三角形第六部分相似三角形

題型練

題型一比例的性質

比例的基本性質；兩個外項的積等于兩個內項的積.

用式子表示為：若二=三，則有4=歷.

bd

例1.若x:y=l:3,則生上』的值是_______.

x-y

【分析】

根據比例的性質，可用X表示夕，根據分式的性質，可得答案.

【詳解】

解：由比例的性質，得y=3x.

2x+y_2x+3x_5

x-yx-3x2

故答案為：.

2

【點睛】

本題考查了比例的性質，利用比例的性質得出y=3x是解題關鍵.

變式1

abc…a+b+c

工，已知廠3貝一一?

【答案】3

【解析】

【分析】設以=2=3=k,則a=2左，b=3k,c=4%,代入代數式化簡求值即可.

234

【詳解】解：設@=^=g=?,則a=2k,b=3k,c=4k,

234

.a+b+c2k+3k+4k

??-----------=-----------------=3,

b3k

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了比例的性質，利用設左法進行計算是解決問題的關鍵.

題型二成比例線段

一般地，四條線段外b、c、d中，如果a與6的比等于c與4的比，即且=￡,

bd

那么這四條線段叫做成比例線段，或者說這四條線段成比例.

mo/.v-x-rm*-?/.lir-ri?（ILLJI.tr.lf.?xr-n,、—、x￡\-^rm>-?/.Lxr-cI?rr.l

例2.下列四組線段中，不是成比例線段的是（）

4a=3,b=6,c=2,d=48.q=1,b=y/^2,，c=，d=2.5/3

C.a=4,b=6,c=5,d=1OD“=2,b=y/-S，c=2^/3，d=Jl5

【分析】

根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得

出答案.

【詳解】

解：A、3X4=6X2,是成比例線段，故本選項不符合題意；

B.1X2A/3=V2XV6）是成比例線段，故本選項不符合題意；

C、4X10W6X5,不是成比例線段，故本選項符合題意；

。、2x715=75x2731是成比例線段，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】

此題考查了比例線段，根據成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，

另外兩個相乘，看它們的積是否相等.同時注意單位要統一.

變式2

2.已知線段28=20,點C是線段的黃金分割點，則力C的長為

【答案】10石-10或30-10指

【解析】

【分析】根據黃金分割的定義，分為AC>BC、NC<6C兩種情況列式解決即可.

【詳解】解：當ZC>8C時，工。=避二1/8，AB=20,

2

解得ZC=10癢10；

當/。＜8。時?，AC=AB-BC,

2

^C=30-10V5,

故答案為：10逐-10或30-10店.

【點睛】本題考查了黃金分割，關鍵在于掌握好黃金分割的定義，分類計算.

題型三相似圖形

相似圖形定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個圖形就叫相似圖形

例3.下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（）

A.同一座城市的兩張比例尺不同的地圖；B.一個人現在的照片和他十年前的照片;

C.兩個正方形；D.國旗上的五角星.

【分析】

根據相似圖形的概念可直接進行排除選項.

【詳解】

A,同一座城市的兩張比例尺不同的地圖是相似的，故不符合題意；

8、一個人現在的照片和他十年前的照片不相似，故符合題意；

C、兩個正方形是相似的，故不符合題意；

。、國旗上的五角星是相似的，故不符合題意；

故選民

變式3

3.觀察下列每組圖形，相似圖形是（）

A.B.

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案.

【詳解】解：A、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；

B、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；

C、兩圖形形狀相同，故是相似圖形；

D、兩圖形形狀不同，故不是相似圖形；

故選：C.

【點睛】本題考查了相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關鍵.

題型四相似多邊形

相似多邊形定義：各邊對應成比例，各角對應相等的多邊形叫做相似多邊形.

性質；相似多邊形的對應邊成比例,對應角相等,周長比等于相似比,面積比等于相

似比的平方.

例4.如圖，細線平行于正多邊形一邊，并把它分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊

形相似的是（）

【分析】

利用相似多邊形的判定方法判斷即可.

【詳解】

解：/、陰影三角形與原三角形的對應角相等、對應邊的比相等，符合相似多邊形的定義，

符合題意：

8、陰影矩形與原矩形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不

符合題意；

C、陰影五邊形與原五邊形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義,

不符合題意；

。、陰影六邊形與原六邊形的對應角相等，但對應邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義,

不符合題意；

故選：A.

