計量經濟學序列相關性第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第七章序列相關性◆學習目的通過本章的學習，你可以知道什么是序列相關性，序列相關性產生的原因是什么，序列相關性導致什么樣的后果，怎樣檢驗和處理具有序列相關性的模型。◆基本要求1）掌握序列相關性的概念、序列相關性的后果和檢驗方法；2）了解廣義最小二乘法和廣義差分法原理；3）能運用廣義差分法和廣義最小二乘法估計線性回歸模型。第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五◆序列相關性及其產生原因◆

序列相關性的影響◆序列相關性的檢驗◆序列相關的補救第七章序列相關性第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第一節序列相關性及其產生原因—、序列相關性的含義對于多元線性回歸模型(7-1)在其他假設仍然成立的條件下，隨機干擾項序列相關意味著如果僅存在則稱為一階序列相關或自相關（簡寫為AR(1))，這是常見的一種序列相關問題。（7-3）（7-2）第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五自相關往往可以寫成如下形式：（7-4）其中稱為自協方差系數或一階自回歸系數，是滿足以下標準OLS假定的隨機干擾項：

由于序列相關性經常出現在以時間序列數據為樣本的模型中，因此，本節下面將代表不同樣本點的下表i用t

表示。第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五二、序列相關的原因1．經濟數據序列慣性2．模型設定的偏誤3．滯后效應4．蛛網現象5．數據的編造第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五1．經濟數據序列慣性

GDP、價格指數、消費等時間序列數據通常表現為周期循環。當經濟衰退的谷底開始復蘇時，大多數經濟序列開始上升，在上升期間，序列在每一時刻的值都高于前一時刻的值。看來有一種內在的動力驅使這一勢頭繼續下去，直至某些情況出現（如利率或稅收提高）才把它拖慢下來。因此，在涉及時間序列的回歸中，相繼的觀測值很可能是相互依賴的。比如：第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五2．模型設定的偏誤定義：指所設定的模型“不正確”，主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。例1：本來應該估計的模型為（7-5）但在進行回歸時，卻把模型設定為如下形式：

7-6）（丟掉了重要的解釋變量）第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五2．模型設定的偏誤定義：指所設定的模型“不正確”，主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。例2：（模型函數形式有偏誤）（7-7）在成本—產出研究中，如果真實的邊際成本的模型為：其中Y代表邊際成本，X代表產出。（7-8）但是如果建模時設立了如下回歸模型：第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五3．滯后效應考慮一個消費支出對收入進行回歸的時間序列模型，人們常常發現當期的消費支出除了依賴其他當期收入外，還依賴前期的消費支出，即回歸模型為：（7-9）其中，C是消費，Y是收入。

類似（7-9）式的回歸模型被稱為自回歸模型

由于心理上、技術上以及制度上的原因，消費者不會輕易改變其消費習慣，如果我們忽視（7-9）式中的滯后消費對當前消費的影響，那所帶來的誤差項就會體現出一種系統性的模式。注意：第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五4．蛛網現象例如：假定某農產品的供給模型為：

(7-10)假設t時期的價格Pt低于t-1時期的價格Pt-1，農民就很可能決定在時期t+1生產比t時期更少的東西。顯然在這種情形中，農民由于在年度t的過量生產很可能在年度t+1消減他們的產量。諸如此類的現象，就不能期望干擾μt是隨機，從而出現蛛網式的序列相關。第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五5．數據的編造新生成的數據與原數據間就有了內在的聯系，表現出序列相關性。例如：季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動而引進了數據中的勻滑性，這種勻滑性本身就能使隨機干擾項中出現系統性的因素，從而出現序列相關性。利用數據的內插或外推技術構造的數據也會呈現某種系統性的模式。一般經驗表明，對于采用時間序列數據做樣本的計量經濟學模型，由于在不同樣本點上解釋變量意外的其他因素在時間上的連續性，帶來了他們對被解釋變量的影響的連續性，所以往往存在序列相關性。第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第二節序列相關性的影響1．參數估計量非有效2．隨機誤差項方差估計量是有偏的3．擬合優度檢驗R2統計量和方程顯著性檢驗F統計量無效4．變量的顯著性檢驗t檢驗統計量和相應的參數置信區間估計失去意義5．模型的預測失效第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五1．參數估計量非有效

