初高中銜接素養提升專題講義第七講集合間的基本關系（精講）【知識點透析】一、子集與真子集的定義與表示1、子集：如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。記作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻畫兩個集合之間關系的，它反映的是局部與整體之間的關系(而元素與集合之間的關系是個體與整體之間的關系)．（2）并不是任意兩個集合之間都具有包含關系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因為2∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因為3∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．二、空集1、定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，并規定：空集是任何集合的子集．在這個規定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：（1）空集只有一個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數?中不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關系0???{0}?{?}或?∈{?}三、子集的性質（1）規定：空集是任意一個集合的子集．也就是說，對任意集合A，都有??A.（2）任何一個集合A都是它本身的子集，即A?A.（3）如果A?B，B?C，則A?C.（4）如果AB，BC，則AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視1，造成思考問題不全面．四、子集的個數如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數有2n個．（2）A的非空子集的個數有2n－1個．（3）A的真子集的個數有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數有2n－2個．五、韋恩圖在數學中，我們經常用平面上的封閉曲線的內部表示集合，這種圖叫做Venn圖。【注意】（1）表示集合的韋恩圖是是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。（2）維恩圖的有點是形象直觀，缺點是公共特征不明顯，畫圖時要注意區分大小關系。【知識點精講】題型一集合間關系的判斷【例題1】已知集合，則下列選項中說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據元素與集合的關系判斷選項B，根據集合與集合的關系判斷選項A、C、D.【詳解】由題意得，集合．所以，B錯誤；由于空集是任何集合的子集，所以A正確；因為，所以C、D中說法正確．故選：B．【例題2】已知集合，集合與的關系如圖所示，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可得，由選項即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.【變式1】已知集合，則下列關系正確的是（）A．B．C．D．?【答案】C【解析】因為集合，所以根據子集的定義可知，故選：C.【變式2】已知集合，則下列關系中正確的是A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，中，0是一個元素，元素與集合之間是屬于或者不屬于關系，故錯誤；中，不成立，不對，故錯誤；中，空集是任何集合的子集，故正確；中，集合與集合之間是真子集或者子集以及相等關系，故錯誤；故選C．題型二子集、真子集、空集的概念【例3】已知集合，則集合A的真子集個數為（）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】．D【解析】由題意得集合所以集合的真子集個數為：．故選：D．【例題4】定義，，，設集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，則A*B集合的真子集的個數是（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的個數【詳解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，則A*B集合的真子集的個數是24﹣1＝15個，故選：B【例5】已知集合，非空集合滿足：（1）；（2）若，則，則集合的個數是（）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】．C【解析】滿足條件的集合應同時含有或或或0，又因為集合非空，所以集合的個數為個【變式1】已知集合，則滿足條件的A的個數為（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】A【分析】根據題意A中必須有1，2這兩個元素，因此A的個數應為集合4，5，的子集的個數．【詳解】解：因為，集合A中必須含有1，2兩個元素，可以含有元素3，4，5，6，因此滿足條件的集合A為，2，，2，，2，，2，，2，3，，2，3，，2，3，，2，4，，2，4，，2，5，，2，3，4，，2，3，4，，2，3，5，，2，4，5，，2，3，4，5，共16個．故選：A．【變式2】已知集合，則集合A的真子集個數為（）A．32 B．4C．5 D．31【答案】．D【解析】解：因為，且的約數有1，2，3，4，6，12，當時，，則，故不符題意，舍去，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，當時，，則，故符合題意，所以，所以集合A的真子集個數為.故選：D．題型三與空集有關的問題【例題6】以下四個選項中，所表示的集合不是空集的是A．B．C． D．【答案】B【分析】根據空集含義逐一判斷.【詳解】表示空集,表示以空集為元素的集合，不是空集；因為無實數解，所以；故選：B【例7】已知集合，且，則實數m的取值范圍是___________.【答案】．【解析】解：分兩種情況考慮：①若B不為空集，可得：，解得：，，且，解得：，②若B為空集，符合題意，可得：，解得：.綜上，實數m的取值范圍是.【變式1】下列命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，則A≠?.其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】．B【解析】①錯，空集是任何集合的子集，有???；②錯，如?