《曲邊梯形的面積》教學設計課程介紹《曲邊梯形的面積》選自人教A版普通高中課程標準實踐教科書《數學》選修2-2第一章第五節第一課時的內容．定積分的思想方法是高等數學里的重要思想方法，是微積分的重要組成部分，在求解不規則圖形的面積、變速運動的路程、變力作功等問題方面有著廣泛的應用．而求解曲邊梯形面積的過程與思想恰恰是定積分概念的核心內容，所以本節課在定積分的學習中至關重要的地位和作用．教學目標分析1．知識與技能目標(1)知道曲邊梯形的概念，通過實例了解求曲邊梯形面積的過程，初步感受“以直代曲”與逐步逼近的數學思想方法，為今后學習定積分的概念做準備；(2)初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟：“分割、近似代替、求和、取極限”；(3)培養分析與綜合、抽象與概括的能力，以及進行復雜運算的能力．2．過程與方法目標(1)經過求曲邊梯形面積的過程，借助幾何直觀體會“以直代曲”及“無限逼近”的思想；(2)體驗從特殊到一般、從具體到抽象的探究過程；3．情感、態度與價值觀目標(1)認同“有限與無限的對立統一”的辯證觀點；(2)經歷解決問題的全過程，感受成功的樂趣，提高刻苦鉆研數學問題的積極性．教學重點、難點解析重點：直觀體會定積分的基本思想方法：“以直代曲”、“無限逼近”的思想；初步掌握求曲邊梯形面積的方法步驟——”四部曲”(即：分割、近似代替、求和、取極限)．難點：“以直代曲”、“無限逼近”思想的形成過程及理解．教學設計分析(一)情景設置，問題引入人們在社會實踐和生活活動中有時會遇到一些圖形面積計算的問題，史料表明，由于測量田地面積的需要，古埃及人很早就能正確計算矩形、三角形、梯形的面積．我們會求正方形、三角形、平行四邊形、梯形等“直邊圖形”的面積，現實生活中遇到的大量“曲邊圖形”，如何求“曲邊圖形”的面積？設計意圖：體現了數學來源于生活，數學又應用于生活．引導學生認識到平面圖形分成“直邊圖形”和“曲邊圖形”．引出曲邊梯形及求曲邊梯形的面積問題．學情預設：帶著問題走進課堂，誘發學生的好奇心，激發學生的學習興趣和求知欲望．(二)新課教學，合作探究定義：由直線x=a、x=b(ab)、y=0及連續曲線y=f(x)所圍成的圖形叫做曲邊梯形(如圖所示)．設計意圖：了解曲邊梯形的結構特征．學情預設：揭示“直邊圖形”和“曲邊圖形”的本質聯系，得出曲邊梯形的定義．探究1：對于由y=x2與y=0及x=1所圍成的平面圖形面積該怎樣求？(該圖形為曲邊三角形，是曲邊梯形的特殊情況)設計意圖：先考慮特殊的曲邊梯形面積，符合學生的認知規律．由簡單到復雜也有助于學生思維的構建和方法的形成．學情預設：教師引導學生回顧劉徽的“割圓術”求圓的面積的“以直代曲”和無限“逼近”思想．體現化歸的數學方法．在學生已有知識的基礎上，提出解決方案，歸納學生的方案．探究2：能否直接對整條曲邊進行“以直代曲”呢？為什么？設計意圖：類比求圓面積的方法，啟發學生思維活動，讓學生意識到該作法存在缺陷．學情預設：學生討論，交流得出結論：可能導致誤差過大．探究3：怎樣才能盡量減小誤差？怎樣分割？分成怎樣的形狀？分割成多少個？(分割)設計意圖：循序漸進，因勢利導，引導學生尋求減小誤差的方法途徑．學情預設：學生提出自己的看法，同伴之間進行交流、合作，教師利用多媒體課件演示．探究解決途徑：在局部小范圍內“以直代曲”．探究4：對每個小曲邊梯形如何“以直代曲”？采用哪種方案好？(近似代替)設計意圖：引導學生選用恰當的方法作近似代替：小曲邊梯形的面積(曲邊圖形)化歸為小矩形面積(直邊圖形)．學情預設：引導學生回憶平行四邊形面積的求法，用“割補法”轉化為矩形求解；學生可能會提出多種“以直代曲”的方案．教學中，組織學生討論、分析各種方案的利弊及可操作性(常見三種方案)．探究5：如何求分割后曲邊梯形面積的近似值．(求和)設計意圖：分配學生任務，分組合作，嘗試計算三種近似代替的結果，培養學生的合作交流能力，優化解題方案．學情預設：計算難度大(忽略計算過程，對于用到的計算公式加以簡單說明)．由教師示范方案1的計算過程．把學生分成兩組，分別以方案2、方案3按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結果與方案1進行比較．方案1：方案2：方案3：探究6：如何從曲邊梯形面積的近似值求出曲邊梯形的面積？(取極限)步驟一：計算前先用幾何畫板動態演示當n增大時矩形面積和與曲邊梯形面積逼近情況．步驟二：計算出結果后再用幾何畫板以表格的形式計算當n增大時，第三天面積和的值的變化趨勢．設計意圖：步驟一從幾何角度直觀感知、體會“無限逼近”思想，主要是先讓學生從圖形上直觀感知“分割——近似代替——求和——取極限”的必要性和可靠性，從而盡可能消除學生的顧慮；步驟二結合三種計算結果，從代數角度進一步詮釋“無限逼近”思想，為了驗證結果的可靠性，用數據說話，使學生信服．