1/12023年新高二暑假講義第11講雙曲線新課標要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質。知識梳理1．平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點坐標(±c,0)(0，±c)a，b，c的關系c2＝a2＋b23.雙曲線的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范圍x≤－a或x≥ay≥a或y≤－a頂點(－a,0)，(a,0)(0，a)，(0，－a)軸長虛軸長＝2b，實軸長＝2a焦點(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為坐標原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)xy＝eq\f(a,b)x，y＝－eq\f(a,b)x4.直線與雙曲線的位置關系及判定直線：Ax＋By＋C＝0，雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，兩方程聯立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.則直線與雙曲線的位置關系如下表：位置關系公共點個數判定方法相交2個或1個m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0,Δ＞0))相切1個m≠0且Δ＝0相離0個m≠0且Δ＜0名師導學知識點1雙曲線定義的應用【例1-1】(1)動點P到點M(－1,0)，N(1,0)的距離之差等于2，則動點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線(2)若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是()A．(5，＋∞) B．(－∞，3)C．(3,5) D．(－∞，3)∪(5，＋∞)【變式訓練1-1】(1)(馬鞍山高二測試)已知點P的坐標滿足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝4，則動點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線(2)若動點P到F1(－5,0)與F2(5,0)的距離的差為±8，則P點的軌跡方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1知識點2求雙曲線的標準方程【例2-1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，a＝3，c＝5；(2)與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1有共同焦點，且過點(3eq\r(2)，eq\r(2))的雙曲線的標準方程；(3)經過兩點(3，－4eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5)).【變式訓練2-1】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點，則a的值為()A.eq\r(2) B．eq\r(10)C．4 D．eq\r(34)知識點3雙曲線定義及其標準方程的應用【例3-1】如圖所示，若F1，F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點．(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．【變式訓練3-1】已知雙曲線過點(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點M在雙曲線上，F1，F2是雙曲線的左、右焦點，且|MF1|＋|MF2|＝6eq\r(3)，試判斷△MF1F2的形狀．知識點4雙曲線的簡單幾何性質【例4-1】求雙曲線4y2－9x2＝－4的半實軸長、半虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程，并畫出該雙曲線的草圖．【變式訓練4-1】(北京卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經過點(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．知識點5利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程【例5-1】根據下列條件，求雙曲線的標準方程．(1)焦點在y軸上，實軸長為10，離心率為eq\f(12,5)；(2)焦距為10，實軸長是虛軸長的2倍；(3)與雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1共漸近線，焦點坐標為(±2,0)．【變式訓練5-1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為eq\f(5,3)；(2)兩頂點間的距離為6，兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分．知識點6雙曲線的離心率問題【例6-1】(1)設F1，F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，雙曲線上存在一點P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\r(15)C．4 D．eq\r(17)(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F1，F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是______________．【變式訓練6-1】(1)(北京卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A.eq\r(6)B．4C．2 D．eq\f(1,2)(2)(全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則雙曲線C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D．eq\f(1,cos50°)知識點7直線與雙曲線的位置關系【例7-1】已知過點P(0,1)的直線l與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1只有一個公共點，求直線l的斜率k的值．【變式訓練7-1】(龍巖一中月考)斜率為2的直線l過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(1，eq\r(3))C．(1，eq\r(5)) D．(eq\r(5)，＋∞)知識點8弦長問題【例8-1】(福州檢測)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，虛軸長為4.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點(0,1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．【變式訓練8-1】已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為eq\r(2)，求實數k的值．知識點9中點弦問題【例9-1】(吉林實驗中學檢測)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，且eq\f(a2,c)＝eq\f(\r(2),3).(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點P在圓x2＋y2＝5上，求m的值．【變式訓練9-1】雙曲線C：x2－y2＝2右支上的弦AB過右焦點F.(1)求弦AB的中點M的軌跡方程；(2)是否存在以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出直線AB的斜率k的值．若不存在，則說明理由．名師導練3.2.1雙曲線及其標準方程A組-[應知應會]1．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的焦距為10，則實數m的值為()A．4 B．16C．－16 D．812．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，0))3．