分式方程題型練

題型一：分式方程的概念

分式方程的概念：

分母中含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程，分式方程是方程的一種

例1下列關(guān)于X的方程中，是分式方程的是（）

+5xaxb

A-----4=——B.=-+-

■35abba

xnx

D.---------=—

nmn

【詳解】

x+5

解：A.二-4=—中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，故選項(xiàng)4錯誤；

35

Xnxh

B.——：=：+—中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，故選項(xiàng)8錯誤；

abba

C.把二上=1是分式方程，故選項(xiàng)C正確；

x-1

D.-X-一YL=土X中分母不含未知數(shù)，不是分式方程，故選項(xiàng)。錯誤.

nmn

故選：C.

變式

z-\X-7cx-156--T8x+8

i.在方程：①=8+[^，②。2_丫，③f_r=-r

32--xx-1x-\

6

④7,是分式方程的有（）

x------=Un

2

A.①和②B.②和③C.③和④P.①和④

【答案】C

【解析】

【分析】分母中含有未知數(shù)的方程稱為分式方程，據(jù)此解題即可.

【詳解】解:①分母不含未知數(shù)，故①不是分式方程；

②分母不含未知數(shù)，故②不是分式方程；

③分母含有未知數(shù)，故③是分式方程；

④分母含有未知數(shù)，故④是分式方程.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的概念，難度容易，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題

關(guān)鍵.

題型二解分式方程的一般步驟

求解分式方程的一般步驟：

①方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時，先分

解因式，再找出最簡公分母）；

②解整式方程，求出整式方程的解；

③檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個解是原分式方程的解,

若最簡公分母等于0,則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.

注意：解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有

錯誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進(jìn)行的.

xX

例2解分式方程：——=-—-+1.

x+13x+3

解：----=------+1

x+13x4-3

去分母,得3x=x+3（x+1）9

解此方程，得x=—3,

經(jīng)檢驗(yàn)，工=-3是原分式方程的根.

變式

2.解方程：丁2-二x+一71=1

3x-11-3x

【答案】x=-1

【解析】

【分析】方程兩邊同時乘以（3X—1）,把分式方程化為整式方程，求出整式方程的

解后再檢驗(yàn)即得結(jié)果.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以（3x—1）,約去分母得：2-x-7=3x-1,

解這個方程，得x=T,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=-l是原方程的解，

原方程的解為x=-l.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握解分式方程的方法

是關(guān)鍵.

題型三分式無解(增根)的條件

36X4-YYI

例3已知關(guān)于X的方程一+—7=-~R有增根，求加的值.

xx-1x(x-l)

【詳解】

解：方程兩邊都乘X(X-1),

得3(x-1)+6x=x+"i,

???原方程有增根，???最簡公分母x(x—l)=O,

解得x=0或1，當(dāng)x=0時，m=-3；當(dāng)x=l時，m=5

故當(dāng)機(jī)=—3或5時，原方程有增根.

變式

1k—Sk—\

3.若關(guān)于X的方程32=34有增根x=l,求左的值.

X—XX4-XX—1

【答案】3

【解析】

【分析】先將分式方程化為整式方程，再將增根代入整式方程求出k的值即可.

【詳解】方程兩邊同乘以x(x+D(xT)得x+l+(左一5)(x—l)=W—l)x,

把x=l代入上式得2=左—1,

解得左=3,

故上的值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根問題，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分

式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

題型四無解的分式方程

例4當(dāng)。為何值時，關(guān)于x的方程上二=1無解？

x-1x

【詳解】

把分式方程化成整式方程得出(a+2)x=3,根據(jù)等式性質(zhì)得出。=-2,原方程無解.再

根據(jù)當(dāng)x=l或x=0時，分式方程的分母等于0,即整式方程的解是分式方程的增根，代入

求得a=\.

變式

2mx\

4.己知關(guān)于x的分式方程--+/一.無解，求加的值.

x-1(x-l)(x+2)x+2

3

【答案】m的值為-6或:或-1

2

【解析】

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整理后根據(jù)一元一次方程無解條件求出

m的值，由分式方程無解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可.

2mx1

【詳解】7^T+(X-1)(X+2)-X+2

去分母得：2(x+2)+/wx=x—1

2x+44-mx=x-1

(TW+1)X=-5

由分式方程無解，得到(x-l)(x+2)=0

即為=1,x2=-2

當(dāng)x=l時，加+1=-5,解得w=-6

3

當(dāng)x=—2時，一2m-2=-5,解得掰=—

2

當(dāng)加+1=0,整式方程無解，解得機(jī)=-1

3

故m的值為-6或=或-1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的問題，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵.

