結構力學課件第一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五一、結構的位移(DisplacementofStructures)1.

結構的位移是指結構上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動到另一位置，這個移動的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。

思考：變形與位移的差別？變形：結構在外部因素作用下發生的形狀的變化。兩者之間的關系：有形變必有位移；有位移不一定有形變。§6-1概述第二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五A位移轉角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角P2.位移的分類§6-1概述第三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五截面C、D的相對豎向線位移為:截面C、D的相對角位移為:

§6-1概述第四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五AP引起結構位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動還有什么原因會使結構產生位移?3.位移產生的原因§6-1概述第五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五鐵路工程技術規范規定:

二、計算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。§6-1概述第六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)超靜定結構、動力和穩定計算的基礎(3）施工要求超靜定結構的內力不能僅由平衡條件確定，分析時必須考慮變形條件，因而需要計算結構的位移。在結構的施工過程中，常需預先知道結構變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結構物符合設計圖紙的要求。§6-1概述第七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五（3）理想聯結(IdealConstraint)。三、本章位移計算的假定疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),§6-1概述第八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五本章只討論應用虛功原理求解結構位移。2.功能法虛功原理應變能(卡氏定理)

〈研究變形和位移的幾何關系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學用過，但對復雜的桿系不適用）。1.幾何法

四、計算方法§6-1概述第九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五一、基本概念實功：

力在其本身引起的位移上所作的功。位移Δ是由外力F引起的，F做的功可表示為:1.外力的實功§6-2變形體系的虛功原理第十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五實功的數值就等于圖上三角形OAB的面積。實功是外力的非線形函數，計算外力實功不能應用疊加原理。所以

設線彈性材料的彈性系數為k，則§6-2變形體系的虛功原理第十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2.外力的虛功虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應的位移是彼此獨立無關的。

虛功的數值是位移曲線所圍的矩形面積。虛功中的力與位移兩者相互獨立，計算外力虛功可應用疊加原理。§6-2變形體系的虛功原理第十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功為虛功為例F1力在其引起的位移Δ11上作的功為實功為

§6-2變形體系的虛功原理第十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

——結構產生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。3.廣義位移和廣義力廣義位移

——與廣義位移對應的就是廣義力，可以是一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。

注意：廣義位移與廣義力的對應關系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對應的廣義力。

廣義力§6-2變形體系的虛功原理第十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五4.內力功

定義：從桿上截取一微段,作用在該微段上的內力在該微段的變形上做的功定義為該內力做的功。該微段上相應的變形為軸向變形剪力變形彎曲變形§6-2變形體系的虛功原理第十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

如果變形就是由此內力引起的，則此微段上內力功應為實功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：因為由胡克定律有：

故實功數值上就等于微段的應變能。

所以內力實功§6-2變形體系的虛功原理第十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五若變形與內力彼此無關，則此微段上的內力功是虛功，其為對于整根桿的內力虛功，則可對整根桿積分求得：原因而定。,和的具體表達式要視引起這個變形的具體內力虛功§6-2變形體系的虛功原理第十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五回顧（1）質點系的虛功原理具有理想約束的質點系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：Σfiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質點系的主動力所做虛功之和為零。也即§6-2變形體系的虛功原理第十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0§6-2變形體系的虛功原理第十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五二、虛功原理

1.變形體的虛功原理

設一變形體在外力系作用下處于平衡狀態。當變形體由于其他原因產生一符合約束條件的微小連續位移時，則外力系在位移上做的虛功的總和δWe，等于變形體的內力在變形上做的虛功的總和δWi，即，——這就是虛功方程。

（證明略）需注意：⑴外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態；§6-2變形體系的虛功原理第二十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五⑵位移必須滿足虛位移的條件——滿足約束條件的非常微小的連續位移；⑶外力與位移兩者之間是相互獨立沒有關聯的。平衡的外力系與相應的內力是力狀態；符合約束條件的微小位移與相應的變形是位移狀態。力狀態的外力在位移狀態的位移上做功之和(外力虛功)等于力狀態的內力在位移狀態的變形上做功之和(內力虛功)。⑷對于兩個相互無關的力狀態和位移狀態的，可以虛設其中一個狀態，讓另一實際狀態在此虛設狀態下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問題。