【點睛】

本題考查了相似多邊形的定義，解題的關鍵是了解相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相

等.

變式4

4.如圖，已知矩形48。的邊長為8cm,邊N8長為6cm,從中截去一個矩形

（圖中陰影部分），如果所截矩形與原矩形相似，那么所截矩形的面積是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

【答案】8

【解析】

【分析】根據題意，截取矩形與原矩形相似，利用相似形的對應邊的比相等可得.

【詳解】解：依題意，在矩形/5DC中截取矩形式E,

則矩形NBDCs矩形AEFB,

ABAD

則一=——，

AEAB

設4E=xcm,得到:—,解得:x—4.5,

x6

經檢驗尸4.5是原方程的解

則截取的矩形面積是：6x4.5=27（cm2）.

故選：B.

BC

【點睛】本題考查相似形的對應邊的比相等，分清矩形的對應邊是解決本題的關鍵.

題型五平行線分線段成比例定理

定理：兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊（或兩邊延長線）所得的對應線段成比

例.

例5.如圖，已知ABHCDIIEF,那么下列結論正確的是（）

ADBCBCDFCDBCCDAD

A.----....B.-----....C.---------D,....-----

DFCECEADEFBEEFAF

【分析】

根據平行線分線段成比例確定出對應線段，進行判斷即可.

【詳解】

解：'：AB//CD//EF,

.AD

=—,故選項4正確;

DFCE

BCAH

——，故選項8錯誤;

CE

AD

―,故選項C錯誤;

~AFBE

jn

BC空，故選項。錯誤;

BEAF

故選：A.

【點睛】

本題主要考查平行線段成比例定理，確定出對應線段是解題的關鍵.

變式5

5如圖，在△Z8C中，點。，E,b分別在AC,8c邊上，DE!IBC,EFIIAB,

則下列式子一定正確的是（)

A

a

DF-------c

,ADDErADBF八ADFC.ADFC

A---=----B---=----C---=----D---=----

DBBCDBFCDBBFDBBC

【答案】8

【解析】

【分析】根據平行線分線段成比例定理，在兩組平行線里面，通過—=”，

DBEC

ApRF

蕓=骼,聯系起來，得出結論?

ECrC

【詳解】VDEHBC

.AD_AE

"~DB~~EC

-：EF//AB

.AE_BF

"~EC~~FC

.ADAE_BF

''~DB~~EC~~FC

.ADBF

""~DB~~FC

故答案為：B.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應用問題，解題的關鍵是找

準對應線段，準確列出比例式，科學推理論證.

題型六相似三角形的性質

相似三角形的性質：

1.相似三角形的對應邊成比例；對應角相等；

2.相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線等）的比等于相似比；

3.相似三角形周長的比等于相似比；

4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

例6.若且周長之比1：3,則與的面積比是（）

A.1：38.1：VJC1：9D3：1

【分析】

根據相似三角形的性質，即可求解.

【詳解】

A4BCS/^DEF且周長之比1：3,

△NBC與△DEF的相似比=1：3,

ANBC與△。￡尸的面積比=12：32=1：9,

故選C.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關

鍵.

變式6

6.已知A4BC?ADEF,AB：DE=3：5,△ZBC的面積為9,則△￡?的面積為_.

【答案】25

【解析】

【分析】根據相似三角形的性質：面積比等于相似比的平方計算即可.

【詳解】解：?△DEEAB-.DE=3：5,

...△Z8C的面積：的面積=9：25,

?.?△/8C的面積為9,

△￡>￡1口的面積25,

故答案為：25.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質，解題關鍵是明確相似三角形面積比等于相

似比的平方.

題型七相似三角形的判定方法一：平行線法

判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.

例7.如圖，DE//BC,EF//AB,則圖中相似三角形有對.

根據相似三角形的判定定理分析即可.

【詳解】

DE//BC,EFHAB,

，可直接得出AADEsAABC,^CEF^^CAB,

由DE//BC,EFHAB,可得：NC=AAED,ZCFE=ZB=Z.EDA,

:.XADEsAEFC,共有3對相似三角形，

故答案為：3

【點睛】

本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.

變式7

7.如圖，30為M△力8c斜邊ZC上的中線，G為的重心，連結/G并延長

交BC于點。，若AB=6cm,BC=8cm,則DG=cm.

【答案】Ml.