只有一個子集；③錯，空集不是空集的真子集；④正確，因為空集是任何非空集合的真子集．故選：B．【變式2】下列四個集合中，是空集的是（）A． B．C． D．【答案】．D【解析】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.題型四集合關系的應用【例8】已知，，，且不是空集，（1）求集合的所有可能情況；（2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】（1）解出集合，根據且可得出所有可能的集合；（2）根據（1）中集合所有可能的情況，結合韋達定理可求得、的值.【詳解】（1），且，則或或；（2）若，由韋達定理可得，解得；若，由韋達定理可得，解得；若，由韋達定理可得，解得.綜上所述，或或.【例9】．設，集合，，且，求實數x，y的值【答案】．或【解析】由得:解得或【例題10】設集合，，且．(1)求實數的取值范圍；(2)當時，求集合A的子集的個數．【答案】(1){或}(2)【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分類討論求解；（2）確定集合中元素（個數），然后可得子集個數．（1）當即時，，符合題意；當時，有，解得．綜上實數的取值范圍是或；（2）當時，，所以集合的子集個數為個．【變式1】已知集合，，若，則實數組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若，所以或，解出的值，將的值代入集合，檢驗集合的元素滿足互異性.【詳解】因為，所以，解得，或，解得，當時，，，，滿足題意.當時，，不滿足集合的互異性.當時，，，若，滿足題意.當時，，，若，滿足題意.故選：C.【變式2】．已知M={x|2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a1}.（1）若MN，求實數a的取值范圍；（2）若MN，求實數a的取值范圍.【答案】．．（1）空集；（2）.【解析】（1）由得：無解；故實數的取值范圍為空集；（2）由得：當時，即；當時，，故；綜上實數的取值范圍為.題型五：根據集合的相等關系求參數【例題11】已知集合，則與集合相等的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出每個選項的集合，即可比較得出.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：D.【例12】（1）已知集合，當，求的值；（2）已知集合，，若，求實數的取值范圍.【答案】．．（1）1；（2）.【解析】（1）若，則，，不合題意；若，則或，當時，，當時，，不合題意；若，則或，都不合題意；因此，所以.（2），，∴借助數軸可得，的取值范圍為.【變式1】已知集合與集合{a2，a+b，0}是兩個相等的集合，求a2020+b2020的值.【答案】．．a2020+b2020=1【解析】由a，，1組成一個集合，可知a≠0，a≠1，由題意可得＝0，即b＝0，此時兩集合中的元素分別為a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1(a＝1不滿足集合中元素的互異性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2020＋b2020＝(－1)2020＋0＝1.【變式2】（1）已知集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有兩個子集，求m的值．（2）若a，b∈R，集合，求b﹣a的值．【答案】．．（1）0或；（2）2.【解析】（1）集合A＝{x|mx2﹣2x+3＝0，m∈R}，若A有且只有兩個子集，則方程mx2﹣2x+3＝0有且只有一個根，當m＝0時，滿足，當△＝4﹣12m＝0，即m＝，滿足，故m的值為0或，（2）a、b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，則a≠0，即a+b＝0，則b＝﹣a，此時{1，0，a}＝{0，﹣1，b}，則a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2.

初高中銜接素養提升專題課時檢測第七講集合間的基本關系（精練）（測試時間60分鐘）單選題（）1．①，②，③，④，其中正確的個數為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】正確；正確；不正確，左邊是數集，右邊是點集；不正確，左邊是點集，右邊是點集，但點不相同.故正確的有①②，共2個.故選：B.2．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因為集合的所有非空真子集為：，所以有，故選：D3．已知集合，，則滿足條件的集合的個數為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，若滿足條件，則共4個集合.故選：B4．集合，，，則，，的關系A．B．C． D．【答案】A【解析】試題分析：通過列舉可知，所以.考點：兩個集合相等、子集．5．已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關系的文氏圖是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以選B.故選：B6．若非空集合，，則使得成立的所有a的值組成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可知，當時，有當時，有因此，滿足條件的a的值組成的集合是．故選：C．多選題（）7.下列選項中兩個集合相等的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】A.因為，故兩個集合相等；B.因為的元素是，的元素為0，故兩個集合不相等；C.因為且，故兩個集合相等；D.，故兩個集合相等；故選：ACD8．已知集合，且，則實數的取值可以為（）A． B．0 C．1 D．2【答案】．ABC【解析】依題意，當時，，滿足題意；當時，，要使，則有或，解得.綜上，或或.故選：ABC.填空題9．已知集合有兩個子集，則m的值是__________．【答案】0或4【解析】當時，，滿足題意當時，由題意得，綜上，或故答案為：0或410．已知集合，，則滿足條件的集合的個數為_________個【答案】7【解析】因為，,因為，所以1，2都是集合C的元素，集合C中的元素還可以有3，4，5，且至少有一個，所以集合C為：，，，，，，，共7個.故答案為：7四、解答題（）11．已知集合.（1）若集合A的子集只有一個，求實數a的取值范圍；（2）若集合A中有且只有一個元素，求實數a的值.【答案】（1）；（2）0