§6-2變形體系的虛功原理第二十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五解釋：兩種狀態力狀態位移狀態FPFP/2FP/2（虛）力狀態（虛力狀態）（虛位移狀態）無關（虛）位移狀態q注意：（3）位移狀態與力狀態完全無關；（2）均為可能狀態。即位移應滿足變形協調條件,力狀態應滿足平衡條件。（1）屬同一體系；§6-2變形體系的虛功原理第二十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2.桿系結構虛功方程以上結論與材料物理性質及具體結構無關，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結構，也適用于一切非線性結構。

希望能很好理解，盡可能達到掌握！§6-2變形體系的虛功原理第二十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五虛位移原理令實際的力狀態在虛設的位移狀態下做功所建立的虛功方程表達的是力的平衡條件。從中可以求出實際力系中的未知力。這就是虛位移原理。虛力原理

令虛設的平衡力系在實際的位移狀態下做功所建立虛功方程表達的是位移協調條件，從中可求出位移狀態中的一些未知位移。這就是虛力原理(也稱為余虛功原理)。一個力系平衡的充分必要條件是：對任意協調位移，虛功方程成立。一個位移是協調的充分必要條件是：對任意平衡力系，虛功方程成立。3.虛功原理的兩種應用§6-2變形體系的虛功原理第二十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五注意:虛位移原理寫出的虛功方程是一個平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例如：應用虛位移原理求支座C的反力FC。即故撤除與FC相應的約束,將FC變成主動力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程：§6-2變形體系的虛功原理第二十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

注意：虛力原理寫出的虛功方程是一個幾何方程，可用于求解幾何問題。例：當A支座向上移動一個已知位移c1，求點B產生的豎向位移⊿。在擬求線位移的方向加單位力由平衡條件令虛設的平衡力系在實際的位移狀態下做功，得虛功方程求得與單位力方向相同。§6-2變形體系的虛功原理第二十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod。圖示結構，要求

=?實際狀態位移狀態虛擬狀態力狀態§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第二十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五用虛功原理，位移狀態即實際狀態，另虛設一個力狀態（稱力虛設狀態），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移，可接右圖選取虛擬狀態，用虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。外力虛功:

內力虛功:由虛功方程：此式即為平面結構位移計算一般公式。若結果為正，說明在上做正功，這表明的實際方向與方向相同。若結果為負，說明在上做負功，這表明的實際方向與方向相反。§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第二十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五幾點說明：(1)所建立的虛功方程，實質上是幾何方程。(2)虛設的力狀態與實際位移狀態無關，故可設單位廣義力P=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態的靜力平衡關系。特點:是用靜力平衡法來解幾何問題。單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程總的來講：§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第二十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。一般公式的普遍性表現在：§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第三十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力A(a)F=1F=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第三十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五F=1(c)A(d)ABF=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第三十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五ABCd(e)ABC(f)§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第三十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=1§6-3位移計算的一般公式單位荷載法第三十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由虛功原理有：W=Wi外力虛功變形虛功荷載作用引起的位移計算等號左側是虛設的單位外力在實際的位移上所做的外力虛力，右側是虛設單位力狀態的內力在實際位移狀態的變形上做的內力虛功之和。§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第三十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五對于直桿，則可用dx代替ds。計算位移的公式為

——單位力狀態下結構的軸力、剪力和矩方程式。

——

實際荷載引起結構的軸力、剪力和彎矩方程式。E、G

——材料的彈性模量和剪力彈性模量.

A、I

——桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩.