不管是利用圖形還是利用數據，都可以將取極限這個抽象的過程具體、形象、一步一步地呈現出來，有助于學生的理解．體現數形結合的數學方法．學情預設：學生觀察幾何畫板演示，注意觀察近似值的變化趨勢：(1)在不足近似中，隨著n的增大，近似值逐漸增大，并趨近實際面積．(2)在過剩近似中，隨著n的增大，近似值逐漸減小，并也趨近實際面積．通過兩種近似代替的探究，形成左右夾逼，都趨于同一個值，讓學生“心悅誠服”地認識到有極限的方法可以消除用“以直代曲”的方法計算圖形的面積所帶來的誤差．探究7：前面分別以區間EQ\b\bc\[(\F(i-1,n)，\f(i,n))的左端點的函數值和右端點的函數值以及中點的函數值為矩形的高來計算近似面積，若取任意iEQ\b\bc\[(\F(i-1,n)，\f(i,n))的函數值f(i)為高，會有怎樣的結果？設計意圖：認識到近似代替的方式不唯一性，循序漸進，有助于發散學生思維空間，為定積分概念做初步鋪墊．學情預設：學生發表自己的看法，類比書中的方法，進行思考、討論、歸納、總結．得出．探究8：由直線x=a、x=b(ab)、y=0及連續曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積應如何求？設計意圖：通過類比，得到一般曲邊梯形的面積表達，解決本課開始提出的問題，起到前后呼應的作用．體現由特殊上升到一般、由具體到抽象的認識提升．同時進一步為定積分概念做鋪墊．學情預設：由學生觀察、交流．類比：EQ\F(1,n)為[0，1]等分后的小區間長度．從而得出：．(三)實戰演練，鞏固新知練習：直線x=0、x=2、y=0及連續曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積．設計意圖：培養學生自覺運用新知、方法的能力．學情預設：教師巡視，實物展示，加以點評．(四)小結反思，深化認識小結：(1)求曲邊梯形面積的思想方法是什么？(2)具體的步驟是什么？設計意圖：歸納總結本課所學的知識和思想方法．直到在認識上進一步深化、升華．學生預設：以學生敘述為主，不足之處，教師加以補充．(五)課后作惡，鞏固提升作業：汽車以速度v做勻速直線運動時，經過時間t所行駛的路程為s=vt．如果汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)=-t2+2(t的單位：h，v的單位：km/h)，那么它在0t1這段時間內行駛的路程s(單位：km)是多少？課后反思：本節課通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解了定積分的實際背景，并借助幾何直觀體會“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定積分概念的認識基礎，為理解定積分的概念及幾何意義奠定基礎．“曲邊梯形的面積”的內容與解法對學生都是全新的，富有挑戰性，學生學習積極性很高，但不具備解決問題的辦法．如何啟發學生“以直代曲”，進而作和是上她就這節課的關鍵．在研究曲線上點P處的切線問題時，隨著點P附近的曲線被漸次放大，會發現曲線在點P附近，可以用“直線”代替曲線．同樣，將曲邊梯形分割成小曲邊梯形(當然可以任意小)，可以用“直邊”來代替曲邊，即在很小范圍內“以直代曲”．本節課的另一個難點在推理認證環節，通過分割、近似代替、求和三步之后，又面臨一個求極限的問題，由于新課標教材對求極限的內容不做要求，在課堂上有效地利用多媒休技術，前串后連，突破時空局限，使課堂上無法完成的內容得以呈現，大大節省教學時間．教學的藝術不在于傳授本領而在于激勵、喚醒、鼓舞，在教學過程中，不但要傳授學生的課本知識，更要培養學生的數學學習能力，在本節課的開始，從學生已知的圖形面積出發轉到學生未知的曲邊三角形的面積，學生求知欲被調動起來．在教學過程中，老師應利用教材提供的內容讓學生思考、討論、合作交流，替學生創設一個寬松、和諧的課堂氣氛，激發學生探究的欲望．在教過程中讓學生多動手，多動腦，多猜想，三種方案只要學生想到期中一種，就給予及時的表揚，在學習過程中，多提供讓學生體驗成功的快樂的機會，讓學生在學習的過程中享受數學的美．認知學習理論認為，認知結構對學習的影響實質上就是原有的學習（包括經驗的學習）對新的學習的影響．知識結構方面，學生在普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修1中學習了二分法時已經運用了數學的逼近思想；必修2中又用極限思想方法推導了球的體積公式；必修3中進一步探究了“割圓術”的思想方法；選修2-2導數的定義學習中再一次體會到了微分和極限的數學思想．