計量經濟學第十章聯立方程模型計量經濟學1第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學2在前面的章節中，我們所討論的都是單一方程模型，也就是只有一個因變量Y和一個或若干個自變量X的模型，在這些模型中，我們分析的重點是因變量和自變量之間單向的關系，自變量是原因，而因變量是結果。但是在現實經濟活動中，經濟變量之間的影響是雙向的，一個經濟變量影響另外一個(或多個)經濟變量，反過來又受到另外一個(或多個)變量的影響。例如在貨幣M對利率r的影響分析中，單一方程隱含地假定利率是由中央銀行制定的，并且試圖求出貨幣需求對利率水平變化地反應，但是如果利率依賴于貨幣供給，這時就需要建立兩個方程，一個把貨幣M聯系到利率r，另外一個把r聯系到貨幣M,從而導致對聯立方程模型的考慮。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學310.1聯立方程的性質首先舉兩個聯立方程的例子，然后再說明聯立方程估計時會出現的問題。例10.1需求和供給模型我們知道一種商品的價格P和它的需求量Q是對該商品需求和供給曲線的交點來決定的，為了分析方便，假定需求和供給曲線都是線性的，那么加上隨機誤差項，可以寫出需求和供給方程：第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學4不難看出價格P和需求量Q是聯合因變量，例如，由于影響需求的其他變量(如收入、財富或嗜好)的改變，需求函數的隨機誤差項也將改變因而需求曲線的遷移同時改變了價格P和需求量Q上移價格上升下移價格下降第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學5同理，由于影響供給的其他變量(如罷工、氣候和進出口限制)的改變，供給曲線發生遷移，同樣也會影響價格P和需求量Q,正是由于價格和需求量的這種同時相依性，在需求和供給函數中，隨機誤差項和價格之間的獨立是不可能的，因此直接對供給和需求函數進行回歸將破壞經典線性回歸模型的基本假定，無法得出無偏一致的統計量。左移右移價格上升價格下降第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學6例10.2凱恩斯收入決定模型考慮一下簡單的凱恩斯收入決定模型從消費函數中可以明顯看出，C和Y是相互依賴的，并且當隨機誤差項發生偏移時，消費函數也隨之移動，而消費的移動反過來又會影響Y，對這個函數使用普通最小二乘法也是不適用，得出的估計量將會是非一致的。10.1.410.1.5第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學7知識點回顧無偏是指估計量的數學期望等于總體指標，即由估計量給出的所有估計值的平均數等于總體均值。一致也稱相合，是指隨著樣本容量的擴大，估計值會趨于總體指標值，或者說，隨著樣本容量的逐步擴大，估計量與總體指標之間的絕對離差小于任意小的正數的概率趨于1。有效是指所選定的估計量比其他估計量有更小的方差，即所選定的估計量與總體指標的絕對離差小于任意小正數的概率大于其他估計量。第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學8聯立方程偏誤：普通最小二乘估計量的非一致性從前面所舉的兩個聯立方程例子中可以看出，方程中有一個或多個自變量與隨機誤差項相關，使用普通最小二乘法估計模型，所得的參數估計量將是非一致的，為了說明這一點，以凱恩斯收入決定模型為例，假設估計消費函數中的參數，要求隨機誤差項滿足線性回歸模型的基本假定可以證明：1、因變量和隨機誤差項相關把(10.1.4)帶入(10.1.5)式，有10.1.610.1.7第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學9用(10.1.6)-(10.1.7)，得第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學10把(10.1.4)帶入上式第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學1110.2聯立方程的識別問題回顧前一節中引入的需求模型，假若我們僅有銷售量Q和價格P的時間序列數據，而沒有更多的信息，比如有關消費者收入、前期價格或者氣候等方面的消息，那么這時我們究竟是在估計需求函數還是供給函數呢？這樣就涉及到聯立方程的模型識別問題。10.2.1符號和定義為了說明怎樣解決識別問題，首先引入一些符號和定義。一般而言，有M個內生和聯合因變量的方程模型可以寫成如下方程組的形式：第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學1210.2.1第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學13前定變量：其值由模型外部決定，視為非隨機變量內生變量：其值由模型內部決定，視為隨機變量外生前定變量：當前以及滯后的外生變量滯后內生前定變量：出現在方程組中的方程也許描述了一個經濟社會的結構或者描述一個經濟人(或消費者或生產者)的行為，因此把這些方程稱為結構或者行為方程，眾多的β、γ系數稱為結構系數，從結構性方程中可以解出m個內生變量的系數，并且導出誘導型方程和相應的誘導型系數。第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學14誘導型方程：純粹由前定變量和隨機誤差項來表達的一個內生變量的方程。以前面的凱恩斯收入模型為例，回顧公式(10.1.4)和(10.1.5)把(10.1.4)帶入(10.1.5)式，有10.1.610.2.2公式(10.2.2)就是一個誘導型方程，它把內生變量Y表達為僅由外生變量I和隨機誤差項組成的函數第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學15把(10.2.2)帶回到式(10.1.4)中，得到另一個誘導方程誘導型(外生變量)系數度量外生變量取值的單位變化對內生變量的即期影響。對于誘導型或簡化式方程，由于前定變量和隨機干擾項都在方程右邊而且假定外生變量和隨機干擾項不相關，因而可以用普通最小二乘法估計出來的誘導型系數來計算結構系數，這種方法就稱為間接最小二乘法，在后面我們將詳細介紹這種方法。10.2.3第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學1610.2.2聯立方程模型的識別聯立方程的識別就是指能否從所估計出來的誘導型系數求出一個結構方程的參數估計值，如果能夠，那么就說這個聯立方程是可以識別的，否則就說該方程是不可識別的。(1)完全不可識別情形以例10.1中個需求和供給函數為例，由供給均衡條件可得求得均衡價格同樣可以求得均衡銷售量10.2.410.2.510.2.6第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學17式(10.2.4)和(10.2.5)是兩個誘導型(簡化型)方程，但是原來的供求模型中有4個未知的結構參數，要估計出4個未知參數，必須要有4個獨立的方程，因此用兩個誘導型方程是沒有辦法估計出這4個參數的，這也意味著給定價格P和銷售量Q的數據，如果沒有其他信息，沒有辦法保證估計出來的是供給函數還是需求函數。一雙給定的P和Q，在供求相等的均衡條件下，僅表示適當的需求和供給曲線的交點。第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學18(2)恰好或恰可識別情形