若M在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1上，雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，則|MF1|的值為()A．4B．8C．12 D．244．已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，P點在雙曲線C上，∠F1PF2＝60°，則P到x軸的距離為()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3) D．eq\r(6)5．已知點M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN相切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點P，則點P的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1) B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x<－1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x>1)6．已知點F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標為eq\f(1,2)時，點P到坐標原點的距離是()A.eq\f(\r(6),2)B．eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．27．已知P是雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點，F1，F2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|＝17，則|PF2|的值為________．8．中心在原點，實軸在y軸上，一個焦點為直線3x－4y＋24＝0與坐標軸的交點的等軸雙曲線方程是________．9．已知定點A，B，且|AB|＝4，動點P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________．10．(馬鞍山測試)已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2＋5y2＝5的左，右焦點，且三角形三內角A，B，C滿足sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC.(1)求|AB|；(2)求頂點C的軌跡方程．11．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a＝2eq\r(5)，經過點A(2，－5)，焦點在y軸上；(2)與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4.12．已知橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1與雙曲線eq\f(y2,15)－x2＝1有公共點P，求P與雙曲線的兩個焦點的連線構成的三角形的面積．B組-[素養提升](廣州模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1與雙曲線eq\f(x2,p)－eq\f(y2,q)＝1(m，n，p，q均為正數)有共同的焦點F1，F2，P是兩曲線的一個公共點，則|PF1|·|PF2|等于()A．p2－m2 B．p－mC．m－p D．m2－p23.2.2雙曲線的簡單幾何性質A組-[應知應會]1．(大慶市模擬)已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，則該雙曲線的漸近線方程為()A．9x±4y＝0 B．4x±9y＝0C．3x±2y＝0 D．2x±3y＝02．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x3．(淮北市第一中學月考)F1，F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C.eq\r(5) D．eq\r(7)4．已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線的交點為(4,3)，則此雙曲線的方程為()A.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1 B．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1 D．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝15．點P在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是這條雙曲線的兩個焦點，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數列，則此雙曲線的離心率是()A．2 B．3C．4 D．56．設F1，F2分別是雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A，B兩點，若點F2滿足eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))<0，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．1<e<eq\r(2)＋1 B．e>eq\r(2)＋1C．1<e<eq\r(2) D．e>eq\r(2)7．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.8．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與雙曲線C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點F(eq\r(5)，0)，則a＝________，b＝________.9．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)經過點(4,1)，且與y2－eq\f(x2,4)＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為______________．10．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．(1)已知雙曲線的一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64共焦點；(2)與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同漸近線，且經過點(－3，2eq\r(3))．11．(1)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，求雙曲線的離心率；(2)雙曲線的離心率為eq\r(2)，求雙曲線的兩漸近線的夾角．12．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為eq\f(\r(3),4)c，求雙曲線的離心率．B組-[素養提升](全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)3.2.3直線與雙曲線的位置關系A組-[應知應會]1．(哈爾濱三中二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線經過圓E：x2＋y2－2x＋4y＝0的圓心，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(5) B．eq\f(\r(5),2)C．2 D．eq\r(2)2．過雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|＝4，則這樣的直線l有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條3．(龍巖一中月考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個頂點分別為A，B，點P為雙曲線上除A，B外任意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1、k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x4．若圓(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝3與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(7),2)C．