山東省濟南市孝里中學2021年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是

（

）

（A）[2，6]

（B）

（C）

（D）(2，6)參考答案：D略2.為實數，表示不超過的最大整數，則函數在上為A．增函數

B．周期函數

C．奇函數

D．偶函數參考答案：B3.已知中，若，且，則

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知等差數列的前n項和為，滿足（

） A、 B、 C、 D、參考答案：D5.設函數f（x）（x∈R）為奇函數，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（5）=（）A．0 B．1 C． D．5參考答案：C【考點】函數奇偶性的性質；函數的值．

【專題】計算題；壓軸題；轉化思想．【分析】利用奇函數的定義、函數滿足的性質轉化求解函數在特定自變量處的函數值是解決本題的關鍵．利用函數的性質尋找并建立所求的函數值與已知函數值之間的關系，用到賦值法．【解答】解：由f（1）=，對f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）為奇函數，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故選：C．【點評】本題考查抽象函數求值的方法，考查函數性質在求函數值中的應用，考查了抽象函數求函數值的賦值法．靈活運用已知條件賦值是迅速解決本題的關鍵，考查學生的轉化與化歸思想．6.設定義域為的單調函數，對任意的，都有,若是方程的一個解，則可能存在的區間是A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)

參考答案：B略7.等比數列{}的各項均為正數，且＝27，則＝A、12B、10C、8D、2＋參考答案：B8.設全集為，集合=，=，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C

【知識點】交集、補集的混合運算A1解析：集合=，=，所以，則，故選C.【思路點撥】解出集合A以及集合B的補集，再求交集即可。9.若對于定義在R上的函數f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）是一個“λ～特征函數”．下列結論中正確的個數為（）①f（x）=0是常數函數中唯一的“λ～特征函數”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函數”；③“λ～特征函數”至少有一個零點；④f（x）=ex是一個“λ～特征函數”．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點：命題的真假判斷與應用．專題：簡易邏輯．分析：利用新定義“λ～特征函數”，對A、B、C、D四個選項逐個判斷即可得到答案解答：解：對于①，設f（x）=C是一個“λ～特征函數”，則（1+λ）C=0，當λ=﹣1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ～特征函數”，故①不正確；對于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴當λ=﹣1時，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1時，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函數”，故②正確；對于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0，）上必有實數根．因此任意的“λ～特征函數”必有根，即任意“λ～特征函數”至少有一個零點，故③正確．對于④，假設f（x）=ex是一個“λ～特征函數”，則ex+λ+λex=0對任意實數x成立，則有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“λ～特征函數”，故④正確故結論正確的是②③④，故選：C點評：本題考查函數的概念及構成要素，考查函數的零點，正確理解λ～特征函數的概念是關鍵，屬于中檔題10.函數f（x）=lnx+ex（e為自然對數的底數）的零點所在的區間是（）A． B． C．（1，e） D．（e，+∞）參考答案：A考點： 二分法求方程的近似解．

專題： 函數的性質及應用．分析： 函數f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調遞增，因此函數f（x）最多只有一個零點．再利用函數零點存在判定定理即可判斷出．解答： 解：函數f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上單調遞增，因此函數f（x）最多只有一個零點．當x→0+時，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函數f（x）=lnx+ex（e為自然對數的底數）的零點所在的區間是．故選：A．點評： 本題考查了函數零點存在判定定理、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知中，若為的重心，則

．參考答案：4,設BC的中點為D,因為為的重心，所以，，所以。【答案】【解析】12.數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=+An，若a2=2，則A=，數列的前n項和Tn=

．參考答案：【考點】8E：數列的求和．【分析】由已知得a2=S2﹣S1==2，從而a=，利用，求出an=n，從而==，由此利用裂項求和法能求出數列的前n項和．【解答】解：∵數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=+An，a2=2，∴a2=S2﹣S1=（）﹣（）==2，解得a=，∴=1，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣[]=n，當n=1時，上式成立，∴an=n，∴==，∴數列的前n項和：Tn=1﹣…+=1﹣=．故答案為：，．13.在等式的值為

____.參考答案：30略14.已知集合,，若，則

▲

．參考答案：4

因為，所以或。若，則,，滿足。若，則,，不滿足，所以。15.已知函數.①當時，若，則_______；②若是上的增函數，則的取值范圍是___________.參考答案：1，【考點】分段函數，抽象函數與復合函數【試題解析】①當時，若x<1，則無實數解；

若則

②若在上是單調遞增函數，

則即

令

顯然g(a)在單調遞增，且

所以的解為：

故的取值范圍是：。16.已知函數f（x）對于任意的x∈R，都滿足f（﹣x）=f（x），且對任意的a，b∈（﹣∞，0]，當a≠b時，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），則實數m的取值范圍是

．參考答案：（﹣3，1）．【考點】函數單調性的性質．【分析】由題意可得函數f（x）為偶函數，在（﹣∞，0]上是減函數，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范圍．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函數f（x）為偶函數．再根據對任意的a，b∈（﹣∞，0]，當a≠b時，都有＜0，故函數在（﹣∞，0]上是減函數．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案為：（﹣3，1）．17.若實數x，y滿足，則的取值范圍是________高考參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，，且的解集為[－1,1].（1）求k的值；（2）若a，b，c是正實數，且，求證：.參考答案：（1）；（2）見解析【分析】（Ⅰ）由題意可得的解集為，，由絕對值不等式的解法，即可求得；（Ⅱ）將代入，再由乘1法，可得，展開運用基本不等式即可得證．【詳解】（1）的解集為，即的解集為即有解得;（2）將代入可得，，則，當且僅當，上式取得等號.則有.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及不等式的證明，注意運用不等式和方程的轉化思想，運基本不等式是解題的關鍵，屬于中檔題.19.（本小題滿分12分）（文）已知關于的一元二次函數（1）設分別從集合和中隨機取一個數作為和，求函數在區間[上是增函數的概率；（2）設點（，）是區域內的隨機點，求函數在區間[上是增函數的概率.參考答案：要使在區間上為增函數，當且僅當且，即，

……3分（1）若，則

若，則，若，則，

∴事件包含個基本事件

………………5分∴所求事件的概率為

………………7分（2）依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為構成所求事件的區域為三角形部分。由

得交點坐標為

………………10分∴所求事件的概率為

………………12分20.選修4-5：不等式選講已知函數．（1）當時，解不等式；（2）當時，，都成立，求實數的取值范圍．參考答案：解：（1）由∵，得不等式解集為．（2）設，∵，∴∴在和上是增函數，在上是減函數，∴的最小值是，要使，都成立，只要，得，綜上，的取值范圍是．21.（本小題滿分10分）（選修4-5：不等式選講）設函數．（1）求不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實數的范圍．參考答案：（1）不等式的解集為；（2）不等式等價于不等式，實數的范圍為．22.設橢圓左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點F2作斜率為1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，試在x軸上求一點P，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形.參考答案：（1）；（2）點坐標為時.【分析】（1）根據已知求出，再根據直線與直線垂直求出b的值，即求出橢圓的方程；（2）先求出線段的中點為，再根據求出t的值，即得解.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則點，點，設，且，則，，∵，則，