3

【解析】

【分析】由三角形重心的概念可得：BD=4,再利用勾股定理求解N。，連接8,

證明AOGOSAZG民再利用相似三角形的性質可得：空="從而可得答案.

AD3

【詳解】解：G為的重心，BC=8cm,

BD—CD—4cm,

,/AB-6cm,

：.AD=V62+42=2而

如圖，連接。。，

???G為比ANBC的重心,

.?.0D為4ABC的中位線

DOHAB,DO==AB,

2

:ADGOS^AGB,

DGDO1

」前一下-5'

DG1

AD3

DG_1

‘礪=5，

：.=巫

3

故答案為：3叵

3

【點睛】本題考查的是三角形重心的概念，三角形中位線的性質，三角形相似的判

定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

題型八相似三角形的判定方法二：三邊法

判定定理2：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似（簡記為SSS）；

例8.如圖，在四個4x4的正方形網格中，三角形相似的是（）

A.①和②8.②和④C②和③0.①和③

【分析】

根據網格結構以及勾股定理可得所給圖形的三條邊長，然后利用相似三角形的判定方法選擇

答案即可.

【詳解】

解：如圖①，該三角形的三條邊長分別是：廬干=血、2、V32+l2=710.

如圖②，該三角形的三條邊長分別是：麻不=也、依+E=也、3

如圖③，該三角形的三條邊長分別是：2、7F+F=2V2>V22+42=2V5.

如圖④，該三角形的三條邊長分別是：3、Vl2+32=V10'5.

只有圖③中的三角形的三條邊與圖①中的三條邊對應成比例，

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相關性質是解題的關鍵.

變式8

8.如圖，在正方形網格中有3個斜三角形：①“BC；?/XCDB-③ADEB；其

中能與△Z8C相似的是.（△N8C除外）

【答案】③3DEB）

【解析】

【分析】分別求出三個三角形的三邊的比，再根據相似三角形的判定方法解答.

【詳解】解：根據網格可知：AB=\,心&2+a=曰BC=S+爰=下,A4BC

的三邊之比是/B：AC：BC=\：V2：亞,

同理可求：②△88的三邊之比是CDBC：BD=l：y/5：272;

③ADEB中DE：BD：BE=2：2岳275=1：0：6

二③（△DE5）與△Z5C相似，

故答案為：③ADEB.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，從“三邊對應成比例，兩三角形相似”

的角度考慮是解題關鍵.

題型九相似三角形的判定方法三：兩邊及其夾角法

判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三

角形相似（簡記為S/S）；

例9.已知：如圖，在△N8C中，AB=6,AC=8,D、E分別在、AC±,BD=2,

CE=5.求證：AAEDs^ABC.

根據題意可求出一=—，且其夾角相等即可證明AAEDsAABC.

ABAC

【詳解】

；Z3=6,BD=2,

：.AD=4,

AC=8,CE=5,

AE=3，

?AE-3⑺_4_1

"7B~6~2'~AC~~8~2'

.AE_AD

?,布一就‘

???NEAD=NBAC

,?AAEDsAABC.

【點睛】

本題考查三角形相似的判定.掌握兩邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似是解答本題的

關鍵.

變式9

<?.如圖，在aABC中，AB>AC,D、E分別為邊AB、AC上的一點，AC=3AD,

AB=3AE,點F為BC邊上一點，添加一個條件使4FDB與4ADE相似，則添加的

一個條件是.

【答案】ZDFB=ZADE

【解析】

【分析】根據題意及圖易得△ADEs^ACB,進而由相似三角形的性質可得

ZC=ZADE,ZB=ZAED,欲證4FDB與aADE相似則需添加角相等即可.

【詳解】解：AC=3AD,AB=3AE,NA=NA,

:.AADES^ACB,

：.ZC=ZADE,ZB=NAED,

又???ZDFB=ZADE,

AFDBS^DAE.

故答案為ZDFB=ZADE.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性

質是解題的關鍵.

題型十相似三角形的判定方法四：兩角法

判定定理4：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角

形相似（簡記為

例1().如圖，己知。是三角形N8C中的邊8c上的一點，/BAD=/C,乙48C的平分

線交邊力。于E，交/。于那么下列結論中錯誤的是()

A.三角形6OE相似于三角形A4EB.三角形BFA相似于三角形

C.三角形BDF相似于三角形BECD.三角形A4c相似于三角形BDA

【分析】

如果兩個三角形的兩個角分別對應相等，則這兩個三角形相似，據此逐項分析即可解題.