2 D．eq\r(7)5．若斜率存在且過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(b,a)))的直線l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有且僅有一個公共點，且這個公共點恰是雙曲線的左頂點，則雙曲線的實軸長等于()A．2 B．4C．1或2 D．2或46．已知直線y＝eq\f(1,2)x與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點，P為雙曲線上不同于A，B的點，當直線PA，PB的斜率kPA，kPB存在時，kPA·kPB＝()A.eq\f(4,9) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．與P點位置有關7．已知直線l：y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16，若直線l與雙曲線有兩個公共點，則實數k的取值范圍是________．8．(北京西城區二模)雙曲線C：eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1的焦距是________；若圓(x－1)2＋y2＝r2(r>0)與雙曲線C的漸近線相切，則r＝________.9．(吉林實驗中學期中)已知直線y＝eq\f(\r(3),3)x－2與雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1的右支交于A，B兩點，且在雙曲線的右支上存在點C，使eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→))，則t的值________．10．已知雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦點為(2,0)．(1)求雙曲線的方程；(2)求雙曲線的漸近線與直線x＝－2圍成的三角形的面積．11．(平頂山期末調研)已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，右焦點坐標為(2,0)，O為坐標原點．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>0，試求實數k的取值范圍．12．已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點．(1)求線段|AB|的長；(2)當a為何值時，以AB為直徑的圓經過坐標原點？B組-[素養提升](全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則雙曲線C的離心率為________． 第11講雙曲線新課標要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質。知識梳理1．平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點坐標(±c,0)(0，±c)a，b，c的關系c2＝a2＋b23.雙曲線的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范圍x≤－a或x≥ay≥a或y≤－a頂點(－a,0)，(a,0)(0，a)，(0，－a)軸長虛軸長＝2b，實軸長＝2a焦點(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為坐標原點離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)xy＝eq\f(a,b)x，y＝－eq\f(a,b)x4.直線與雙曲線的位置關系及判定直線：Ax＋By＋C＝0，雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，兩方程聯立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.則直線與雙曲線的位置關系如下表：位置關系公共點個數判定方法相交2個或1個m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠0,Δ＞0))相切1個m≠0且Δ＝0相離0個m≠0且Δ＜0名師導學知識點1雙曲線定義的應用【例1-1】(1)動點P到點M(－1,0)，N(1,0)的距離之差等于2，則動點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線(2)若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是()A．(5，＋∞) B．(－∞，3)C．(3,5) D．(－∞，3)∪(5，＋∞)【分析】利用雙曲線的定義解題．【解析】(1)∵|MN|＝2，|PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴點P的軌跡是以N為端點的一條射線，故選D.(2)∵eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示雙曲線，∴5－k與k－3一正一負，即(5－k)(k－3)＜0，解得k＞5或k＜3.故選D.【答案】(1)D(2)D【變式訓練1-1】(1)(馬鞍山高二測試)已知點P的坐標滿足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝4，則動點P的軌跡是()A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．兩條射線 D．一條射線(2)若動點P到F1(－5,0)與F2(5,0)的距離的差為±8，則P點的軌跡方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1【解析】(1)點P的坐標滿足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝4，∴動點P(x，y)到A(1,1)和B(－3，－3)的距離之差等于4，又A(1,1)和B(－3，－3)兩點間的距離為|AB|＝4eq\r(2)，∴動點P的軌跡方程是雙曲線的一支．(2)由雙曲線定義知，P點的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線，且2a＝8，a＝4，c＝5，∴b＝3.∴P點的軌跡方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.【答案】(1)B(2)D知識點2求雙曲線的標準方程【例2-1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，a＝3，c＝5；(2)與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1有共同焦點，且過點(3eq\r(2)，eq\r(2))的雙曲線的標準方程；(3)經過兩點(3，－4eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5)).【分析】對于(1)，只需求出b2即可；對于(2)，(3)可設出雙曲線的方程，代入條件即可．【解】(1)∵a＝3，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－9＝16.又此雙曲線焦點在x軸上，∴所求的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)∵eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1的焦點坐標為(－2eq\r(5)，0)，(2eq\r(5)，0)，由題意得，所求雙曲線的焦點坐標為(±2eq\r(5)，0)，設所求的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,20－a2)＝1.又(3eq\r(2)，eq\r(2))在雙曲線上，∴eq\f(18,a2)－eq\f(2,20－a2)＝1，解得a2＝20－2eq\r(10)，∴所求的雙曲線的標準方程為eq\f(x2,20－2\r(10))－eq\f(y2,2\r(10))＝1.(3)設所求的雙曲線的標準方程為mx2＋ny2＝1(其中mn＜0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋32n＝1，,\f(81,16)m＋25n＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,9)，,n＝\f(1,16).))故所求的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.