屆高三第一次質量檢測數學試題（A）本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡和試卷指定位置上2．作答選擇題前，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：（本大題共8小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．若曲線在點處的切線與直線垂直，則a的值為（）A． B． C． D．12．甲、乙兩所學校各有3名志愿者參加一次公益活動，活動結束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一個學校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數有（）A．36 B．72 C．144 D．2883．設，則（）A．84 B．56 C．36 D．284．某醫院對10名入院人員進行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗需檢驗10次；若采用10合一混管檢驗，檢驗結果為陰性則只要檢驗1次，如果檢驗結果為陽性，就要再全部進行單管檢驗．記10合一混管檢驗次數為ξ，當時，10名人員均為陰性的概率為（）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.25．某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發芽數量y（顆）之間的關系，采集5組數據，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（）A．相關系數r變小 B．決定系數變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強6．已知事件A，B滿足，，則（）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B不相互獨立7．某人在n次射擊中擊中目標的次數為X，，其中，擊中奇數次為事件A，則（）A．若，，則取最大值時B．當時，取得最小值C．當時，隨著n的增大而增大D．當時，隨著n的增大而減小8．已知函數，，若存在，使得成立，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：（本大題共4小題；每小題4分，共16分．每小題有多個選項符合題目求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）9．“天宮課堂”是為發揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌．為了解學生對“天宮課堂”的喜愛程度，某學校從全校學生中隨機抽取200名學生進行問卷調查，得到以下數據，則（）喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數據：①，，②當時，．A．從這200名學生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B．用樣本的頻率估計概率，從全校學生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為C．根據小概率值的獨立性檢驗，認為喜歡天宮課堂與性別沒有關聯D．對抽取的喜歡天宮課堂的學生進行天文知識測試，男生的平均成績為80，女生的平均成績為90，則參加測試的學生成績的均值為8510．隨機變量ξ的分布列如表：其中，下列說法正確的是（）012PxA． B．C．有最大值 D．隨y的增大而減小11．設甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，記事件“從甲袋中任取1球是紅球”，記事件“從乙袋中任取2球全是白球”，則（）A．事件A與事件B相互獨立 B．C． D．12．已知a，，，，則（）A．對于任意的實數a，存在b，使得f（x）與g（x）有互相平行的切線B．對于給定的實數，存在a，b，使得成立C．在上的最小值為0，則的最大值為D．存在a，b，使得對于任意恒成立三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．某學校門口現有2輛共享電動單車，8輛共享自行車．現從中一次性隨機租用3輛，則恰好有2輛共享自行車被租用的概率為______．14．若，則______．15．某校高二學生的一次數學診斷考試成績（單位：分）服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績X，記該同學的成績為事件A，記該同學的成績為事件B，則在A事件發生的條件下B事件發生的概率______．（結果用分數表示）附參考數據：，；16．若，則實數m最大值為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）某學校研究性學習小組在學習生物遺傳學的過程中，為驗證高爾頓提出的關于兒子成年后身高y（單位：cm）與父親身高x（單位：cm）之間的關系及存在的遺傳規律，隨機抽取了5對父子的身高數據，如下表：父親身高160170175185190兒子身高170174175180186（1）根據表中數據，求出y關于x的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規律?（2）記，，其中為預測值，為觀測值，為對應的殘差．求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個結果是否對任意具有線性相關關系的兩個變量都成立?若成立加以證明：若不成立說明理由．參考數據及公式：，，，，．18．（12分）已知函數，，其中．（1）討論方程實數解的個數；（2）當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．19．（12分）已知甲箱、乙箱均有6件產品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．