【詳解】

解：A.?;/BAD=NC

ABDA=ZC+NDAC=ABAD+ADAC=ZBAE,

又?:AE^AABC

：.NABE=ZEBC

.'.ABDF~ABAE

故/不符合題意；

B.4E平分N4BC

:"ABE=ZEBC

又?；NB4D=NC

:ABFA~&BEC

故8不符合題意；

C.三角形BDF與三角形BEC,僅有一個公共角NE8C,不能證明相似，故C錯誤,

符合題意；

D.；NBAD=NC,ZABC=NABC

:.ABAC~ABDA

故。不符合題意，

故選：C.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵

變式10

W.如圖，在矩形N5CD中，點E為BC上一點,連接DE,過點工作于

點、F,求證：ADECsAADF.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據兩角對應相等兩三角形相似即可得出結論.

【詳解】證明：?.?四邊形ABCD為矩形，

.*.ZC=90°,AD〃BC,

.\ZADF=ZDEC,

VAF±DE,

AZAFD=ZC=90°,

/.△DEC^AADF.

【點睛】本題考查矩形的性質、矩形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三

角形的判定，屬于中考常考題型.

題型十一相似三角形的判定方法五：斜邊直角邊法

直角三角形相似判定定理:斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似（簡記為HL）.

例11.如圖，在矩形/8CZ）中，AB=6,ZO=12,點￡在邊4。上，ZE=8,點F在

邊。C上，則當EE時，△48E與AOEE相似.

【分析】

若要"BE與&DEF相似，則需要對應直角邊成比例，代入數值計算即可.

【詳解】

由題意，知△48E與AQEF都是直角三角形，

ABBE_1、AEBE

所以當—或=時,

~DE△48E與AQEF相似,

EFDEEF

由AB=6，AE=8,AD=12,得BE=10,DE=4,

610—810

.?.一=—或一=—，

4EF4EF

-20

/.EF=5或一.

3

20

故答案為：5或二.

3

【點睛】

"BE與&DEF相似和AABEs/\DEF是有區別的，前者沒有明確兩個三角形的對應

關系，后者已給出了對應關系，因此前者要分類討論.

變式11

工，在心△[8c中，NC=90°,Z8=10,8C=6.在R/AEDR中,

NE=90",DF=3,EF=4,則和AED尸相似嗎？為什么？

【答案】"BCfEDF.理由見解析.

【解析】

【分析】直接利用直角三角形的性質得出AC、DE的長，再利用相似三角形的判定

方法得出答案.

【詳解】解：相似，理由如下：

在中，NC=90°,/8=10,BC=6,由勾股定理得ZC=8.

在RtAED/中，ZF=9Q°,DF=3,EF=4,由勾股定理得￡￡>=5.

.右8C_6_JC_8_：8_10_C

??白=-=2,=-=2,=—=2,

DF3EF4ED5

.BCAC_AB

"~DF~~EF~~ED'

AABC~AEDF.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解

題關鍵.

題型十二相似三角形的應用一：利用影子測量物體的高度

測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度時，利用相似三角形的性質即相似三角

形的對應邊成比例和“一時刻物高與影長成比例”的原理解決.

例12.如圖，為測量樓高46,在適當位置豎立一根高2m的標桿MN,并在同一時刻分別

測得其落在地面上的影長ZC=20m,MP=2.5m,則樓高為（）

PMCA

415m8.16mC.18mD20m

【分析】

在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線

三者構成的兩個直角三角形相似.根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解.

【詳解】

..AB_MN

'~AC~~PM'

.AB-2

,?元一石’

：.AB=16（米）.

故選：B.

【點睛】

考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成

比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題.

變式12

工2.如圖，小華在晚上由路燈/走向路燈8.當他走到點P時，發現他身后影子的

頂部剛好接觸到路燈力的底部；當他向前再步行12m到達點。時，發現他身前影子

的頂部剛好接觸到路燈8的底部.已知小華的身高是1.6m,兩個路燈的高度都是

9.6m,JLAP=QB.

(1)求兩個路燈之間的距離.