因此從知識結構方面說，高二學生已經具備了一定的以直代曲、逼近、極限思想等數學素養，學生具有了學習本節課求曲邊梯形面積所需的預備知識．能力方面，通過在高中一年多的新課程學習，高二學生無論在參與、合作意識、自主探究能力、邏輯推理能力還是分析問題、解決問題的能力方面都有了明顯提高．然而我們的學生對于以直代曲、無限逼近的認識只是一些支離破碎的感性認識沒有進行系統的學習．再者要學習求曲邊梯形的面積這部分內容，對我們的學生認知水平又要求較高，加之學生沒有系統學習過極限的有關知識，所以“怎么分割”、如何“以直代曲”成了學生的首要難題，也成了本節課的難點；對于無限逼近又比較抽象，所以“逼近、取極限”是學生認知過程中的第二個難點．教學方面，本節課從研究一個特殊的曲邊梯形的面積問題開始，引導學生在自主探究，合作交流的的過程中，經歷了質疑、比較、操作、計算、選擇以及相應的分析、歸納、概括等多樣化的過程，讓學生親身經歷了“逼近思想”的形成過程，從而有了數學經驗的孕育和理解能力的提升，自然而然的會對“分割、以直代曲、求和、取極限”求曲邊梯形面積的方法及數學本質有深刻的理解．教學設計符合學生認知規律，達到了預期的效果．學生方面，多數學生能主動操作圖形，進行小組合作，分割圖形，計算面積，總結，歸納，進而發現規律；在討論、交流、動手操作環節，學生討論激烈，各抒己見，思維活躍，經常有意想不到的結果生成，各小組之間能互評，指出對方分割方案的不足和優點，學生真正經歷了“分割、以直代曲逼近”等“數學化、再創造”的活動過程，讓課堂成為學生發展的空間．不足之處在于：①機械模仿，忽略滲透其中的思想方法；②極限符號eq\o(lim,\s\do8(n→)),求和符號eq\i\su(i＝1,n,f(i))等符號的認識存在知識上的欠缺；③常規數列eq\i\su(i＝1,n,i2)求和學生不熟悉，存在知識上的漏洞．《曲邊梯形的面積》選自人教A版普通高中課程標準實踐教科書《數學》選修2-2第一章第五節第一課時的內容．定積分的思想方法是高等數學里的重要思想方法，是微積分的重要組成部分，在求解不規則圖形的面積、變速運動的路程、變力作功等問題方面有著廣泛的應用．而求解曲邊梯形面積的過程與思想恰恰是定積分概念的核心內容，所以本節課在定積分的學習中至關重要的地位和作用．本節課三維目標設定準確．通過這節課學生已經了解定積分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟——“四步曲”．本節課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發、引導、探索相結合的教學方法．(1)設置“問題”情境，激發學生解決問題的欲望．(2)提供“觀察、探索、交流”的機會，引導學生獨立思考，有效地調動學生思維，使學生在開放的活動中獲取知識．(3)利用多媒體輔助教學，直觀生動地呈現“以直代曲”“逼近”的數學思想．(4)指導學生做到“四會”：會疑；會議；會思；會變．在教學過程中，重視學生的探索經歷和發現新知的體驗，培養學生分析問題、解決問題的能力和思維能力．本課以問題為中心，以解決問題為主線展開，學生主要采用“探究式學習法”進行學習．本課學生的學習主要采用下面的模式進行：分析問題類比遷移探究方法解決問題．本節課遵循以下四條原則：以問題為載體；以學生為主體；以開放教學為手段；以能力提高為目的．重視思想的遷移過程；知識的形成過程；解題的探索過程；情感的體驗過程．通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解定積分的實際背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定積分概念的認知基礎，為理解定積分概念及幾何意義奠定基礎．1．求直線x=0，x=2，y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積．2．汽車以勻速直線運動時經過時間t所行駛的路程為s=vt，如果汽車作變速直線運動，在時刻t的速度v(t)=－t2+2(單位：km/h)，那么它在0≤t≤1(單位：h)這段時間內行駛的路稱s(單位：km)是多少？本節課通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解了定積分的實際背景，并借助幾何直觀體會“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定積分概念的認識基礎，為理解定積分的概念及幾何意義奠定基礎．“曲邊梯形的面積”的內容與解法對學生都是全新的，富有挑戰性，學生學習積極性很高，但不具備解決問題的辦法．如何啟發學生“以直代曲”，進而作和是上她就這節課的關鍵．在研究曲線上點P處的切線問題時，隨著點P附近的