（1）現從甲箱中隨機抽取兩件產品放入乙箱，再從乙箱中隨機抽取一件產品，求從乙箱中抽取的這件產品恰好是次品的概率；（2）現需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到能將次品全部找出時檢測結束，已知每檢測一件產品需要費用15元，設X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列與數學期望．20．（12分）已知函數有三個零點．（1）求a的取值范圍；（2）設函數的三個零點由小到大依次是，，．證明：．21．（12分）5G網絡是新一輪科技革命最具代表性的技術之一．已知某精密設備制造企業加工5G零件，根據長期檢測結果，得知該5G零件設備生產線的產品質量指標值服從正態分布．現從該企業生產的正品中隨機抽取100件，測得產品質量指標值的樣本數據統計如圖．根據大量的產品檢測數據．質量指標值樣本數據的方差的近似值為100．用樣本平均數作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值．已知質量指標值不低于70的樣品數為25件．（1）求（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）若質量指標值在內的產品稱為優等品，求該企業生產的產品為優等品的概率；（3）已知該企業的5G生產線的質量控制系統由個控制單元組成，每個控制單元正常工作的概率為，各個控制單元之間相互獨立，當至少一半以上控制單元正常工作時，該生產線正常運行生產．若再增加1個控制單元，試分析該生產線正常運行概率是否增加?并說明理由．附：，，．22．（12分）已知函數，其中．（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）若存在兩個極值點，，的取值范圍為，求的取值范圍．2024屆高三第一次質量檢測數學試題（A）參考答案及評分標準一、單項選擇題：（本大題共8小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）12345678ABACDBCA二、多項選擇題：（本大題共4小題；每小題4分，共16分．每小題有多個選項符合題目要求．全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分）9101112BCABCCDABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．240 15． 16．3四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由題意得，，，，所以回歸直線方程為，令得，即時，兒子比父親高；令得，即時，兒子比父親矮，可得當父親身高較高時，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢（意思對即可）（2），，，，，所以，又，所以，結論：對任意具有線性相關關系的變量，證明：．18．解：（1）由可得，，令，，令，可得，當，，函數單調遞減，當，，函數單調遞增，所以函數在時取得最小值，所以當時，方程無實數解，當時，方程有一個實數解，當時，方程有兩個實數解；（2）由題意可知，不等式可化為，，，即當時，恒成立，所以，即，令，，當時，函數與的圖象必有一個交點，設交點的橫坐標為，則有，即，①若，當時，函數的圖象在的上方，所以，在上單調遞增，所以，②若，當時，函數的圖象在的下方，，在上單調遞減，當，函數的圖象在的上方，，在上單調遞增，所以，要使當時，不等式恒成立，只需當時，，一方面，令，則在上單調遞減，又，所以時，，另一方面，由可得，，令，則在上單調遞增，所以當時，，所以時，，綜上所述，實數a的取值范圍為．19．解：（1）設“從甲箱中抽取的兩件產品均為正品”，“從甲箱中抽取的兩件產品為一件正品，一件次品”，“從甲箱中抽取的兩件產品均為次品”，“從乙箱中抽取的一件產品為次品“，由全概率公式，得．（2）X的所有可能取值為30，45，60，75．則；；；．所以X的分布列為30456075X的數學期望（元）．20．【解析】（1）因為定義域為，又，（ⅰ）當，，單調遞減；（ⅱ）當，記，，當，；當，，所以在單調遞增，在上單調遞減，，又，，所以①當，，單調遞減，至多一個零點，與題設矛盾；②當，，由（ⅱ）知，有兩個零點，記兩零點為m，n，且，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，令，，則，，所以，，∴，，且x趨近0，趨近，x趨近，趨近，所以函數有三零點，綜上所述，；（2），這等價于，即，令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由（1）可得，則，，，，所以，，所以，，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，該函數在上單調遞減，在上單調遞增，下面證明，由，即證，即證，即證即證，，令，，，令，，，所以，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以原命題得證．21．解：（1）因為質量指標值不低于70的樣品數為25件，所以，所以，因為，所以，由題意，估計從該企業生產的正品中隨機抽取100件的平均數為：，（2）由題意知，樣本方差，故，所以產品質量指標值，優等品的概率（3）假設質量控制系統有奇數個控制單元，設，記該生產線正常運行的概率為，若再增加1個元件，則第一類：原系統中至少有個元件正常工作，其正常運行概率為；第二類：原系統中恰好有k個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，其正常運行概率為；所以增加一個原件正常運行的概率為，即，因為，所以，即增加1個控制單元設備正常工作的概率變小；假設質量控制系統有偶數個控制單元．設，記該生產線正常運行的概率為，若增加1個元件，則第一類：原系統中至少有上個元件正常工作，其正常運行概率為；第二類：原系統中恰好有個控制單元正常工作，新增1個控制單元正常工作，其正常運行概率為；所以增加一個原件正常運行的概率為