假定在需求函數中引入一個新的外生變量I(消費者的收入)，而供給函數不變我們知道收入是決定大多數商品和服務需求的一個重要決定因素，把它引入到需求函數中，將給我們提供消費者行為的某些其他信息，對大多數商品而言，可以預料收入增加，消費也會相應增加，10.2.7第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學1910.2.810.2.9第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學20對誘導型方程(10.2.8)(10.2.9)可以用普通最小二乘法估計它們的參數，求得4個誘導型系數，但是原供求模型中有5個結構系數，用4個誘導方程系數來估計5個結構系數也是沒有辦法得出唯一解的，但是可以求出供給函數的參數，這是因為通過上面的分析可以看出，在需求函數中增加了一個自變量，使我們能識別供給函數，這是因為在需求函數中增加自變量對函數的變異提供了一些額外的信息。第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學21(3)完全識別情形接下來在供給函數中也增加一個自變量，供求模型可寫成之所以引入滯后的價格變量，是因為假想一個商品的供給量依賴于它的當期價格和前期價格，在解釋農產品的商品供給模型中經常用到這一模型。10.2.10第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學2210.2.1210.2.11第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學23對誘導型方程(10.2.11)(10.2.12)使用普通最小二乘法可以得到6個誘導型系數，而原供求模型中也有6個結構參數，用6個方程來求解6個未知數，可以得到唯一的結構參數估計值。此時的需求函數和供給函數都是可以識別的，可求得:第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學24(4)過度識別情形