(2)當小華走到路燈8的底部時，他在路燈Z下的影長是多少？

【答案】(1)18米；(2)3.6米

【解析】

【分析】(1)如圖1,先證明△/PA/SA43O,利用相似比可得即得

6

BQ=-AB,則』解得/5=18(〃?)；

666

(2)如圖2,他在路燈/下的影子為5N,證明利用相似三角形

的性質得式”；；=裝，然后利用比例性質求出8N即可.

【詳解】解：(1)如圖1,'."PM//BD,

AAPMS^ABD,

APPMAP1.6

----=------，即nn---=---，

ABBDAB9.6

：.AP=-AB,

6

"：QB=AP,

：.BQ=^AB,

而AP+PQ+BQ=AB,

11

：.-AB+\2+-AB=AB,

66

：.AB=\S.

答：兩路燈的距離為18加；

(2)如圖2,他在路燈/下的影子為

■:BM//AC,

：.△NBMs/\NAC,

.BN_BM即4』,

解得5N=3.6.

"7N~^4CBN+189.6

答：當他走到路燈8時，他在路燈工下的影長是3.6加.

圖2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，要求學生能根據題意畫出對應圖形,

能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相

等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數形結合的思想方法.

題型十三相似三角形的應用二：利用相似測量河流、池塘等物體的寬度

測量原理：根據公共角相等或對頂角相等得到相似三角形.

測量步驟：

(1)利用平行線、標桿等構造相似三角形；

(2)測量同表示未知量線段相對應的邊長，以及另外一組對應邊的長度；

(3)畫示意圖，利用相似三角形的性質列比例式；

(4)計算、檢驗并給出答案.

例13.如圖，為了確定一條河的寬度，測量人員觀察到在對岸岸邊P點處有一根柱子，再

在他們所在的這一側岸上選點/和點以使得B，A,尸在同一條直線上，且與河岸垂直，

隨后確定點C,點。，使NC_L8P,BDYBP,由觀測可以確定ZC與QP的交點C.他們測

得Z8=20m,4C=40m,SO=50m,從而確定河寬以為m.

【分析】

證出△尸8。和△口C相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可求得必1.

【詳解】

解："JACLBP,BDLBP,

J.AC//BD,

:.XPBDsAPAC,

.BD_PB

"7C~~PA

'：AB=20m,AC=40m,BD=50m,

PA+20

PA

解得：以=80.

故答案為：80.

【點睛】

本題考查三角形相似的判定與性質，掌握三角形相似的判定與性質是解題關鍵.

變式13

13.如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標點P,在近岸取點。和S,

使點尸、。、S在一條直線上，且直線PS與河垂直，在過點S且與直線PS垂直的

直線。上選擇適當的點T,PT與過點。且與PS垂直的直線b的交點為R.如果

0S=60m,ST=120m,QR=80m,求尸。的長.

【答案】120m

【解析】

【分析】由題意易得QR〃ST,則有△PQRs4PST,進而可得坐=竺，設

PQ=xm,然后問題可求解.

【詳解】解：由題意可知QR//ST,

APQR-/XPST,

,PQ=QR

"PS~ST'

設P。=xm,

QS=60m,ST=120m,QR=80m,

PS=(x+60)m,

------=----,解得x=120,

x+60120

經檢驗x=120是方程的解

的長為120m.

【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解

題的關鍵.

題型十四相似三角形的應用三：利用標桿或直尺測量物體高度

有關概念：

(1)視點：觀察物體時人的眼球稱為視點；

(2)仰角：向上看時，視線與水平線所成的角叫做仰角；

(3)朝下看時，視線與水平面夾角為俯角.

測量方法：觀測者的眼睛必須與標桿頂端和物體頂端“三點共線”，標桿要與地面垂直.

例14.如圖所示,某校數學興趣小組利用標桿8E測量建筑物的高度，已知標桿8E高為1.5m,

測得/8=3m,BC=7m,則建筑物CO的高是()

A.3.5m8.4mC.4.5m￡>.5m

【分析】

由題意得：EBLAC,DC1AC,再證明△ZBESAZC。,再利用相似三角形的性質可得答

案.

【詳解】

解：由題意得：EB1AC,DC1AC,

：.BE//CD,

:.AABES“CD,

ABBE

一就一而‘

AB=3m,BC=7m,BE=\.5m,

.3_L5

"3+1~~CD'

:.3CD=\5,

CD-5.

經檢驗：CD=5符合題意，

所以建筑物8的高是5加.