根據OLS估計中關于參數估計量的無偏性和有效性的證明過程可以看出，當計量經濟學模型出現序列相關性時，其OLS參數估計量仍然具有線性無偏性，但不具有有效性。因為在有效性證明中我們利用了（7-11）即同方差和相互獨立性條件。而且在大樣本情況下，參數估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五為了具體說明這一點，我們回到簡單的一元回歸模型（7-12）為方便我們不妨假定干擾項為(7-4)所示的一階序列相關：

(7-13)

(7-14)對于干擾項為一階序列相關的一元回歸模型采用OLS估計，如以前一樣，β1的OLS估計量為：第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五但給定干擾項為一階序列相關時，的方差估計量現在為：式中為一階序列相關時的方差。（7-16）把該式與沒有干擾項自相關情形的通常公式（7-15）相比，可以看出前者等于后者加上另一與自相關系數和各期的樣本協方差有關的項。

第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五2．隨機誤差項方差估計量是有偏的在存在干擾項序列相關的情況下，隨機誤差方差的OLS估計量偏離了真實的隨機誤差項的方差。

以一元回歸模型為例，在經典假設情況下，干擾項的OLS方差估計量是真實的的無偏估計，即有。但若隨機誤差項存在一階序列相關

則可以證明：式中為X的相繼觀測值之間的樣本相關系數。

第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五3．擬合優度檢驗R2統計量和方程顯著性檢驗F統計量無效由于在序列相關時OLS對隨機誤差方差估計有偏，結果基于OLS殘差平方和計算出來的擬合優度檢驗統計量R2也失去意義，相應的方程顯著性檢驗統計量F統計量也無效。第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五4．變量的顯著性檢驗t檢驗統計量和相應的參數置信區間估計失去意義用OLS法估計序列相關的模型得到的隨機誤差項的方差不僅是有偏的，而且這一偏誤也將傳遞到用OLS方法得到的參數估計量的方差中來，從而使得建立在OLS參數估計量方差基礎上的變量顯著性檢驗失去意義。沒有被低估，通常OLS參數估計量的方差式（7-16）即使隨機誤差的方差也是存在一階序列相關時參數估計量方差的偏誤估計量。

以一元回歸模型為例，第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五5．模型的預測失效在存在序列相關時OLS估計的隨機誤差項方差有偏，參數估計量方差非有效，這樣回歸模型的被解釋變量的預測值及預測區間就不準確，預測精度降低。

被解釋變量預測值區間與模型參數和隨機誤差的估計量的方差有關。所以，當模型出現序列相關時，它的預測功能失效。第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第三節序列相關性的檢驗不同的檢驗方法的共同思路:

序列相關性的檢驗方法有多種，如馮諾曼比檢驗法、回歸檢驗法、D.W.檢驗法等。首先采用普通最小二乘法估計模型，以得到隨機干擾項的近似估計量，我們用表示近似估計量：（7-19）然后通過分析這些近似估計量之間的相關性以達到判斷隨機干擾項是否具有序列相關性的目的。第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五序列相關性的檢驗方法一、圖示法二、回歸檢驗法三、杜賓—沃森檢驗四、拉格朗日乘子檢驗第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五一、圖示法由于殘差可以作為隨機誤差的估計，因此，如果存在序列相關性，反映出來，因此可以利用的變化來判斷隨機干擾項的序列必然會由殘差項相關性，如圖7－1所示。第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五二、回歸檢驗法，（7-20）（7-21）等為解釋變量，以為解釋變量，以各種可能的相關變量，諸如

，建立各種方程：對方程進行估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性。一旦確定了模型存在序列相關性，也就同時知道了相關的形式，而且它適用于任何類型的序列相關性問題的檢驗。優點：第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五三、杜賓—沃森檢驗

D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法。雖然該方法很常用，但它有一些基本假定：（1）回歸含有截距項。（2）解釋變量X是非隨機的，或者在重復抽樣中被固定的。（3）隨機干擾項為一階自回歸形式：。（4）回歸模型中不應把滯后應變量作為解釋變量之一，即不應出現如下形式模型：（5）沒有缺失數據。第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五杜賓—沃森針對原假設，即不存在一階自相關，構造如下統計量：（7-22）因為D.W.值要從中算出，而又依賴于給定的X的值。檢驗，它沒有唯一的臨界值可以導出拒絕或和下限，且這些上下限只與因此D-W檢驗不同于t、F或接受原假設。但他們成功導出了臨界值的上限樣本容量n和解釋變量的個數有關，而與解釋變量的取值無關。