題型五：分式的實(shí)際應(yīng)用

分式在實(shí)際應(yīng)用過程中要重點(diǎn)把握等量關(guān)系的建立，列分式方程解應(yīng)用題一般步驟如下：

(1)審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)設(shè)未知數(shù)；

(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；

(4)解這個分式方程；

(5)驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；

(6)寫出答案.

例5.甲、乙兩個工程隊(duì)合作完成一項(xiàng)工程，兩隊(duì)合做2天后由乙隊(duì)單獨(dú)做1天就完成了全

部工程，已知乙隊(duì)單獨(dú)做所需的天數(shù)是甲隊(duì)單獨(dú)做所需天數(shù)的1.5倍，求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做

各需多少天完成該項(xiàng)工程？

【詳解】

解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需x天完成該項(xiàng)工程，則乙隊(duì)單獨(dú)做需1.5x天完成該項(xiàng)工程，

由題意得上+―=1

x1.5x

解得：x=4

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原分式方程的解

答：甲隊(duì)單獨(dú)歐需4天完成該項(xiàng)工程，乙隊(duì)單獨(dú)做需6天完成該項(xiàng)工程

變式

5■.小明騎助動車，從家到學(xué)校去參加計(jì)算機(jī)能力考試，兩地之間相距50千米，當(dāng)

他行駛了10千米后將車速加速為原先的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前1小時到達(dá)學(xué)校，

請問他原計(jì)劃的車速是多少千米/小時？

【答案】20

【解析】

【分析】設(shè)原計(jì)劃車速為x千米/小時，根據(jù)兩地之間相距50千米，當(dāng)他行駛了10

千米后將車速加速為原先的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前1小時到達(dá)學(xué)校，列出方程即

可解答.

【詳解】設(shè)原計(jì)劃車速為x千米/小時

---=------F

50_10_20

XXX

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解.

答：他原計(jì)劃的車速是20千米/小吐

【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程.

實(shí)戰(zhàn)練

6.解分式方程3=一彳-5時，去分母正確的是（）

1-yy-l

A.3=-^-5B.3（y-l）=y（l-y）-5C.3=y-5（1-y）

D.3=-^-5（l-y）

【答案】P

【解析】

【分析】方程兩邊同時乘以（1-歹），利用等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以（1-力可得：3=-歹-5（1-y）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查去分母，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.分式方程1」7+22=-Jx的解是（）

X-1X—1

A.1B.0C.-1D.無解

【答案】P

【解析】

【分析】首先去掉分母，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程

求解，然后解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】解：去分母得：l+2（x—1）=2—x,

去括號得：l+2x—2=2—x,

移項(xiàng)合并得：3x=3,

系數(shù)化為1得：x=l,

x=1時，，xT=0,

Ax=l是分式方程的增根，

...分式方程無解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟.利用

了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

8.若關(guān)于x的分式方程上;-3=」=有增根，則加的值是（）

x-2x-2

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根產(chǎn)2代入整式方程，即可求解.

【詳解】解：白一3=U,

x-2x-2

去分母得：x-3(x-2)=m,

???關(guān)于x的分式方程上有增根，增根為：x=2,

x-2x-2

2—3(2—2)=加，即：/77=2,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化為整式方程

是解題的關(guān)鍵.

Q.根據(jù)市場需求，某藥廠要加速生產(chǎn)一批藥品，現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)藥品比原計(jì)劃平

均每天多生產(chǎn)500箱，現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱藥品所需時間與原計(jì)劃生產(chǎn)4500箱藥品所

需時間相同，那么原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)多少箱藥品?設(shè)原計(jì)劃平均每天可生產(chǎn)x箱藥

品，則下面所列方程正確的是()

60004500c60004500八6000450060004500

A.-------=----------B.---------=-------C.-------=----------Dr.----------=-------

xx+500x-500xxx-500x+500x

【答案】P

【解析】

【分析】設(shè)原計(jì)劃平均每天可生產(chǎn)x箱藥品，則實(shí)際每天生產(chǎn)(x+500)箱藥品，再

根據(jù)“生產(chǎn)6000箱藥品所需時間與原計(jì)劃生產(chǎn)4500箱藥品所需時間相同”建立方

程求解即可.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天可生產(chǎn)x箱藥品，則實(shí)際每天生產(chǎn)(x+500)箱藥品，

原計(jì)劃生產(chǎn)4500箱所需要的時間為：竺竺，

X

現(xiàn)在生產(chǎn)6000箱所需要的時間為：嚶，

x+500

60004500

由題意得:

x+500x

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)

出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程.