故選：D.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的應用，相似三角形的判定與性質，掌握利用相似三角形的性質解

決問題是解題的關鍵.

變式14

14.某同學利用標桿測旗桿的高度如圖所示：標桿高度C0=2.6m,標桿與旗桿的水

平距離BD=\5m,人的眼睛與地面的高度EF=1.6m,人與標桿CD的水平距離￡>F=2m,

E,C,4三點共線，則旗桿Z3的高度為m.

【答案】10.1

【解析】

［分析］過點E作EH1AB于點〃，交CD于點G,可得^ECG^EAH,根據相

似三角形的對應邊成比例，求出的長，進而求出的長.

［詳解］解：如圖，過點E作EH上AB于點H,交CD于點G.

由題意可得，四邊形EEDG、OG/78都是矩形，ABHCDHEF.

：.AECGSAEAH,

.EGCG

由題意可得：

EG=FD=2m,GH=DB=\5m,EH=EG+GH=17m,

CG=CD-GD=CD~EF=2.6~\,6=lm.

.EGCG1_1

Z”=8.5m,

/.AB=AH+HB=8.5+1.6=10.1m.

故答案為：10.1m.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，根據相似三角形判定定理得出

AECGS^EAH是解題關鍵.

題型十五相似三角形的應用四：利用鏡子的反射測量物體高度

設計原理：利用光線的入射角等于反射角，構造相似三角形.

例15.如圖，小明為了測量樹的高度C。，他在與樹根同一水平面上的8處放置一塊平面鏡,

然后他站在工處剛好能從鏡中看到樹頂。，已知力、B、C三點在同一直線上，HAB=2m,

8c=8m.他的眼睛離地面的高度1.6m,則樹的高度。為_m.

D

【分析】

PAAB

利用AEABsXDCB，可得----=----，可求DC—6.4即可

DCBC

【詳解】

解：由題意可得：NEBA=NDBC,NEAB=/DCB,

椒MEABsADCB,

EAAB

貝|J——=—,

DCBC

"'AB=lm,8c=8m,AE=\.f>m,

,1.62

??一，

DC8

解得：DC=6.4m,

故答案為：6.4

【點睛】

本題考查相似三角形的實際應用，掌握性質三角形的判定與性質是解題關鍵.

變式15

15.如圖，為了測量某古城墻的高度，數學興趣小組根據光的反射定律，把一面鏡

子放在離古城墻(CD)16m的點P處，然后觀測者沿著直線DP后退到點8處.這

時恰好在鏡子里看到城墻頂端C,并量得BP=3m.已知觀測者目高/8=L5m,那

么該古城墻(CD)的高度是m.

c

,毒

【答案】8

【解析】

【分析】先證明繼而得到繪=盥，代入求解即可二

DPBP

【詳解】解：由題意知NCP￡）=N4P8,NCDP=NABP=90。,

:.△CPDsXAPB,

,CDAB

''~DP~~BP'

.CD1.5

??---=---,

163

：.CD=8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是找出相似的三角形.

題型十六

位似圖形

定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線所在的直線相交于一點，對

應邊互相平行（或在一條直線上），像這樣的兩個圖形叫做位似圖形.位似圖形對

應邊的比叫做位似比，位似是特殊的相似.

性質：如果兩個圖形位似，那么任意一對對應點到位似中心的距離之比都等于位似

比，任意?組對應邊都互相平行（或在一條直線上），對應點連線的交點是位似中

心.位似圖形對應角都相等.位似圖形對應線段的比，高、周長的比等于相似

比.面積的比等于相似比的平方.

例16.下列相似圖形不是位似圖形的是

ABBC

AEE

【分析】

根據位似變換的概念判斷即可.

【詳解】

解：。中兩個圖形，對應邊不互相平行，不是位似圖形，

A.B、C中的圖形符合位似變換的定義，是位似圖形，

故選：D.

【點睛】

本題考查的是位似變換，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點,

對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.

變式16

16.如圖，四邊形/8C。與四邊形EEG”位似，位似中心是O,若。4：OE=1：3,

且四邊形Z8CQ的周長為4,則四邊形EFG”的周長為（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

【分析】根據位似的性質，可知兩個四邊形的周長之比也為1：3,即可得解.

【詳解】解：由題知：。4：0￡=1：3

,?,arADCB-JHGFE-_-jx4~-11Z?,9

故選4.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質，知道位似圖形周長比等于相似比是解題的關

鍵.