對某些商品或服務而言，消費者的收入和財富同樣是需求的重要決定因素，在需求函數中再引入一個外生變量－財富，供給函數保持不變。10.2.13第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學2510.2.1410.2.15在供求模型中有7個結構系數，但是估計它們的方程有8個，即8個誘導型方程的系數，方程的個數多于未知數的個數，也沒有辦法求得供求模型全部參數的唯一解。比如我們可以從誘導型系數中求得，不能保證這兩個估計值的結果是一樣的。在這種情形下，模型的識別就是過度的。第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學2610.2.3聯立方程模型識別規則從上面的例子中可以看到，借助于誘導型(簡化型)方程可以確定聯立方程中某一方程的可識別性，但是求解過程既耗時又費力，而對聯立方程識別的階條件和秩條件則提供了一種系統性的方式，從而減輕了這一任務。為了解階條件和秩條件，首先引入下面的符號：第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學2710.3.1可識別性的階條件可識別性的一個必要但非充分條件稱為階條件，可以用兩種不同但等價的方式來表達：定義1：在一個含有M個聯立方程的模型中，為了使一個方程能識別，它必須排除至少M-1個在模型中出現的變量(內生或前定變量)。如果它恰好排除M-1個變量，則該方程是恰好識別的；如果它排除多于M-1個變量，則該方程是過度識別的；定義2：在一個含有M個聯立方程的模型中，為了使一個方程能被識別，則該方程所排除的前定變量的個數必須不少于它所含有的內生變量的個數減1，即K-k≥m-1；如果K-k＝m-1，則方程是恰好識別的；如果K-k＞m-1，則方程是過度識別的。第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學28為了說明可識別的階條件，回到前面所舉的例子例10.1中的供求模型該模型中有兩個內生變量P和Q，M=2;但是沒有外生前定變量，k=0。為了能被識別，每個方程至少要排除M-1=2-1=1個變量，情形并非如此，因而方程無法識別再看一下供求模型(10.2.7)該模型中有兩個內生變量P和Q，M=2;一個外生前定變量I，k=1。需求函數中沒有排除變量，無法識別，而供給函數中排除M-1=2-1=1個變量，可以識別第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學29供求模型(10.2.10)該模型中有兩個內生變量P和Q，M=2;兩個外生前定變量，k=2。需求函數中和供給函數中各排除M-1=2-1=1個變量，兩個函數都可以識別，因而整個模型都可以識別。供求模型(10.2.13)該模型中有兩個內生變量P和Q，M=2;三個外生前定變量，k=3。需求函數中恰好排除了一個前定變量，可以恰好識別；供給函數中排除了兩個外生前定變量，過度識別。第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學3010.3.2可識別性的秩條件可識別性的階條件是識別的必要但非充分條件，即使它得到滿足，方程中有時也會出現不可識別的情形。模型(10.2.7)中的供求函數雖然排除了一個外生變量，按階條件來說是可以識別的，但識別的實現還只有當需求函數中的外生變量系數不為零時才能實現。為此，我們需要一個充分且必要的識別條件，即可識別的秩條件：在一個含有M個內生變量的M個方程的模型中，一個方程是可識別的，當且僅當，我們能從模型(其他方程)所含而該方程不含的諸變量(內生或前定變量)的系數矩陣中構造出至少一個(M-1)(M-1)階的非零行列式來。第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學31例10.3考慮一個假想的聯立方程，其中Y為內生變量，X為外生前定變量方程被排除的外生

變量個數

K－k包含的內生

變量個數

m-1識別情形①22恰好②11恰好③11恰好④22恰好第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學32從階條件看，每個方程都是恰好識別的，下面再用秩條件來復查，把方程組寫出下面形式

變量的系數方程1

①

1

0

00②

010

0③

010

0④

0100

若該方程那被識別，必須從其他方程所含而該方程不含的諸變量的系數矩陣中找到至少一個非零的3×3階行列式，找出包含在其他方程中的這幾個被排除變量的系數組成的矩陣，稱為A第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學33第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學34第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學35對可識別性的階條件和秩條件的討論，可以得出在M個聯立方程組中識別一個結構性方程的一般原則：1、如果K-k>m-1，且A矩陣的秩為M-1,方程是過度識別的；2、如果K-k＝m-1，且A矩陣的秩為M-1,方程是恰好識別的；3、如果K-k≥m-1，則A矩陣的秩小于M-1,方程是不可識別的；4、如果K-k<m-1，則結構方程是無法識別的，A矩陣的秩必定小于M-1第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學3610.4聯立方程的估計10.4.1間接最小二乘法—恰可好識別模型的估計

一個恰好識別的結構方程，從誘導型系數的普通最小二乘估計值獲得結構系數估計值的方法就稱為間接最小二乘法，前面我們已經在凱恩斯收入模型中簡單介紹過了。使用間接最小二乘法有下面三個步驟：1、先求誘導型方程，從結構方程組中解出諸誘導型方程，使得在每一個方程中因變量稱為唯一的內生變量，并且僅僅是前定(外生或者滯后內生)變量和隨機誤差項的函數；2、對誘導型方程逐個應用普通最小二乘法，得到誘導型系數的估計值；3、利用誘導型系數的估計值再求原來結構系數的估計值，如果方程恰可識別，那么結構系數和誘導系數存在一一對應，可以利用后者推導出前者的唯一估計值第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學37例10.4對恰可識別的供求模型使用間接最小二乘估計回歸公式(10.2.7)，將收入符號I改為X

10.4.1與之對應的誘導方程是利用已知數據，對誘導方程進行估計，得到誘導系數估計值10.4.2第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學38則供給方程的結構系數10.4.310.4.4第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學39

首先用價格指數和生產指數分別對人均消費支出作回歸，結果如下(4.4104)(3.7839)第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學40從而得到間接最小二乘法的回歸結果而如果直接使用普通最小二乘法，結果為從結果中可以看出，當普通最小二乘法不適當被應用時，估計參數是有偏的。第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計量經濟學4110.4.2二階段最小二乘法－過度識別方程的估計考慮下面的貨幣供給模型：應用可識別的階條件，可以看出收入方程是不可識別的，而貨幣供給方程則是過度識別的。對于收入方程，如果不改變模型的設定，是沒有辦法估計出參數的，而過度識別的貨幣供給方程存在兩個間接最小二乘估計量，因此也是沒有辦法用間接最小二乘