專項培優5章末復習課知識網絡考點聚焦考點一互斥事件、對立事件與相互獨立事件1．互斥事件是不可能同時發生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者必須有一個發生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況．2．若事件A，B滿足P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨立，且當A與B相互獨立時，A與B，A與B，A3．通過對互斥事件和對立事件的概率公式、相互獨立事件的判斷方法及應用的考查，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．例1(1)[2021·新高考Ⅰ卷]有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立(2)[2022·福建廈門高一期末]拋擲一枚質地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”，則()A．甲乙互斥B．乙丙互為對立C．甲乙相互獨立D．甲丙相互獨立考點二古典概型1．古典概型是一種最基本的概率模型，是學習其他概率模型的基礎，解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應用公式P(A)＝mn時，關鍵在于正確理解試驗的發生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點總數n和事件A的樣本點個數m2．通過對古典概型的概率公式及其應用的考查，提升學生的數學抽象和數據分析的數學素養．例2(1)[2022·全國甲卷]從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為()A．15B．13C．25(2)[2022·新高考Ⅰ卷]從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為()A．16B．13C．12(3)[2022·河北石家莊高一期末]全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設小康社會中市民整體素質和城市文明程度較高的城市．全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號．為普及相關知識，爭創全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現隨機抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績(單位：分)如下表：甲單位8788919193乙單位8688919293①根據上表中的數據，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數和方差，并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好；②用簡單隨機抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率．考點三相互獨立事件的概率1．相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經出現一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解．2．通過對相互獨立事件的概率的考查，提升學生的數學抽象和邏輯推理的數學素養．例3(1)[2020·新高考Ⅰ卷]某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%(2)[2022·全國乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大(3)在同一時間內，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為45和34①甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；②至少有一個氣象臺預報準確的概率．專項培優5章末復習課考點聚集·分類突破例1解析：(1)P(甲)＝16，P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(丁)＝636P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故選(2)由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現點數的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數字是2”包含的基本事件有：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，則P1＝636＝1乙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是5”包含的基本事件有：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，則P2＝436＝1丙表示事件“兩次骰子正面向上的數字之和是7”包含的基本事件有：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，則P3＝636＝1對于A，甲乙有可能同時發生，不是互斥事件，A錯誤；對于B，除了乙丙以外還有其他事件發生，不是對立事件，B錯誤；對于C，甲乙同時發生的概率為P4＝136≠P1P2，C對于D，甲丙同時發生的概率為P5＝136＝P1P3，D正確．故選答案：(1)B(2)D例2解析：(1)從6張卡片中任取2張的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種不同取法，其中2張卡片上的數字之積是4的倍數的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種，所以所求概率p＝615＝25.(2)方法一從2，3，4，5，6，7，8中隨機取2個不同的數有21(種)結果，其中這2個數互質的結果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14種，所以所求概率為1421＝23.方法二從2，3，4，5，6，7，8中隨機取2個不同的數有21(種)結果，其中這2個數不互質的結果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，所以所求概率為21-721＝2(3)①x甲＝87+88+91+91+935＝x乙＝86+88+91+92+935＝s甲2＝15[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]s乙2＝15[(86－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]顯然x甲＝x乙②從乙單位5名職工中隨機抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件(用數對表示)為(86，88)，(86，91)，(86，92)，(86，93)，(88，91)，(88，92)，(88，93)，(91，92)，(91，93)，(92，93)，共10個．記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件A，則事件A包含的基本事件為，(86，91)，(86，92)，(86，93)，(88，92)，(88，93)，共5個．由古典概型計算公式可知P(A)＝510＝1答案：(1)C(2)D(3)見解析例3解析：(1)記“該中學學生喜歡足球”為事件A，“該中學學生喜歡游泳”為事件B，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件A＋B，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A·B，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為46%.故選C.(2)設第二盤與甲比賽，則p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3)．設第二盤與乙比賽，則p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3)．設第二盤與丙比賽，則p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2)．p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－