內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市德安中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若不等式組無(wú)解，則m的取值范圍是A、B、C、D、參考答案：B2.齊王與田忌賽馬，每場(chǎng)比賽三匹馬各出場(chǎng)一次，共賽三次，以勝的次數(shù)多者為贏．田忌的上馬優(yōu)于齊王的中馬，劣于齊王的上馬，田忌的中馬優(yōu)于齊王的下馬，劣于齊王的中馬，田忌的下馬劣于齊王的下馬．現(xiàn)各出上、中、下三匹馬分組進(jìn)行比賽，如雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，則田忌獲勝的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】記齊王的三匹馬分別為A、B、C，記田忌的三匹馬分別為a、b、c．利用列舉法能求出田忌獲勝的概率．【解答】解：記齊王的三匹馬分別為A、B、C，記田忌的三匹馬分別為a、b、c．若A與a比賽，記為Aa，齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Bc，Ca；Ab，Ba，Cc；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca．其中田忌獲勝的只有一種：Ac，Ba，Cb．∴田忌獲勝的概率為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．3.設(shè)則

(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】由題意得，然后根據(jù)可得三個(gè)函數(shù)值的大小．【詳解】∵，且，∴，∴，即．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查比較三角函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵是統(tǒng)一角，然后再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較，屬于基礎(chǔ)題．4.某公司有員工49人，其中30歲以上的員工有14人，沒(méi)超過(guò)30歲的員工有35人，為了解員工的健康情況，用分層抽樣的方法抽一個(gè)容量為7的樣本，其中30歲以上的員工應(yīng)抽多少()A.2人 B.4人 C.5人 D.1人參考答案：A試題分析：由題意抽取比例為，∴30歲以上的員工應(yīng)抽人，故選A考點(diǎn)：本題考查了分層抽樣的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分層抽樣的概念是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題4.甲乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲乙下成和棋的概率為（）A．60%

B．30%

C．10%

D．50%參考答案：D略6.已知，則=（）A． B．7 C． D．﹣7參考答案：A【考點(diǎn)】GR：兩角和與差的正切函數(shù)；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將sinα算出并求出tanα帶入可求出值．【解答】∵∴sinα==即tanα=∴tan（）==故答案為：A【點(diǎn)評(píng)】考查了兩角和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)向量與的夾角為θ，定義與的“向量積”：是一個(gè)向量，它的模，若，則=（）A．B．2C．D．4參考答案：B考點(diǎn)：平面向量的綜合題．

專(zhuān)題：新定義．分析：設(shè)的夾角為θ，由向量的數(shù)量積公式先求出cosθ==﹣，從而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：設(shè)的夾角為θ，則cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要正確理解向量積的概念，認(rèn)真審題，注意向量的數(shù)量積的綜合運(yùn)用．8.下列給出函數(shù)與的各組中，是同一個(gè)關(guān)于的函數(shù)的是

（

）

參考答案：C9.等比數(shù)列中,則的前項(xiàng)和為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B

解析：10.函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5在區(qū)間[0，m]上的最大值為5，最小值為1，則m的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．[2，4] C．（﹣∞，2] D．[0，2]參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】先用配方法找出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，明確單調(diào)性，找出取得最值的點(diǎn)，得到m的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5轉(zhuǎn)化為f（x）=（x﹣2）2+1∵對(duì)稱(chēng)軸為x=2，f（2）=1，f（0）=f（4）=5又∵函數(shù)f（x）=x2﹣4x+5在區(qū)間[0，m]上的最大值為5，最小值為1∴m的取值為[2，4]；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)在角的終邊上，則

。參考答案：012.的化簡(jiǎn)結(jié)果是

參考答案：－2sin413.定義在上的函數(shù)滿足，則參考答案：201214.不等式｜2x－1｜＜2的解集是

。參考答案：略15.如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱錐中，給出下列三個(gè)命題：①是等邊三角形；

②；

③三棱錐的體積是；④AB與CD所成的角是60°。其中正確命題的序號(hào)是

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

參考答案：略16.已知，且，則

▲

；

▲

.參考答案：，

，

17.x2+y2﹣2x+4y=0的圓心坐標(biāo)是

，半徑是．參考答案：（1，﹣2），

【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】由方程x2+y2﹣2x+4y=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=5，即可得到圓心的坐標(biāo)、半徑．【解答】解：由方程x2+y2﹣2x+4y=0可得（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圓心坐標(biāo)為（1，﹣2），半徑為．故答案為：（1，﹣2），．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.解不等式組：．參考答案：【考點(diǎn)】74：一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解法分別解出4﹣x2≤0，2x2﹣7x﹣15＜0，求出其交集即可．【解答】解：由4﹣x2≤0，解得x≥2或x≤﹣2；由2x2﹣7x﹣15＜0，解得．∴不等式組：?，解得2≤x＜5．∴不等式組的解集為{x|2≤x＜5}．19.（本小題滿分14分）某公司利用A、B兩種原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品所需要的原料及利潤(rùn)如下表所示：

A種原料（單位：噸）B種原料（單位：噸）利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）甲種產(chǎn)品123乙種產(chǎn)品214公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每種產(chǎn)品每天消耗A、B原料都不超過(guò)12噸。求每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少?lài)崳构精@得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少?參考答案：設(shè)生產(chǎn)噸甲種產(chǎn)品，噸乙種產(chǎn)品，總利潤(rùn)為Z（萬(wàn)元），則約束條件為，……4分目標(biāo)函數(shù)為，……5分可行域?yàn)橄聢D中的陰影部分：………………9分化目標(biāo)函數(shù)為斜截式方程：

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過(guò)圖中的點(diǎn)M時(shí)，有最大值，……………10分聯(lián)立方程組，解得，

所以，…………………12分將代入目標(biāo)函數(shù)得（萬(wàn)元）．答：公司每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品都是噸時(shí)，公司可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．…14分20.某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；（2）估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均分；（3）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的頻率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系易得答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義和中位數(shù)的定義即可求出．（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2，列舉法易得【解答】解：（1）由題意可知，樣本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）設(shè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率P=1﹣=【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法求古典概型的概率，涉及頻率分布直方圖，屬基礎(chǔ)題．21.函數(shù)f（x）=loga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為（m，n），圓C的方程為（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0），直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)為．（1）求m、n以及r的值；（2）設(shè)點(diǎn)P（2，﹣1），探究在直線y=﹣1上是否存在一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P），使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比（k為常數(shù)）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)以及常數(shù)k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由題意和對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)可得m=5，n=﹣1，由圓的弦長(zhǎng)公式可得r的方程，解方程可得；（2）假設(shè)在直線y=﹣1上存在一點(diǎn)B（異于點(diǎn)P）滿足題意，下面證明：設(shè)T（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)T在S和Q時(shí)，則有，解得，然后由距離公式證明在直線y=﹣1上存在一點(diǎn)，使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)T到P，B兩點(diǎn)的距離之比．【解答】解：（1）在函數(shù)f（x）=loga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中，當(dāng)x=5時(shí)，y=﹣1，∴必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為點(diǎn)（5，﹣1），即m=5，n=﹣1，由于直線AP被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，圓C半徑為r，設(shè)圓心到直線AP的距離為d，由于圓心（5，﹣1）到直線的距離為，∴