杜賓—沃森證明該統計量的分布與出現在給定樣本中的X值有復雜的關系，其準確的抽樣或概率分布很難得到；

第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五因此，在運用D-W檢驗時，只須計算該統計量的值，再根據樣本容量n和，然后按下列準則考察和解釋變量數目k查D.W.分布表，得到臨界值計算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關狀態：若，則存在正自相關；若，則不確定；若，則無自相關；若，則不確定；若，則存在負自相關。也就是說，當D.W.值在2附近時，模型不存在一階自相關。第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例7-1給定一個含有50個觀測值的樣本和3個解釋變量,如果（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97你能對自相關的問題說些什么？？第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五解：根據D-W檢驗判斷準則可知（b）D.W.=1.40<，隨機誤差項存在一階正自相關；

（d）4

=2.58<D.W.=3.97，隨機誤差項存在負一階自相關。查D.W.分布表可知，當樣本數為n=50，解釋變量數k=3時，在5%的為1.42，為1.67。

顯著性水平下D.W.統計量臨界值的下界（a）D.W.=1.05<

=1.42，因此隨機誤差項存在正一階自相關；

（c）4=2.58>D.W.=2.50>4=2.33，不能確定隨機誤差項是否存在一階自相關；第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五在許多情況下，人們發現上限差不多就是真實的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計值落入不能確定的區域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗程序。給定顯著性水平α：（2）原假設為，備擇假設為（1）原假設為，備擇假設為如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設H0，接受備擇假設H1，也就是存在統計上顯著的正相關。如果有，則在顯著性水平α上拒絕原假設H0，接受備擇假設H1，也就是存在統計上顯著的負相關。第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五在許多情況下，人們發現上限差不多就是真實的顯著性界限，因而，如果D.W.的估計值落入不能確定的區域，人們可以使用以下修正的D-W檢驗程序。給定顯著性水平α：（3）原假設為，備擇假設為如果有或者則在顯著性水平α上拒絕原假設H0，接受備擇假設H1，也就是存在統計上顯著的自相關。第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五四、拉格朗日乘子檢驗拉格朗日乘子檢驗克服了D-W檢驗的缺陷，適合于高階序列相關及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也稱為GB檢驗。對于模型（7-24）如果要檢驗隨機誤差項是否存在p階序列相關：（7-25）那么檢驗如下受約束回歸方程就是拉格朗日乘子檢驗：（7-26）第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五約束條件為（7-27）

如果約束條件為真，則LM統計量服從大樣本下自由度為p的漸近分布：（7-28）其中np和分別為如下輔助回歸方程的樣本容量和可決系數：（7-29）

(7-29)中的被解釋變量是對原模型（7-24）進行OLS回歸后得到的殘差。

第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五

p值即滯后的長度無法預先給定，因此實踐操作中可從1階、2階…逐次相更高階檢驗，并用輔助回歸方程（7-29）式中各個殘差項前面的參數的顯著性來幫助判斷序列相關的階數。（7-29）LM檢驗的一個缺陷第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例7-2假定用32個樣本做Y對X(包含截距)的回歸而這樣的數值對應的概率p為0.0003，這是一個很低的概率。

因此我們可以拒絕輔助回歸方程中原始回歸殘差序列的全部1到5階滯后序列系數均為零的假設，至少有一個滯后殘差序列的系數不為零。這表明原始回歸的殘差中至少存在1到5階中的某一滯后的自相關，當然要確定到底是幾階序列相關還必須進一步進行4階、3階…等不同階數的拉格朗日乘子檢驗。如果我們懷疑回歸殘差序列有5階滯后相關，那么輔助回歸方程中我們可以用殘差對X以及殘差序列的1到5階滯后序列進行回歸，假定從輔助回歸方程中回歸得到的擬合優度R2為0.8860。

