湖南省岳陽市臨湘聶市中學高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某初級中學領導采用系統抽樣方法，從該校預備年級全體800名學生中抽50名學生做牙齒健康檢查．現將800名學生從1到800進行編號，求得間隔數k==16，即每16人抽取一個人．在1～16中隨機抽取一個數，如果抽到的是7，則從33～48這16個數中應取的數是(

)A．40 B．39 C．38 D．37參考答案：B【考點】系統抽樣方法．【專題】計算題．【分析】各組被抽到的數，應是第一組的數加上間隔的正整數倍，倍數是組數減一．【解答】解：根據系統抽樣的原理：應取的數是：7+16×2=39故選B【點評】本題主要考查系統抽樣，系統抽樣要注意兩點：一是分組的組數是由樣本容量決定的，二是隨機性是由第一組產生的數來決定的．其他組加上間隔的正整數倍即可．2.若實數滿足不等式組，則的最大值為（

）A.1

B.0

C.-1

D.-3參考答案：B3.已知是定義在上的奇函數，當時，.則函數的零點的集合為

A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.下列函數中，在區間(0,+∞)上單調遞增的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.若關于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m對任意x∈[－2,2]恒成立，則m的取值范圍是（)A．(－∞，7] B．(－∞，－20]

C．(－∞，0] D．[－12,7]參考答案：6.“雙曲線的一條漸近線方程為”是“雙曲線的方程為”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.充要條件

D.不充分不必要條件參考答案：B略7.已知點分別是橢圓的左，右焦點，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，若是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B8.已知可導函數滿足，則當時，和大小關系為A. B.C. D.參考答案：B【分析】構造函數，求導后可知，從而可確定在上單調遞增，得到，整理可得到結果.【詳解】令，則又，

在上單調遞增，即

本題正確選項：【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性的問題，關鍵是能夠構造出新函數，通過求導得到函數的單調性，將問題轉變為新函數的函數值之間的比較問題.9.曲線y=﹣2x在點（1，﹣）處切線的傾斜角為（）A．1 B．45° C．﹣45° D．135°參考答案：D【考點】直線的傾斜角．【分析】本題考查的知識點為導數的幾何意義及斜率與傾斜角的轉化，要求曲線在點（1，）處切線的傾斜角，我們可以先求出曲線方程的導函數，并計算出點（1，）的斜率即該點的導數值，然后再計算傾斜角．【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲線在點（1，）處切線的斜率為：﹣1故曲線在點（1，）處切線的傾斜角為：135°故選D10.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.現給出如下結論：①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0.其中正確結論的序號是（

）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知有下面程序，如果程序執行后輸出的結果是11880，那么在程序UNTIL后面的“條件”應為

參考答案：（或）

12.觀察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推測，m－n＋p＝___▲_____.參考答案：962 略13.已知拋物線的準線與雙曲線交于、兩點，點為拋物線的焦點，若△為直角三角形，則該雙曲線的離心率是________________。參考答案：14.某地區為了了解70～80歲老人的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機選擇了50位老人進行調查．下表是這50位老人日睡眠時間的頻率分布表.

序號(I)分組(睡眠時間)組中值(GI)頻數(人數)頻率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述統計數據的分析中，一部分計算見流程圖，則輸出的S的值是________．參考答案：6.4215.設F1，F2分別為橢圓+y2=1的焦點，點A，B在橢圓上，若=5；則點A的坐標是．參考答案：（0，±1）【考點】橢圓的簡單性質．【分析】作出直線F1A的反向延長線與橢圓交于點B'，由橢圓的對稱性，得，利用橢圓的焦半徑公式及向量共線的坐標表示列出關于x1，x2的方程，解之即可得到點A的坐標．【解答】解：方法1：直線F1A的反向延長線與橢圓交于點B'又∵由橢圓的對稱性，得設A（x1，y1），B'（x2，y2）由于橢圓的a=，b=1，c=∴e=，F1（，0）．∵|F1A|=|x1﹣|，|F1B'|=|x2﹣|，從而有：|x1﹣|=5×|x2﹣|，由于≤x1，x2，∴﹣x1＞0，﹣x2＞0，即=5×=5．①又∵三點A，F1，B′共線，∴（，y1﹣0）=5（﹣﹣x2，0﹣y2）∴．②由①+②得：x1=0．代入橢圓的方程得：y1=±1，∴點A的坐標為（0，1）或（0，﹣1）方法2：因為F1，F2分別為橢圓的焦點，則，設A，B的坐標分別為A（xA，yA），B（xB，yB），若；則，所以，因為A，B在橢圓上，所以，代入解得或，故A（0，±1）．方法三、由e=||，λ=5，e=，cosθ=，sinθ=，k=tanθ=，由，即可得到A（0，±1）．故答案為：（0，±1）．16.若函數的圖象的相鄰兩條對稱軸的距離是，則的值為