工。.對于實(shí)數(shù)a，b,定義一種新運(yùn)算“③”為：“區(qū)人=’”，這里等式右邊是通

a-b

常的實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：M3=占=.，則方程》釧_1）=看一1的解是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=l

【答案】8

【解析】

【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出解.

【詳解】根據(jù)題中的新定義化簡得：義=二-1,

X-1x-1

去分母得：2=6-x+l,解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的

關(guān)鍵.

11.定義運(yùn)算。口6=層-206+1,下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾個結(jié)論：①2口5=

R-3）0X-1<03

-15；②不等式組JC的解集為x<-=；③方程2%口1=0是一元一次

[20x-5<02

方程；④方程,□x=!+x的解是x=-1.其中正確的是_.（填上你認(rèn)為所在

XX

正確結(jié)論的序號）

【答案】①④

【解析】

【分析】利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意得：①2區(qū)）5=4-20+l=-15,正確;

（一3必一1<0?,[9+6x<0

②不等式組2^-5<0變形得[-。

此不等式無解，錯誤；

③方程2x(g)l=0,變形得：4x2-4x+l=0,不是一元一次方程，錯誤；

④方程，侈x=[+x,變形得：與-2+l=4+x,

XXXX

解得：x=-1,正確，

則正確的是①④.

故答案為①④

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方

程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.

工2.代數(shù)式—與代數(shù)式3的值相等，則》=—.

x+3x

9

【答案】-f

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出解即可.

13

【詳解】解：根據(jù)題意得：一-=

x+3x

去分母得：x=3(x+3),

Q

解得：x=-f，

經(jīng)檢驗(yàn)尸-9(是分式方程的根.

9

故答案為：-鼻.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

akmg

13.定義一種新運(yùn)算：=-b",例如：標(biāo)/心二公一》，若[一了2dx=^,

hh5m,

則團(tuán)=.

【答案】-:2

【解析】

【分析】根據(jù)新運(yùn)算列等式為獷」(5〃[)T=-2,解出即可.

【詳解】解：由題意得：m-'~(5w)-'=-2,即：---=-2,

m5m

,2

解得：m=--,

211

經(jīng)檢驗(yàn)：加=-*是方程上--^=-2的解，

5m5m

2

故答案是：

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)哥和解分式方程，理解新定義，并根據(jù)新定義進(jìn)行

計(jì)算是本題的關(guān)鍵.

14.若關(guān)于x的方程777+三2=一=1有增根，則增根是多少？并求方程產(chǎn)生增

x-9x+3x-3

根時m的值.

【答案】x=3或一3是原方程的增根；加=6或12.

【解析】

【詳解】試題分析：先根據(jù)方程有增根，可讓最簡公分母為0,且把分式方程化為

整式方程，分別代入求解即可.

試題解析?：因?yàn)樵匠逃性龈以龈囟ㄊ棺詈喒帜?x+3)(x-3)=0,

所以x=3或x=-3是原方程的增根.

原方程兩邊同乘(x+3)(x-3),得m+2(x-3)=x+3.

當(dāng)x=3時，m+2X(3-3)=3+3,解得m=6；

當(dāng)x=-3時，m+2X(-3-3)=-3+3,

解得m=12.

綜上所述，原方程的增根是x=3或x=—3.

當(dāng)x=3時，m=6；

當(dāng)x=-3時,m=12.

點(diǎn)睛：只要令最簡公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再將增根代入分式

方程化成的整式方程，就能求出相應(yīng)的m的值.

15.解答下列各題：解方程：--+1=；.

1-x1+x

【答案】x=-3

【解析】

【分析】解方程首先去分母，把分式方程化為整式方程，再解整式方程,最后還要把整

式方程的根帶入最簡公分母檢驗(yàn)，即可得出答案.

方程兩邊同時乘以(1-x)(l+x),約去分母得

2(l+x)+(l—x)(l+x)=x(l-x)

解得x=-3

檢驗(yàn):當(dāng)*=一3時，(1一x)(1+x)=[1-(-3)][1+(-3)]=一8H0,

是原方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵熟練掌握分式方程的解答步驟.

工⑶解分式方程：

/、、731-x2

(2)-----------7=1+^—.