由于原始回歸中有32個樣本，而輔助回歸中用了5個滯后值，這樣輔助等于(32-5)×0.886即等于23.382。

回歸方程中僅有27個樣本，因此第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四節序列相關的補救由于序列相關出現時OLS估計量是非有效的，因此如果回歸模型被證明存在序列相關性，則應該發展新的方法來估計模型。類似于處理異方差的情況，在大樣本下我們也可以用與自相關相一致的OLS回歸殘差的方差協方差矩陣來處理隨機誤差項的自相關情況，這樣OLS估計也仍然是有效的，只是我們需要報告相應的自相關穩健標準差和相應的統計量，其處理方法完全類似于異方差穩健推斷，這里我們不再對自相關穩健推斷詳細論述，我們詳細介紹一般情況下處理序列相關最常用的廣義最小二乘法（GLS）和廣義差分法。第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五一、廣義最小二乘法定義:最具有普遍意義的最小二乘法.普通最小二乘法和加權最小二乘法是它的特例。

一般情況下，對于模型（7-30）如果存在序列相關性，同時存在異方差，即有第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五顯然，是一對稱矩陣，因此存在一可逆矩陣，使得用左乘（7-30）式兩邊，得到一個新的模型（7-31）即該模型具有同方差性和隨機干擾項相互獨立性。因為第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五則這就是原模型（7-30）式的廣義最小二乘估計量，它是無偏有效的估計量。于是，可以用普通最小二乘法估計模型（7-31）式，記參數估計量為，由上面的推導過程可知，只要知道隨機干擾項的方差-協方差矩陣，就可以采用廣義最小二乘法得到參數的最佳線性無偏估計量。然而若只有n個樣本點，要對包括各個在內的進行估計是困難的，在實踐操作中，往往通過廣義差分法來實現廣義最小二乘估計。+k+1個未知參數第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五二、廣義差分法廣義差分法需要對隨機干擾項自相關系數事先給出必要的假設，可區分為兩種情形：自相關系數已知和未知。1）自相關系數已知時由于干擾項是不可觀測的，關于序列相關的性質往往是一種猜測遵循形如(7-4)式那樣的一階自回歸方式，或實際體驗。實踐中，常假定（7-32）即：（7-32）式中自回歸系數和隨機干擾項滿足(7-4)的假定。若假定(7-32)是為已知時，序列相關問題就可以圓滿解決。

真實的，當自相關系數第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五為說明這一點，考慮以下多元回歸模型為例：（7-33）如果（7-33）在時刻t成立，則在時刻t-1也成立，因此有：（7-34）用乘（7-34）兩邊，得到：（7-35）第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（7-37）其中，由于滿足全部OLS假定，故可以直接對方程（7-37）進行OLS回歸得到具有BLUE性質的估計量。將（7-36）式簡寫為用（7-33）減去（7-35）得到（7-36）第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五更一般地如果多元回歸模型（7-38）中的隨機干擾項存在p階序列相關：（7-39）那么可以將原模型（7-38）式變換為（7-40）（7-40）式即為多元回歸形式的廣義差分模型，該模型不存在序列相關性。第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五采用OLS法估計該模型得到的參數估計量即為原模型參數的無偏有效估計量，這樣處理序列相關的方法就是廣義差分法。廣義差分法就是前面我們討論過的廣義最小二乘法（GLS），但應注意滯后的觀測值被排除了。為看清這一點，我們仍然考慮前面的一階序列相關的情況我們用矩陣形式把上述估計過程重寫一遍。對于一階序列相關的隨機誤差項我們可以證明該隨機干擾項的方差和協方差分別為第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五用矩陣表示為根據線性代數易知第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五從而有用左乘矩陣形式的多元回歸模型

,得到（7-41）第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五然后展開（7-41）式中所有矩陣乘積，去掉展開式的第一行就得到（7-36）一樣的結果。（7-41）第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五類似地對具有p階序列相關的多元回歸模型的廣義差分法估計也等同于廣義最小二乘估計，但我們損失了前面p個樣本觀測值，這一點可以從廣義差分模型（7-40）式看出來。在樣本規模較大而誤差序列相關階數較小時，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計結果很接近。但在小樣本或誤差呈現較大的高階序列相關時，觀測值的損失可能會對估計結果有影響。因此在廣義差分變換中，有時需彌補這一損失。這樣廣義差分法的估計結果就完全等同于廣義最小二乘估計量。例如，在一階序列相關情況下，對損失的第一次觀測值可進行如下的