——剪力在截面上分布的不均勻系數，對于矩形截面μ=1.2。

μ

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第三十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五（1）梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。

（2）桁架：只有軸力。

桁架各桿均為等截面直桿則§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算公式簡化：第三十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

拱壩一類的厚度較大的拱形結構，其剪力也是不能忽略的。所以計算拱壩時，軸力、剪力和彎矩三項因素都須要考慮進去。(4)

跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當，剪力的影響不計，位移計算公式為§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算（3）組合結構第三十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-1圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數，試求B點的豎向位移△BV，水平位移△BU,和位移△B。解:(1)作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁BC

豎柱CA

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第三十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)求B點的豎向位移△BV寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC

豎柱CA

§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(3)求B點的水平位移△BU在B點加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程橫梁BC

豎柱CA

注意：負號表示位移的方向與假設的單位力的方向相反。§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算（4）求B點的線位移ΔB

第四十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-2一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設曲梁矩形截面的彎曲剛度為EI，半徑為r，圓弧AB的圓心角φ0

及荷載q均為已知，試求截面B的豎向及水平向位移△BV和△BU。解:當曲梁的半徑較大截面比較薄時，可忽略軸力和剪力的影響。(1)列出曲梁在荷載作用下的彎矩方程。假定曲梁內側纖維受拉為正彎矩。取B點為座標原點，任意截面C的橫座標為x，該截面的彎矩：§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)求△BV，在B點加一豎向單位力，單位豎向力引起的彎方程為采用極坐標表示由于所以§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(3)求△BU，在B點作用一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-3

平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.4×10-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點和D點的豎向位移。解:(1)求出實際荷載狀態下各桿的內力。(2)求△BV§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五––在B點加一向下的單位力,求此單位力引起的各桿軸力FN

。§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(3)求ΔDV在D點加一向下單位力，求出此虛設狀態

––

各桿的軸力FN。§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算第四十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五在桿件數量多的情況下,不方便.下面介紹計算位移的圖乘法。§6-5圖乘法(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)1.靜定結構的內力計算；2.利用位移計算公式求靜定結構的位移；3.剛架與梁在荷載作用下的位移計算公式,即:已有基礎：第四十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(對于等截面桿)(對于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。§6-5圖乘法第四十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例.試求圖示梁B端轉角。解:MPMi為什么彎矩圖在桿件同側圖乘結果為正?§6-5圖乘法第五十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五頂點：指曲線切線與桿軸重合或平行§6-5圖乘法幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法第五十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五圖乘法小結：1.圖乘法的應用條件（1）等截面直桿，EI為常數；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復雜，可分解為簡單圖形。§6-5圖乘法第五十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(1)曲-折組合圖形分解§6-5圖乘法第五十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)梯-梯同側組合§6-5圖乘法第五十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(3)梯-梯異側組合ABCDabcd圖圖bc取負值§6-5圖乘法第五十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五復雜圖形的處理：+=×××+=××ק6-5圖乘法第五十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五求MPMi§6-5圖乘法第五十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(4)階梯形截面桿§6-5圖乘法第五十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例1.已知EI為常數，求C、D兩點相對水平位移。應用舉例lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖§6-5圖乘法第五十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例2.圖示梁EI為常數，求C點豎向位移。l/2ql/2MP§6-5圖乘法第六十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五l/2ql/2MP§6-5圖乘法第六十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五l/2ql/2MP§6-5圖乘法第六十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例3.試求圖示結構B點豎向位移。解:MPMi§6-5圖乘法第六十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例4.已知EI為常數，求鉸C兩側截面相對轉角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP§6-5圖乘法第六十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例5.已知EI為常數，求A點豎向位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qlllqMP§6-5圖乘法第六十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五6.求B點水平位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MPll注意:各桿剛度可能不同§6-5圖乘法第六十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五7.已知EI為常數，求B截面轉角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Mi§6-5圖乘法第六十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖8.求B點水平位移,EI=常數。lPllMP1MP§6-5圖乘法第六十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖9.求C、D兩點相對水平位移。lllMP§6-5圖乘法第六十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖10.求A點豎向位移,EI=常數。MPlllAkk§6-5圖乘法第七十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五lPlPl11.圖示結構EI為常數，求AB兩點(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,(3)相對轉角。MP1111對稱彎矩圖反對稱彎矩圖

