河南省許昌市尚集鎮第一中學高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如右圖是一個簡單空間幾何體的三視圖，其主視圖與左視圖都是邊長為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是(

)A

B

4

C

D

參考答案：C2.設雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點分別為F1，F2，若在雙曲線C的下支上存在一點P使得|PF1|=4|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）A．[，+∞） B．（1，] C．[，+∞） D．（1，]參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根據點P在雙曲線的下支上，可得|PF2|≥c﹣a，從而求得此雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：∵|PF1|=4|PF2|，∴由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=a，∵點P在雙曲線的下支，∴a≥c﹣a，即a≥c，∴e≤，∵e＞1，∴1＜e≤，∴雙曲線的離心率e的取值范圍為（1，]．故選：D．3.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°參考答案：D4.在平面直角坐標系中作矩形,已知,則的值為（

）A、

B、7

C、25

D、0參考答案：A5.命題“存在，使得”的否定是（

）A．“任意，均有”

B．“任意，均有”C．“存在，使得”

D．“不存在，使得”參考答案：B略6.若隨機變量，且，則的值是（）A. B. C. D.參考答案：C【詳解】試題分析：根據隨機變量符合二項分布，根據期望值求出n的值，寫出對應的自變量的概率的計算公式，代入自變量等于1時的值．解：∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故選C．考點：二項分布與n次獨立重復試驗的模型．7.如圖是解決數學問題的思維過程的流程圖：圖中①、②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法相匹配是(

) A．①﹣分析法，②﹣綜合法 B．①﹣綜合法，②﹣分析法 C．①﹣綜合法，②﹣反證法 D．①﹣分析法，②﹣反證法參考答案：B考點：分析法和綜合法．專題：證明題；推理和證明．分析：根據綜合法和分析法的定義，可知由已知到可知進而得到結論的應為綜合法，由未知到需知，進而找到與已知的關系為分析法，進而得到答案．解答： 解：根據已知可得該結構圖為證明方法的結構圖：∵由已知到可知，進而得到結論的應為綜合法，由未知到需知，進而找到與已知的關系為分析法，故①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法為：①﹣綜合法，②﹣分析法，故選：B．點評：本題以結構圖為載體，考查了證明方法的定義，正確理解綜合法和分析法的定義，是解答的關鍵．8.袋中裝有6個紅球和4個白球，不放回的依次摸出兩球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A.

B. C.

D.參考答案：D【分析】通過條件概率相關公式即可計算得到答案.【詳解】設“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B，而，，故，故選D.【點睛】本題主要考查條件概率的相關計算，難度不大.9.直三棱錐ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】異面直線及其所成的角．【分析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，從而求出向量，的坐標，從而BM與AN所成角的余弦值為||=．【解答】解：根據已知條件，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設CA=2，則：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM與AN所成角的余弦值為．故選：D．10.在△ABC中，a=+1,

b=－1,

c=，則△ABC中最大角的度數為（

）

A.600

B.900

C.1200

D.1500參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.凸函數的性質定理為：如果函數在區間上是凸函數，則對于區間內的任意，有,已知函數在區間上是凸函數，則在中，的最大值為________．參考答案：12.函數y=（x2﹣3）ex的單調減區間為．參考答案：（﹣3，1）【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞減區間即可．【解答】解：y′=（x+3）（x﹣1）ex，令y′＜0，解得：﹣3＜x＜1，故函數在（﹣3，1）遞減，故答案為：（﹣3，1）．【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道基礎題．13.若P0（x0，y0）在橢圓外，則過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線方程是．那么對于雙曲線則有如下命題：若P0（x0，y0）在雙曲線外，則過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2的所在直線方程是．參考答案：【考點】類比推理．【分析】根據橢圓與雙曲線之間的類比推理，由橢圓標準方程類比雙曲線標準方程，由點的坐標類比點的坐標，由切點弦P1P2所在直線方程類比切點弦P1P2所在直線方程，結合求橢圓切點弦P1P2所在直線方程方法類比求雙曲線切點弦P1P2所在直線方程即可．【解答】解：若P0（x0，y0）在橢圓外，則過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線方程是．那么對于雙曲線則有如下命題：若P0（x0，y0）在雙曲線外，則過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2的所在直線方程是故答案為：．14.已知的最大值是

.參考答案：2－415.在求的值時，采用了如下的方式：“令，則，解得，即”．用類比的方法可以求得的值為

．參考答案：416.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1和AB成角為．參考答案：45°考點：異面直線及其所成的角．專題：空間位置關系與距離．分析：由A1C1∥AC，知A1C1和AB所成角為∠BAC，由此能求出A1C1和AB所成角．解答：解：∵A1C1∥AC，∴A1C1和AB所成角為∠BAC，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．故答案為：45°．點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．17.已知在上有兩個不同的零點，

