度.

3）隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，

會遠遠小于y=xn（n>0的增長速度.【提升總結】D2.(2018·北京高一檢測)下表是某次測量中兩個變量x,y的一組數據,若將y表示為關于x的函數,則最可能的函數模型是 (

)x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99

A.一次函數模型 B.二次函數模型C.指數函數模型 D.對數函數模型D3.三個變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如下表所示:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關于x分別呈對數函數、指數函數、冪函數變化的變量依次為_________,_________,_________.

幾類不同增長的函數模型類型指數函數模型對數函數模型冪函數模型實際問題理解問題簡化假設數學建模求解模型檢驗模型數學建模步驟1.某品牌茶壺的原售價為80元一個,今有甲、乙兩家茶具店銷售這種茶壺,甲店用如下的方法促銷:如果只購買一個茶壺,其價格為78元/個;如果一次購買兩個茶壺,其價格為76元/個,…;