對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結果為零.11§6-5圖乘法第七十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五PP11繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：§6-5圖乘法第七十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由溫度變化引起的位移計算

(1)每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。(2)桿件的兩側的溫度可以是不同的，但從高溫一側到低溫一側溫度是按直線變化的。(3)由于假定溫度沿桿長均勻分布,不可能出現剪切變形,只有軸向變形dut和截面轉角dθ。假定：

§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五溫度引起的纖維軸向變形為：其中α——材料的線膨脹系數，即溫度升高1℃時桿的應變。設微段ds的溫度變化為：§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五梁段上側、下側和中心軸處纖維伸長分別為由于截面內的溫度呈直線變化，有得：其中Δt=t2–

t1，為桿兩側的溫度變化之差。§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五令虛設的力狀態在結構的實際位移狀態下做功。在擬求位移的截面虛設一單位力，則外力在位移上做的功應等于內力在溫度引起的變形上做的功之和，即式中∑——對結構中各桿求和。——單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。——單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。所以§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

正負符號取決于虛功是正功還是負功。若桿的軸心處的溫度t0是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此桿的內力虛功為正功，此項取正號，反之取負號。

若溫度變化Δt使桿彎曲而某側受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側受拉，則虛內力做正功取正號，反之為負號。§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-5圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設剛架內部溫度上升10℃外部下降20℃。線膨脹系數α=1×10-5，試求D點的豎向位移。解(1)在D點作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖和軸力圖§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)計算D點的豎向位移。兩側的溫度差為

有桿軸線處的溫升值為§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第七十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-6圖示桁架，受日照均勻溫升30℃。求C點豎向位移。解：在C點作單位力并求出各桿軸力。己知各桿t0=30℃,Δt=0故

§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第八十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五制造誤差引起的位移計算：每個上弦桿加長8mm,求由此引起的A點豎向位移。§6-6靜定結構溫度變化時的位移計算第八十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由支座移動引起的位移計算求由支座移動引起的結點某點的位移只是一個單純的幾何問題。可以用力學方法——剛體的虛力原理來求解。

式中是由單位力F所引起的支座反力；c

是與反力

相應的已知的支座位移。當二者方向一致時，其乘積取正值，相反時取負值。在要求位移的點上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用下的支座反力R。所有外力虛功之和應為零有：§6-7靜定結構支座移動時的位移計算第八十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由平面桿件結構位移計算的一般公式：

對于靜定結構，支座移動不引起內力，材料不變形，因此du、dφ和γds為零，上式簡化為:

負號系原來移項所得，不可漏掉！§6-7靜定結構支座移動時的位移計算第八十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-7三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉C，求BD柱的轉角。解：(1)在BD柱上作用單位力矩M=1，求支座反力。(2)代入公式計算得：

結果得正值表示柱的轉角方向與所假定的單位力矩的方向相同。§6-7靜定結構支座移動時的位移計算第八十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例6-8圖示剛架右邊支座的豎向位移ΔBy=0.06m(向下)，水平位移ΔBx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉角φA§6-7靜定結構支座移動時的位移計算第八十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五1.功的互等定理

F1作用下產生的內力和變形稱為第一狀態，F2作用下產生的內力和變形稱為第二狀態。先加F1然后加F2的情況，整個加載過中系統做的總功為表示由編號為j的力引起i點的位移。先加F2后加F1，整個過程中系統做的總功為§6-8線彈性結構的互等定理

第八十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五因為線彈性體系做功與加荷的次序無關，有故得

虛功互等定理：狀態Ⅰ的力在狀態Ⅱ的位移上做功等于狀態Ⅱ的力在狀態Ⅰ的位移上做功。§6-8線彈性結構的互等定理

第八十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由功的互等定理可推出位移互等定理2.位移互等定理令功的互等定理中的力F1=F2=1,則有位移互等定理：由單位荷載F1