【變式訓練2-1】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點，則a的值為()A.eq\r(2) B．eq\r(10)C．4 D．eq\r(34)【解析】∵橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點(±eq\r(7)，0)，∴a2－9＝7，∴a2＝16.又a>0，∴a＝4.【答案】C知識點3雙曲線定義及其標準方程的應用【例3-1】如圖所示，若F1，F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點．(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．【分析】(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a，則點M到另一焦點的距離易得；(2)結合已知條件及余弦定理即可求得面積．【解】雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.又c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，故點M到另一個焦點的距離為10或22.(2)將|PF2|－|PF1|＝6，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32＝16.【變式訓練3-1】已知雙曲線過點(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點M在雙曲線上，F1，F2是雙曲線的左、右焦點，且|MF1|＋|MF2|＝6eq\r(3)，試判斷△MF1F2的形狀．【解】(1)橢圓的方程可化為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦點在x軸上，且c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).故可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得a2＝3，b2＝2.故雙曲線的標準方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1.(2)不妨設M在雙曲線的右支上，則有|MF1|－|MF2|＝2eq\r(3).又|MF1|＋|MF2|＝6eq\r(3)，解得|MF1|＝4eq\r(3)，|MF2|＝2eq\r(3).又|F1F2|＝2c＝2eq\r(5)，因此在△MF1F2中，|MF1|邊最長，由余弦定理可得cos∠MF2F1＝eq\f(|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2,2|MF2|·|F1F2|)＝eq\f(2\r(3)2＋2\r(5)2－4\r(3)2,2×2\r(3)×2\r(5))＝－eq\f(2,\r(15))<0.所以∠MF2F1為鈍角，故△MF1F2是鈍角三角形．知識點4雙曲線的簡單幾何性質【例4-1】求雙曲線4y2－9x2＝－4的半實軸長、半虛軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程，并畫出該雙曲線的草圖．【分析】將雙曲線的方程化為標準方程，確定焦點所在的坐標軸，得到幾何量a，b的值，從而得出相關的幾何性質．【解】將雙曲線方程化成標準方程為eq\f(x2,\f(4,9))－y2＝1，可知半實軸長a＝eq\r(\f(4,9))＝eq\f(2,3)，半虛軸長b＝1.于是有c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(\f(4,9)＋1)＝eq\f(\r(13),3)，所以焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(13),3)，0))，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\f(3,2)x.其圖象如圖所示．【變式訓練4-1】(北京卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經過點(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．【解析】∵雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1過點(3,4)，∴9－eq\f(16,b2)＝1，∴b2＝2，又a2＝1，焦點在x軸上，∴漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.【答案】y＝±eq\r(2)x知識點5利用雙曲線的性質求雙曲線的標準方程【例5-1】根據下列條件，求雙曲線的標準方程．(1)焦點在y軸上，實軸長為10，離心率為eq\f(12,5)；(2)焦距為10，實軸長是虛軸長的2倍；(3)與雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1共漸近線，焦點坐標為(±2,0)．【分析】對于(1)只需根據題目條件求出b2即可；對于(2)，由于焦點所在的坐標軸不確定，故需分情況討論；對于(3)，利用兩雙曲線共漸近線求解．【解】(1)由題意得2a＝10，a＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(12,5)，∴c＝12.∴b2＝c2－a2＝144－25＝119.又焦點在y軸上，∴所求的雙曲線的標準方程為eq\f(y2,25)－eq\f(x2,119)＝1.(2)由題意得c＝5，a＝2b，又a2＋b2＝c2，∴5b2＝25，∴b2＝5，a2＝20.當焦點在x軸上時，雙曲線的標準方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1；當焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為eq\f(y2,20)－eq\f(x2,5)＝1.(3)設所求的雙曲線方程為eq\f(y2,3)－x2＝λ(λ≠0)，∵焦點在x軸上，∴λ＜0，∴方程再化為eq\f(x2,－λ)－eq\f(y2,－3λ)＝1.又焦點坐標為(±2,0)，∴－4λ＝4，λ＝－1，故所求雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.【變式訓練5-1】求適合下列條件的雙曲線的標準方程．(1)焦點在x軸上，虛軸長為8，離心率為eq\f(5,3)；(2)兩頂點間的距離為6，兩焦點的連線被兩頂點和中心四等分．【解】(1)由題意，得2b＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，∴b＝4，c＝eq\f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9.又該雙曲線焦點在x軸上，∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)由已知得2a＝6,2c＝4a，∴a＝3，c＝6.∴b2＝c2－a2＝36－9＝27.∴所求的雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,27)＝1.知識點6雙曲線的離心率問題【例6-1】(1)設F1，F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，雙曲線上存在一點P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\r(15)C．4 D．eq\r(17)(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F1，F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是______________．【分析】對于(1)，根據雙曲線的定義得到a，b，c的關系式，再求離心率；對于(2)，欲求離心率的取值范圍，可利用|PF1|或|PF2|的范圍求解．【解析】(1)根據已知條件，知||PF1|－|PF2||＝2a，所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(17).(2)∵P為雙曲線上一點，|PF1|＝2|PF2|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，又∵|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，∴e＝eq\f(c,a)≤3.