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文檔簡介

3.4生活中的優化問題舉例復習回顧:1.用導數法求函數最值的步驟;2.若函數為定義域上的單峰函數,則其最值如何?新課引入:

導數在實際生活中有著廣泛的應用,利用導數求最值的方法,可以求出實際生活中的某些最值問題.1.幾何方面的應用2.物理方面的應用.3.經濟學方面的應用(面積和體積等的最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)例1．海報版面尺寸的設計

學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進行宣傳。現讓你設計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？

解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為。

求導數，得令解得舍去）。

于是寬為因此，x=16是函數S(x)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。解法二：由解法(一)得問題2:

飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎?你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數學上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?規格（L）21.250.6價格（元）5.14.52.5問題情景二：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響

下面是某品牌飲料的三種規格不同的產品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？例2:某制造商制造并出售球形瓶裝飲料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的飲料,可獲利0.2分,且瓶子的最大半徑為6cm.1)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？2)瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？解：由于瓶子的半徑為Ｒ，所以每瓶飲料的利潤是令當1.半徑為２cm時，利潤最小，這時表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值２．半徑為６cm時，利潤最大當半徑r＞２時，f’(r)>0它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜２時，f’(r)<0它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低．231、當半徑為2cm時,利潤最小,這時f(2)<0,2、當半徑為6cm時，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？問題3、費用(用材)最省問題利用導數解決優化問題的基本思路：優化問題優化問題的答案用函數表示的數學問題用導數解決數學問題回顧總結解決優化問題的方法：通過搜集大量的統計數據，建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數往往是一個有利的工具。例4:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設圓柱的高為h,底面半徑為R.則表面積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小

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