湖北省黃岡市羅田縣第一中學2024學年數學高三上期末監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．252．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或4．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或5．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．6．已知函數，且的圖象經過第一、二、四象限，則，，的大小關系為()A． B．C． D．7．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．89．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．10．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．11．已知函數在上可導且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、12．已知是函數的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.14．已知拋物線的焦點為，其準線與坐標軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率________.15．“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”．某校在周末學生業余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數為________．16．執行以下語句后，打印紙上打印出的結果應是：_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發生損壞時，需要送維修處維修．工廠規定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數，具體數據如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數．（Ⅰ）求X的分布列與數學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）18．（12分）追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（AQI）的檢測數據，結果統計如表：AQI空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數61418272510（1）從空氣質量指數屬于[0，50]，（50，100]的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；（2）已知某企業每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數x的關系式為，假設該企業所在地7月與8月每天空氣質量為優、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.（i）記該企業9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.19．（12分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．21．（12分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.22．（10分）隨著時代的發展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創新引領型城市有望踏上向“全球城市”發起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數懷揣夢想的年輕人前來發展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日，某報社記者作了有關“你來A城市發展的理由”的調查問卷，參與調查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關數據如下：來A城市發展的理由人數合計自然環境1.森林城市，空氣清新2003002.降水充足，氣候怡人100人文環境3.城市服務到位1507004.創業氛圍好3005.開放且包容250合計10001000（1）根據以上數據，預測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創業氛圍好”來A城市發展的有多少人；（2）從所抽取選擇“自然環境”作為來A城市發展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再選取3人發放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；（3）在選擇“自然環境”作為來A城市發展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環境”作為來A城市發展的理由的700人中有400名男性；請填寫下面列聯表，并判斷是否有的把握認為性別與“自然環境”或“人文環境”的選擇有關？自然環境人文環境合計男女合計附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【題目詳解】等差數列的公差為-2，可知數列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.2、C【解題分析】

由已知畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最大值．【題目詳解】解：表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【題目點撥】本題考查線性規劃問題，考查數形結合的數學思想以及運算求解能力，屬于基礎題．3、D【解題分析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【題目詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【題目點撥】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎題.4、D【解題分析】

根據正弦定理得到，化簡得到答案.【題目詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【題目點撥】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.5、D【解題分析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數對數，再比較大小．【題目詳解】，，又，∴，即，∴．故選：D.【題目點撥】本題考查冪和對數的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數冪比較，或化為同底數對數比較，若是不同類型的數，可借助中間值如0，1等比較．6、C【解題分析】

根據題意，得，，則為減函數，從而得出函數的單調性，可比較和，而，比較，即可比較.【題目詳解】因為，且的圖象經過第一、二、四象限，所以，，所以函數為減函數，函數在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查利用函數的單調性比較大小，還考查化簡能力和轉化思想.7、C【解題分析】

設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數形結合即可得到結論.【題目詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，，此時；故的取值范圍為；故選：C.【題目點撥】本題考查簡單線性規劃的非線性目標函數函數問題，解題時作出可行域，利用目標函數的幾何意義求解是解題關鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．8、C【解題分析】

根據程序框圖的模擬過程，寫出每執行一次的運行結果，屬于基礎題.【題目詳解】初始值，第一次循環：，；第二次循環：，；第三次循環：，；第四次循環：，；第五次循環：，；第六次循環：，；第七次循環：，；第九次循環：，；第十次循環：，；所以輸出.故選：C【題目點撥】本題考查了循環結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.9、A【解題分析】

根據函數的奇偶性和單調性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【題目詳解】因為，所以是偶函數，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【題目點撥】本小題主要考查函數圖像的識別，考查利用導數研究函數的單調區間和極值，屬于中檔題.10、D【解題分析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【題目詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【題目點撥】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.11、A【解題分析】

設，利用導數和題設條件，得到，得出函數在R上單調遞增，得到，進而變形即可求解.【題目詳解】由題意，設，則，又由，所以，即函數在R上單調遞增，則，即，變形可得.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性及其應用，以及利用單調性比較大小，其中解答中根據題意合理構造新函數，利用新函數的單調性求解是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.12、B【解題分析】

方法一：令，則，，當，時，，單調遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調遞增，時，，，且，∴，即在上單調遞減，∴是函數的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調遞減，∴時，，所以，這與是函數的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據極值的定義，要使是函數的極大值點，須在的左側附近，，即；在的右側附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據與的圖象關系，可得，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【題目詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據垂徑定理的應用，可列式得到，解得.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.14、【解題分析】

求出拋物線焦點坐標，由，結合向量的坐標運算得，直線方程為，代入拋物線方程后應用韋達定理得，，從而可求得，得斜率．【題目詳解】由得，即聯立得解得或，∴．故答案為：．【題目點撥】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標表示．直線方程與拋物線方程聯立后消元，應用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法．15、【解題分析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，同時它們內部也全排列．【題目詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節，“射”和“御”兩節講座必須相鄰的不同安排種數為．故答案為：1．【題目點撥】本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法．16、1【解題分析】

根據程序框圖直接計算得到答案.【題目詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示：是否繼續循環ix循環前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環，所以打印紙上打印出的結果應是：1故答案為：1．【題目點撥】本題考查了程序框圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解題分析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結果，判斷至少增加2人．【題目詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數學期望；(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.18、（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解題分析】

（1）利用組合進行計算以及概率表示，可得結果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結果.（ii）由（i）的條件結合7月與8月空氣質量所對應的概率，可得7月與8月經濟損失的期望和，最后7月、8月、9月經濟損失總額的數學期望與2.88萬元比較，可得結果.【題目詳解】（1）設ξ為選取的3天中空氣質量為優的天數，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質量至少有2天為優的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業9月的經濟損失的數學期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業7月、8月這兩個月因空氣質量造成經濟損失總額的數學期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成經濟損失總額的數學期望會超過2.88萬元.【題目點撥】本題考查概率中的分布列以及數學期望，屬基礎題。19、（1）時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解題分析】

（1）求出導函數，分類討論，由確定增區間，由確定減區間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結論．【題目詳解】（1）函數定義域是，，當時，，單調遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數單調性，若有唯一零點，則或．當時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【題目點撥】本題考查用導數研究函數的單調性，考查函數零點個數與不等式恒成立問題，解題關鍵在于轉化，不等式恒成立問題通常轉化為求函數的最值．這又可通過導數求解．20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【題目詳解】（1）設是中點，連接，由于是中點，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）連接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四邊形是矩形且，所以四邊形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和