普萊斯-溫斯特（Prais-Winsten）變換：第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五2）自相關系數未知時的處理盡管廣義差分回歸直接明了，但通常情況下我們并不知道總體模型中隨機干擾項的真實自回歸系數ρ是多少，故廣義差分法一般難以實現。（1）一次差分法（2）根據D.W.統計量來估計ρ（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法（4）杜賓兩步法因此我們需要另想辦法來處理序列相關問題，我們介紹幾種常用的方法。第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（1）一次差分法因為自回歸系數ρ介于（-1，1）之間，我們考慮極端的序列相關情況，即完全的正相關或負相關，此時ρ等于1或1。考慮簡單的一元回歸模型：（7-42）假定該模型中隨機干擾項為完全一階正相關，即有（7-43）第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五對（7-42）進行一次差分得到即（7-44）（7-44）的差分回歸方程沒有截距，隨機干擾項沒有序列自相關，因此可以

對它采取過原點OLS回歸得到的BLUE估計量，注意此時原模型中的截距就不能估計出來了。

第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五如果原模型為包含時間趨勢的模型：（7-45）那么對它進行一次差分后得到（7-46）該差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味著在原模型中存在一線性時間趨勢項，而且一次差分模型中的截距就是原模型中時間趨勢項的系數。如果是正的話，這表明原模型中Y除了受X的影響外還有一上升的趨勢。第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五如果原模型中隨機干擾項是完全一階負相關的，那么一次差分處理的方法就是相反了。思考:析:要注意它是以假定ρ=1為前提的，如果隨機干擾項不是完全一階正相關，就不能進行這樣的一次差分變換。第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五怎樣知道假定ρ=1是否合理呢？？為檢驗假設ρ=1，貝倫布魯特—韋布推出如下g檢驗統計量：（7-47）用貝倫布魯特-韋布（Belenblutt-Webbtest）統計量來檢驗。其中是原始模型的OLS殘差，而是被解釋變量Y的一階差分各個解釋變量X的一階差分OLS回歸得到的殘差（注意無截距項）。

對進行第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例7-3假定用32個樣本做Y對X的OLS回歸得到的殘差平方和RSS1=204.2934，再做△Y對△X的OLS回歸（注意在此回歸中沒有截距）得到殘差平方和RSS2=28.1938。g=28.1938/204.2934=0.1377查D.W.分布表發現5%的顯著性水平下31個樣本和1個解釋變量的D.W.值下界為1.363，上界為1.496。因此這樣計算的g的數值小于D.W.統計量的下界，我們不能拒絕基于這一結果，對原模型進行一次差分后再用OLS估計是合理的。=1的原假設。第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（2）根據D.W.統計量來估計ρ回想我們前面的D.W.統計量根據該式我們可以得到的計算表達式：（7-48）這是從所估計的D.W.統計量獲得ρ的一個估計值的簡易方法。第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（7-48）由（7-48）可見，僅當d等于或接近于0時，一次差分法中假定才是對的此外當d=2時，d=4時，因此D.W.統計量為我們提供了一個估計的現成方法。

但要注意的是，（7-48）僅提供了一個估計的近似式，在小樣本下未必可靠，僅在大樣本下才具有最優性質。第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五一旦從（7-48）估計出，我們就可以對原模型進行廣義差分變換，然后對廣義差分后的模型進行OLS估計。

同樣需要注意的是，由于廣義差分法中用的是真實的，而我們是用來代替真實的，因此就會出現一個問題：

估計的這樣估計的回歸系數是否有經典回歸模型中所說的最優性質呢？當用一個估計的量去代替真值時，OLS估計得到的回歸系數僅是漸近有效的，就是說僅在大樣本情況下才是最優的，而且通常的假設檢驗統計量也僅是漸近有效的。一個一般性的原則：第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（3）科克倫-奧科特（（Cochrane-Orcutt）迭代法利用估計的殘差去獲得關于未知的的信息。

考慮一元回歸模型：（7-49）假定隨機干擾項為一階自相關，即（7-50）

第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五