題型十七

位似圖形的坐標變化

位似變換中對應點的坐標的變化規律：

一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，新圖形與原圖形的相似比

為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(fcr,@)或(一

kx,一ky)

例17.在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為0(0,0)，4-2,-1),3(-1,-3),

△Q44與AOAB是關于點p為位似中心的位似圖形.

(1)在圖中標出位似中心尸的位置，并寫出點P及點8的對應點用的坐標；

(2)以原點O為位似中心，在位似中心的同側畫出AO/8的一個位似△。4鳥，使它與

△OAB的位似比為2：1,并寫出點8的對應點B2的坐標.

(1)畫圖見解析，P(-5,-l),5,(3,-5)

(2)畫圖見解析，B式-2,-6)

【分析】

(1)連接QO并延長與4/的延長線相交，交點即為位似中心P,再根據平面直角坐標系

寫出點P和4的坐標;

(2)延長。/到4,使442=°/，延長08到使BB[=OB,連接外與，再根據平面

直角坐標系寫出點鳥的坐標；

【詳解】

解：⑴位似中心尸如圖所示，。(一5,-1)出(3,-5)；

(2)△。4為如圖所示，斗(一2,-6)；

VA

【點睛】

本題考查了利用位似變換作圖，熟練掌握位似變換的性質準確找出對應點的位置是解題的關

鍵.

變式17

17.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立如圖所示的平面

直角坐標系并給出了格點A/BC(頂點為網格線的交點).

(1)畫出A/BC關于y軸對稱的△48C；

(2)以點。為位似中心，將作位似變換得到△4JC2,使得4為=2/8,

畫出位似變換后的△482C2；

(3)4G和與。2之間的位置關系為.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)4G//&G或平行.

【解析】

【分析】(1)依據軸對稱的性質，即可得到AZBC關于y軸對稱的4G；

(2)把點/、B、C的橫縱坐標都乘以2得到對應點4、&、C2的坐標，然后描點

即可得到冬G；

(3)通過連接43,先證乙型4=NB2AlM,再通過NC/2A=45O,ZC,J,M=45°,

即可求得ZC2524=NB24a,則/￡//82c2.

【詳解】(1)與G即為所求；

(2)△4842即為所求；

(3)如圖，連接4鳥,

?；B2AHA{M

：.乙4%4=/B/'M

?：ZC2B2A=45°/C[A1M=45°

Z.ZAB2A}+ZC2B2A=NB2AM+ZC}A}M即ZC2S2J,=NB24cl

4C,//B2C2

故答案為4G"82G.

【點睛】本題考查了作圖-位似變換和平行線得判定，作圖-位似變換方法：先確定

位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據位似比，

確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的

圖形.也考查了旋轉變換.

實戰練

is.若f=1，則?的值是—.

b3b

【答案】|4

【解析】

【分析】根據；=二設。=7人1=3左，再代入計算即可.

b3

【詳解】

b3

...設a=7k,b=3k

.a-b7/c-3k_4

??~b―3

_4

故答案為§.

【點睛】本題考查分式求值，根據比例設參數是解題的關鍵.

1個如圖，四邊形ABCDs四邊形EFGH,ZA=80°,ZC=90°,ZF=70°,則

【答案】8

【解析】

【分析】根據相似多邊形的對應角相等可求解.

【詳解】解：?.?四邊形ABCDs四邊形EFGH,ZA=80°,

.,.ZE=ZA=80°,

故選：B

【點睛】考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是了解相似多邊形的對應角相等,

難度不大.

2.0.如圖，ZG：G0=3：1,BD：DC=2：3,則NE：4c的值是（）

C.3：2D.6：5

【答案】P

【解析】

【分析】過點。作。R//C4交BE于尸，如圖，利用平行線分線段成比例定理，由

DE//CE得到整=整=：,則=由DR//4E得到爺=隼=爺斗

CEBC52AEAGAE3

則ZE=3D尸，然后計算藍的值.

【詳解】解：過點D作DF//C4交BE于F,如圖，

-,-DF//CE,

.DF_BD

"~CE~~BC'

而BD:DC=2:3,

?,.—則CE=20b,

CE52

?：DFIIAE,

.DFDG

一萬一行‘

-AG:GD=3:1,

DF1

---=—,貝!]AE=3DF,

AE3

AE3DF6

^=TDF=?-

2

AEtEC=6:5

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線

段成比例.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所截得的三角

形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.