則m的取值范圍是_____________.參考答案：[1,2)略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且PD=BC=3AD=3．（Ⅰ）畫出四棱準P﹣ABCD的正視圖；（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：棱PB上存在一點E，使得AE∥平面PCD，并求的值．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；簡單空間圖形的三視圖；直線與平面平行的性質．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）畫出正視圖即可；（Ⅱ）根據面面垂直的判定定理證明即可；（Ⅲ）根據線面垂直的判定定理進行證明即可．【解答】（Ⅰ）解：四棱準P﹣ABCD的正視圖如圖所示．；（Ⅱ）證明：因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD．因為AD⊥DC，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AD⊥平面PCD，因為AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．（Ⅲ）分別延長CD，BA交于點O，連接PO，在棱PB上取一點E，使得，下證AE∥平面PCD，因為AD∥BC，BC=3AD，所以，即，所以．所以AE∥OP，因為OP?平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD．【點評】本題考查了三視圖問題，考查面面垂直、線面垂直的判斷定理，是一道中檔題．19.設是數列的前項和且,所有項，且（1）證明;是等差數列：（2）求數列的通項公式；參考答案：（1）詳見解析（2）試題解析：（1）（8分）證明：當時，，

解得：或（舍去）

當時，

即：[KS5UKS5U]

數列是以3為首項，2為公差的等差數列。（2）（4分）由（1）知，考點：等差數列定義與通項公式【方法點睛】給出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.應用關系式an＝時，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起.20.學校從參加高一年級期中考試的學生中抽出50名學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數且滿分為100分），數學成績分組及各組頻數如下：，4．（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估計成績在80分以上（含80分）學生的比例；（3）為了幫助成績差的學生提高數學成績，學校決定成立“二幫一”小組，即從成績在的學生中選兩位同學，共同幫助成績在[40，50）中的某一位同學．已知甲同學的成績為42分，乙同學的成績為95分，求甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率．樣本頻率分布表：分組頻數頻率[40，50）20.04[50，60）30.06[60，70）140.28[70，80）150.30[80，90）AB

40.08合計CD參考答案：【考點】B7：頻率分布表．【分析】（1）根據題意可知A、B、C、D的值；（2）求得兩組數據的頻率之和，可得成績在80分以上（含80分）學生的比例；（3）根據成績在和兩組數據，兩組數據的頻率之和為0.24+0.08=0.32，∴成績在80分以上（含80分）學生的比例為32%；（3）成績在的學生有4人，成績在[40，50）的學生有2人，實行“二幫一”小組，共有=12種情形，其中甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的有=3種情形，∴甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率為=．21.（本題14分）如圖7，為坐標原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別為，離心率為，已知，且.(1)求的方程；(2)過作的不垂直于軸的弦,為的中點，當直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值.參考答案：（Ⅰ）因為所以即，因此從而，于是，所以，故橢圓方程為,雙曲線的方程為.（Ⅱ）因為直線不垂直于軸且過點，故可設直線的方程為.由得易知此方程的判別式大于0.設，則是上述方程的兩個實根，所以因此，的中點為，故直線的斜率為，的方程為，即.由得，所以從而設點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，所以因為點在直線的異側，所以，于是,從而又因為，所以四邊形面積而，故當時，取得最小值2.四邊形面積的最小值為2.22.語文成績服從正態分布N，數學成績的頻率分布直方圖如圖：（1）如果成績大于135的為特別優秀，這500名學生中本次考試語文、數學特別優秀的大約各多少人？（2）如果語文和數學兩科都特別優秀的共有6人，從（1）中的這些同學中隨機抽取3人，設三人中兩科都特別優秀的有x人，求x的分布列和數學期望．（3）根據以上數據，是否有99%的把握認為語文特別優秀的同學，數學也特別優秀．①若x～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．②k2=；③P（k2≥k0）0.500.40…0.0100.0050.001k00.4550.708…6.6357.87910.828參考答案：【考點】BK：線性回歸方程；B8：頻率分布直方圖．【分析】（1）先求出語文成績特別優秀的概率和數學成績特別優秀的概率，由此能求出語文和數學兩科都特別優秀的人的個數．（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（3）列出2×2列聯表，求出k2，與臨界值比較，即可得出結論．【解答】解：（1）∵語文成績服從正態分布N，∴語文成績特別優秀的概率為p1=P（X≥135）=（1﹣0.96）×=0.02，數學成績特別優秀的概率為p2=0.