X+XX-Xx—1

【答案】(1)無解；(2)無解

【解析】

【分析】(1)方程兩邊乘(x+l)(x-l)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得

到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

(2)方程兩邊乘x(x+D(x-l)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的

值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】(1)方程兩邊乘(x+l)(x-l),得2x+2=x+3,

解得x=l,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時，(x+l)(x—l)=0,

因此x=l不是原分式方程的解，

所以，原分式方程無解；

(2)方程兩邊乘x(x+l)(x-1),得7x-7+3x+3=x'-x+7x-x3，

解得x=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時，x(x+l)(x-l)=0,

因此x=l不是原分式方程的解，

所以，原分式方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

2nix)

17.已知關(guān)于x的分式方程一~+~~~八71=17，

x-i(x-l)(x+2)x+2

⑴若方程的增根為x=l,求m的值

(2)若方程有增根，求m的值

(3)若方程無解，求m的值.

【答案】(1)m=-6;(2)當(dāng)x=-2時，加=1.5；當(dāng)x=l時，"?=-6；(3)加的值為-1

或-6或1.5

【解析】

【詳解】試題分析：方程兩邊同時乘以最簡公分母(x-l)(x+2),化為整式方程；

(1)把方程的增根x=l代入整式方程，解方程即可得；

(2)若方程有增根，則最簡公分母為0,從而求得x的值，然后代入整式方程即可

得；

(3)方程無解，有兩種情況，一種是原方程有增根，一種是所得整式方程無解，分

別求解即可得.

試題解析：方程兩邊同時乘以(x+2)(x-1),得

2(x+2)+mx=x-l,

整理得(m+1)x=-5,

(1)Vx=l是分式方程的增根，

l+m=-5,

解得：m=-6；

(2)..?原分式方程有增根，

(x+2)(x-1)=0,

解得：x=-2或x=l,

當(dāng)x=-2時，w=1.5；當(dāng)時，m=-6；

(3)當(dāng)冽+1=0時,該方程無解，此時，"=-1；

當(dāng)加+1#)時，要使原方程無解，由(2)得：加=-6或機(jī)=1.5,

綜上，加的值為-1或-6或1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，正確的將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，明

確方程產(chǎn)生無解的原因，能正確地根據(jù)產(chǎn)生的原因進(jìn)行解答是關(guān)鍵.

18.在開任公路改建工程中，某工程段將由甲，乙兩個工程隊(duì)共同施工完成，據(jù)調(diào)

查得知，甲，乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)之比為2:3,若先由甲，乙兩隊(duì)合作

30天，剩下的工程再由乙隊(duì)做15天完成.

（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？

（2）此項(xiàng)工程由兩隊(duì)合作施工，甲隊(duì)共做了m天，乙隊(duì)共做了n天完成.已知甲隊(duì)

每天的施工費(fèi)為15萬元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8萬元，若工程預(yù)算的總費(fèi)用不超

過840萬元，甲隊(duì)工作的天數(shù)與乙隊(duì)工作的天數(shù)之和不超過80天，請問甲、乙兩隊(duì)

各工作多少天，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？

【答案】（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需60,90天；（2）甲、乙兩隊(duì)各工作

20,60天，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是780萬元.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解；

（2）用總工作量減去甲隊(duì)的工作量，然后除以乙隊(duì)的工作效率得到乙隊(duì)的施工天數(shù),

令施工總費(fèi)用為w萬元，求出w與m的函數(shù)解析式，根據(jù)m的取值范圍以及一次

函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需2x,3x天，

（11>1

由題意得：丁+「x30+—X15=1,

12x3xyJX

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原方程的根，

2x=60,3x=90,

答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需60,90天；

（my13

（2）由題意得：n=\1----=90--/M,

L60J902

令施工總費(fèi)用為w萬元，則w=15〃?+8x（90-g/M）=3/M+720.

???兩隊(duì)施工的天數(shù)之和不超過80天，工程預(yù)算的總費(fèi)用不超過840萬元,

A3m+720?840,80,

.?.20強(qiáng)版40,

3

當(dāng)機(jī)=20時，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少，此時〃=90--〃2=60,w=780元，

2

答：甲、乙兩隊(duì)各工作20,60天，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是780萬元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題

意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解.

19.某體育用品商場預(yù)測某品牌運(yùn)動服能夠暢銷，就用32000元購進(jìn)了一批這種運(yùn)

動服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進(jìn)第二批這種運(yùn)動服，所購數(shù)量是第

一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元.

（1）該商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動服多少套？

（2）如果這兩批運(yùn)動服每套的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤不低于20%,那么

每套售價(jià)至少是多少元？

【答案】（1）商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動服600套；（2）每套運(yùn)動服的售價(jià)至少是200

元

【解析】

【分析】（1）設(shè)該商場第一次購進(jìn)這種運(yùn)動服x套，第二次購進(jìn)2x套，然后根據(jù)題

意列分式解答即可；

（2）設(shè)每套售價(jià)是y元，然后根據(jù)“售價(jià)-兩次總進(jìn)價(jià)N成本x利潤率”列不等式并

求解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)商場第一次購進(jìn)x套運(yùn)動服，由題意得

6800032000，八

-------------------=10

2xx

解這個方程，得x=200

經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是所列方程的根

2x+x=2x200+200=600；

答：商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動服600套；

（2）設(shè)每套運(yùn)動服的售價(jià)為，元，由題意得

600y-32000-68000

32000+68000~""，

解這個不等式，得V2200.