2.1.如圖，已知/i〃/2〃/3，48=3,DE=4,BC=8,則。b=()

44

【答案】P

【解析】

【分析】根據平行分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算即可.

【詳解】解：：/1〃/2〃/3,

ABDE

"~BC~~EF'

BP-=—.

8EF

32

解得：EF=],

3244

:.DF=DE+EF^4+—=—

33

故選：D.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是

解題的關鍵.

22.一個直角三角形木架的兩條直角邊的邊長分別是30cm,40cm.現要做一個與

其相似的三角形木架，如果以60cm長的木條為其中一邊，那么另兩邊中長度最大的

一邊最多可達到（）

A.60cmB.75cmC.100cmD.120cm

【答案】C

【解析】

【分析】根據勾股定理求出斜邊的長，以60cm長的木條為直角邊，設相似的三角形

中斜邊長為比加，利用相似三角形的對應邊的比相等列分式方程，解方程即可得到

答案.

【詳解】?.?直角三角形兩條直角邊分別是30cm,40cm,

斜邊=J3()2+4()2=50)

?.?要做一個與其相似的三角形木架，

兩個三角形對應邊成比例，

?.,直角三角形中斜邊最大，

...以60cm長的木條為直角邊，設相似的三角形中斜邊長為我加，

則有2種情況，

0——=—,解得：x--100>

60x

?4050”0ru

②——----,解得：x=75,

60x

...另兩邊中長度最大的一邊最多可達到100cm,

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質及勾股定理，利用相似三角形的性質即相似

三角形的對應邊的比相等進行計算是解題的關鍵.

23.如圖，下列條件能判定的是()

AD_DB

A.NABD=NCBD

AB_DA

2

C.AB=AD-AC~BC~~DC

【答案】C

【解析】

【分析】根據三角形相似的判定定理，逐一驗證判斷即可.

【詳解】?:AADBSAABC,

：.ZABD=NACB,

工選項Z不符合題意；

ABAD=NCAB,

口ADAB

且---二---，

ABAC

AADBS"BC,

工選項8,。不符合題意，選項C符合題意;

故選C.

【點睛】本題考查了有公共角的兩個三角形相似的條件，是條件開放型考題，熟練

運用兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵.

24.如圖，平行四邊形ABCD中，E為CD延長線上一點，連接BE交AD于F,

則圖中與4DEF相似（不包括本身）的三角形共有（）

【答案】8

【解析】

【分析】根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定方法進行分析即可.

【詳解】解：???ABCD是平行四邊形

；.AD〃BC,AB〃DC,

AAEFD^AEBC,AABF^ADEF,

.?.共2對.

故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理，解題的關鍵是熟

練掌握三角形的判斷方法，屬于中考常考題型.

25如圖，強強同學為了測量學校一棵筆直的大樹OE的高度，先在操場上點/處

放一面平面鏡，從點A處后退1m到點B處，恰好在平面鏡中看到樹的頂部E點的

像；再將平面鏡向后移動4m（即NC=4m）放在。處，從點。處向后退1.5m到點

。處，恰好再次在平面鏡中看到大樹的頂部E點的像，測得強強的眼睛距地面的高

度FB、GD為1.5m,已知點O,A,B,C,。在同一水平線上，且GDLOD,FBLOD,

EOVOD.求大樹0E的高度.（平面鏡的大小忽略不計）

【答案】12m

【解析】

【分析】根據題意得到△CDCSAEOC和△BAFS^OAE,利用相似三角形的對

應邊的比相等列式計算即可.

【詳解】解：由已知得，AB=\m,CD=\.5m,AC=4m,FB=GD=l.5m,NAOE

=ZABF=ZCDG=90°,NBAF=NOAE,ZDCG=ZOCE.

'：NBAF=ZOAE,ZABF=ZAOE,

:.△BAFSAOAE,

：.FB：AB=OE：OA,即1.5：1=OE：OA,

：.OE=l.5OA,

'：ZDCG=ZOCE,ZCDG=ZCOE,

:AGDCs^EOC,

：.GD；CD=OE：OC,即1.5：L5=OE：（OA+4）,

：.OE=OA+4,

,：OE=\.5OA,

1.504=04+4,