．參考答案：1略17.如下左圖，在長方形中，為的四等分點（靠近處），為線段上一動點（包括端點），現將沿折起，使點在平面內的射影恰好落在邊上，則當運動時，二面角的平面角余弦值的變化范圍為

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數。參考答案：19.在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射擊命中率都是.，每次命中與否互相獨立.

(1)求油罐被引爆的概率.

(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望參考答案：20.已知F1，F2為橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓右焦點F2斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，△EFF1的周長為8，且橢圓C與圓x2+y2=3相切．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x=4于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證k?k′為定值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）由已知條件推導出4a=8，方程組只有一組解，利用根的判別式求出=3，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設過點F2（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1），設點E（x1，y1），點F（x2，y2），將直線l方程y=k（x﹣1）代入橢圓C：，得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用已知條件推導出直線PF2的斜率為k′=﹣，從而能夠證明k?k′為定值．【解答】（Ⅰ）解：∵過橢圓右焦點F2斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，△EFF1的周長為8，且橢圓C與圓x2+y2=3相切，∴4a=8，解得a=2，∴方程組只有一組解，即方程（b2﹣4）x2+12﹣4b2=0只有一個實數根，∴△=0﹣4（b2﹣4）（12﹣4b2）=0，解得=3或b2=4（舍），∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）證明：設過點F2（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1），設點E（x1，y1），點F（x2，y2）…5分將直線l方程y=k（x﹣1）代入橢圓C：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…6分∵點F2在橢圓內，∴直線l和橢圓都相交，△＞0恒成立，且，，…7分直線AE的方程為：，直線AF的方程為：，令x=4，得點M（4，2），N（4，2），∴點P的坐標（4，（）），…9分直線PF2的斜率為k′==（）=?=?，…11分將，代入上式得：=﹣，∴，∴k?k′為定值．21.傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏．將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖．（Ⅰ）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？

優秀合格合計大學組

中學組

合計

注：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.100.050.005k02.7063.8417.879（Ⅱ）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數；（Ⅲ）在優秀等級的選手中取6名，依次編號為1，2，3，4，5，6，在良好等級的選手中取6名，依次編號為1，2，3，4，5，6，在選出的6名優秀等級的選手中任取一名，記其編號為a，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為b，求使得方程組有唯一一組實數解（x，y）的概率．參考答案：【考點】BO：獨立性檢驗的應用；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由條形圖可知2×2列聯表，計算k2，與臨界值比較，即可得出結論；（Ⅱ）由條形圖知，所抽取的100人中，優秀等級有75人，故優秀率為．可得其中優秀等級的選手人數；（Ⅲ）確定基本事件的個數，即可求出使得方程組有唯一一組實數解（x，y）的概率．【解答】解：（Ⅰ）由條形圖可知2×2列聯表如下

優秀合格合計大學組451055中學組301545合計7525100…∴沒有95%的把握認為優秀與文化程度有關．…（Ⅱ）由條形圖知，所抽取的100人中，優秀等級有75人，故優秀率為．∴所有參賽選手中優秀等級人數約為萬人．…（Ⅲ）a從1，2，3，4，5，6中取，b從1，2，3，4，5，6中取，故共有36種，要使方程組有唯一組實數解，則，共33種情形．故概率．…22.已知函數f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設兩個極值點分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】（Ⅰ）由導數與極值的關系知可轉化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，或轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點；或轉化為g（x）=lnx﹣ax有兩個不同零點，從而討論求解；（Ⅱ）問題等價于ln＞，令，則t＞1，，設，根據函數的單調性證出結論即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；（解法一）轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，如右圖．可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．又g′（x）=，即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減．故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，只須0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉化為函數g（x）有兩個不同零點，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調增，此時g（x）不可能有兩個不同零點．若a＞0，在0