答：每套運(yùn)動服的售價(jià)至少是200元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意、確定量之

間的關(guān)系、列出分式方程和不等式是解答本題的關(guān)鍵.

22觀察下列各式：＜1111111

21x2126-M-2312~3^4~3~4

11111111

20-4^5-4-5,30-576-5-6

（1）請你根據(jù)上面各式的規(guī)律，寫出符合該規(guī)律的一道等式：

（2）請利用上述規(guī)律計(jì)算:----1-----1F...H;-—

1x22x33x4---------+------------

（用含有〃的式子表示）

1111

（3）請利用上述規(guī)律解方程:(x-2)(x-l)+(x-l)--'-------\=----

xx(x+l)x+1'

【答案】（1）-411n

—.(2)；(3)x=5

426x767'〃+1

【解析】

【分析】根據(jù)閱讀材料，總結(jié)出規(guī)律，然后利用規(guī)律變形計(jì)算即可求解.

【詳解】解：（1）!=為=1—j（答案不唯一）；

故答案為~—~~~~；

426x767

11111

(2)原式+??????+------4-——

34/7-1nn77+1

.1/7+11

〃+17?+1〃+1

n

71+1

故答案為一、

M+1

111_11

（3）分式方程整理得:----------------------1---------+

x-2x—1x—1xxx+1x+1

12

即

x-2x+1

方程兩邊同時乘（x-2）（x-l）,得x+l=2（x-2）,

解得：X=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解.

所以原方程的解為：x=5.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了閱讀理解型的規(guī)律探索題，利用分?jǐn)?shù)和分式的性質(zhì)，把分

式進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵.

2某中學(xué)開學(xué)初在商場購進(jìn)A、B兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費(fèi)了2500

元，購買B品牌足球花費(fèi)了2000元，且購買A品牌的足球數(shù)量是購買B品牌足球

數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元

（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元？

（2）該中學(xué)響應(yīng)習(xí)近平總書記足球進(jìn)校園號召，決定兩次購進(jìn)A、B

兩種品牌足球共50個，恰逢商場對兩種品牌足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A

品牌足球售價(jià)比第一次購買時提高了8%,B品牌足球按第一次購買時售價(jià)的9

折出售，如果這所中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過3240元,那么

該中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球?

【答案】（1）一個A品牌的足球需50元，一個B品牌的足球需80元；（2）該中學(xué)

此次最多可購買30個B品牌足球

【解析】

【分析】（1）設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需（x+30）元，根

據(jù)購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍列出方程解答即可；

（2）設(shè)此次可購買。個B品牌足球，則購買A品牌足球（50-a）個，根據(jù)購買A、

B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過3240元，可列出關(guān)于“的不等式，解不等式即可解

決問題.

【詳解】解：（1）設(shè)一個A品牌的足球需x元，則一個B品牌的足球需（x+30）元,

由題意得：

經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是原方程的解，x+30=80.

答：一個A品牌的足球需50元，一個B品牌的足球需80元.

（2）設(shè)此次可購買。個B品牌足球，則購買A品牌足球（50-a）個，由題意得:

50x（1+8%）（50-a）+80x0.9a<3240,解得好30.

是整數(shù)，."最大等于30,

答：該中學(xué)此次最多可購買30個B品牌足球.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，屬于常考題型，

正確理解題意、列出相應(yīng)的方程和不等式是解答的關(guān)鍵.

培優(yōu)練

22.閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)"分式方程及其解法"過程中，老師提出一個問題：若關(guān)于x的分式方程

二+J-=1的解為正數(shù)，求a的取值范圍？

經(jīng)過小組交流討論后，同學(xué)們逐漸形成了兩種意見：

小明說：解這個關(guān)于X的分式方程，得到方程的解為x=a-2.由題意可得a-2>0,

所以a>2,問題解決.

小強(qiáng)說：你考慮的不全面.還必須保證ax3才行.

老師說：小強(qiáng)所說完全正確.

請回答：小明考慮問題不全面，主要體現(xiàn)在哪里？請你簡要說明：.

完成下列問題：

(1)已知關(guān)于X的方程津彳=1的解為