引起的與荷載F2相應的位移δ21，在數值上等于由單位荷載F2引起的與荷載F1相應的位移δ12。這里用小寫的字母δ表示單位力引起的位移。在一般情況下位移互等定理可寫成：§6-8線彈性結構的互等定理

第八十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五注意：位移互等定理適用于廣義力及其對應的廣義位移。

上圖表示了兩個狀態的線位移δ12與δ21互等。

上圖表示了線位移δ12數值上等于角位移θ21。§6-8線彈性結構的互等定理

第八十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

3.反力互等定理

第Ⅰ狀態，支座1產生單位位移Δ1V=1而引起支座反力k11和k21。第Ⅱ狀態，支座2產生單位位移Δ2V=1而引起支座反力k12和k22

§6-8線彈性結構的互等定理

第九十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由功的互等定理，第Ⅰ狀態的力在第Ⅱ狀態的位移上做虛功，等于第Ⅱ狀態的力在第Ⅰ狀態的位移上做虛功。故有即一般情況下可寫成§6-8線彈性結構的互等定理

第九十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五支座i由于支座j發生單位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支座i發生單位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。

例：

k12

是反力矩，

k21是反力，兩者互等只是數值上互等。

§6-8線彈性結構的互等定理

第九十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五4.反力位移互等定理單位廣義力引起的結構中某支座的反力等于該支座發生單位廣義位移所引起的單位廣義力作用點沿其方向的位移，但符號相反。-----反力位移互等定理§6-8線彈性結構的互等定理

第九十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

小結

本章討論了虛功原理以及應用虛功原理來求解結構的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應用。前者用于求內力和反力，后者用于求位移。在應用虛功原理時要涉及兩個量：力系和位移。這兩者是彼此無關的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續位移。由于力與位移兩者彼此無關，因此可以虛設一組力系(虛力原理)，讓它在實際的結構位移上做功,列出虛功方程，從中求出未知位移。這就是虛力原理表達的虛功方程。也就是位移計算的一般公式最基本的形式。小結第九十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五位移和變形()是結構在給定條件下所具有的.是實際的位移狀態。力系()則是虛設的。虛擬力系的設置應當根據所求位移來相應的設置，并根據需要求出其相應的反力和內力。變形(ε,γ,κ)是泛指的，若是荷載引起的則代入公式(6.3.3)即導出公式(6.5.2）。若是溫度引起的，則代入公式(6.3.1a)、(6.7.1a)和(6.7.2b)即導出溫度變化引起的位移計算公式(6.7.3a)。若計算支座移動引起的位移，則因靜定結構因支座位移不會引起結構變形，只會引起結構的剛體位移,這時ε=γ=κ=0。公式等號右邊前一項為零，只剩后一項.這就是公式(4.7.4)。小結第九十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推導位移計算公式時引入了彈性規律，故公式(6.5.2)只適用于線彈性體系。圖乘法是具體的運算方法。只有滿足一定的條件下才能用圖乘法。象曲桿、變截面桿等均不能用圖乘法。互等定理是線彈性體系的基本定理。本章介紹的四個互等定理是最常用的。這四個互等定理中，功的互等定理是最基本的。小結第九十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五

1.虛功原理不涉及材料的物理性質，因此它適用于任何固體材料。╳√3.圖示桁架中腹桿截面的大小對C點的豎向位移有影響。一、判斷題

2.功的互等定理適用于線性和非線性變形體系。

提示：在F作用下，腹桿全為零桿。╳自測題第九十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五5.圖a桁架，B點將產生向左的水平位移。

()4.圖示梁的跨中撓度為零。（）√╳提示：本題梁的位移為反對稱。解:由于AC、BC為零桿，對結構的位移無影響，可以去掉（圖b），用本章所講的虛力原理，在B點施加一水平單位力（圖c），根據位移計算公式，易得HB＝0。自測題第九十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五