又e＞1，∴1＜e≤3.【答案】(1)D(2)1＜e≤3【變式訓練6-1】(1)(北京卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A.eq\r(6)B．4C．2 D．eq\f(1,2)(2)(全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則雙曲線C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D．eq\f(1,cos50°)【解析】(1)由題意，得e＝eq\r(5)＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋1),a)＝eq\r(5)，∴5a2＝a2＋1，解得a＝eq\f(1,2).(2)由題意，得k＝－eq\f(b,a)＝tan130°，∴eq\f(b,a)＝tan50°，即eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(sin250°,cos250°)，∴e2＝eq\f(sin250°,cos250°)＋1＝eq\f(1,cos250°)，∴e＝eq\f(1,cos50°).【答案】(1)D(2)D知識點7直線與雙曲線的位置關系【例7-1】已知過點P(0,1)的直線l與雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1只有一個公共點，求直線l的斜率k的值．【分析】欲解此題，需將直線與雙曲線聯立，再利用所得的方程求解．【解】設直線l的斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，))得(4－k2)x2－2kx－5＝0.當4－k2＝0，即k＝±2時，此時的直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點；當4－k2≠0時，由Δ＝4k2－4(4－k2)(－5)＝0，解得k＝±eq\r(5).綜上，得直線l的斜率k的值為±2或±eq\r(5).【變式訓練7-1】(龍巖一中月考)斜率為2的直線l過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(1，eq\r(3))C．(1，eq\r(5)) D．(eq\r(5)，＋∞)【解析】依題意，斜率為2的直線l過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦點且與雙曲線的左、右兩支分別相交，結合圖形分析可知，雙曲線的一條漸近線的斜率eq\f(b,a)必大于2，即b>2a，因此該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).【答案】D知識點8弦長問題【例8-1】(福州檢測)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，虛軸長為4.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點(0,1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．【分析】第(1)問，直接由e＝eq\f(c,a)和c2＝a2＋b2，求出a2，b2；第(2)問，由l與C聯立，消去y，利用韋達定理和弦長公式可求|AB|，再由點到直線的距離公式求△OAB的高，最后求面積．【解】(1)依題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,2b＝4，,c2＝a2＋b2，))解得a＝1，b＝2，c＝eq\r(5)，∴雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意，得直線l的方程為y＝x＋1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2－\f(y2,4)＝1，))可得3x2－2x－5＝0，由韋達定理，可得x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(5,3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(4,9)＋\f(20,3))＝eq\f(8\r(2),3)，原點到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),2)，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,3).【變式訓練8-1】已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；(2)若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為eq\r(2)，求實數k的值．【解】(1)若雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，則方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,y＝kx－1))有兩個不同的實數根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2＞0.))解得－eq\r(2)＜k＜eq\r(2)且k≠±1.即雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍是(－eq\r(2)，－1)∪(－1,1)∪(1，eq\r(2))．(2)設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l與y軸交于點D(0，－1)，由(1)知，C與l聯立的方程為(1－k2)x2＋2kx－2＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2k,1－k2)，,x1x2＝\f(－2,1－k2).))當A，B在雙曲線的一支上且|x1|＞|x2|時，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝eq\f(1,2)(|x1|－|x2|)＝eq\f(1,2)|x1－x2|；當A，B在雙曲線的兩支上且x1＞x2時，S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝eq\f(1,2)(|x1|＋|x2|)＝eq\f(1,2)|x1－x2|.所以S△OAB＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\r(2)，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2eq\r(2))2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2k,1－k2)))2＋eq\f(8,1－k2)＝8，解得k＝0或k＝±eq\f(\r(6),2).又因為－eq\r(2)＜k＜eq\r(2)，且k≠±1，所以當△AOB的面積為eq\r(2)時，實數k的值為0或±eq\f(\r(6),2).知識點9中點弦問題【例9-1】(吉林實驗中學檢測)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，且eq\f(a2,c)＝eq\f(\r(2),3).(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點P在圓x2＋y2＝5上，求m的值．【分析】由于P為中點，可利用點差法求解．【解】(1)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,\f(a2,c)＝\f(\r(2),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(6),3)，,c＝\r(2).))∴b2＝c2－a2＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，∴雙曲線C的方程為eq\f(3x2,2)－eq\f(3y2,4)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3x2,2)－\f(3y2,4)＝1，,x－y＋m＝0，))得3x2－6mx－3m2－4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2m，又中點P在直線x－y＋m＝0上，∴中點P坐標為(m,2m)，代入x2＋y2＝5得，m＝±1，滿足判別式Δ>0.∴m的值為±1.【變式訓練9-1】雙曲線C：x2－y2＝2右支上的弦AB過右焦點F.(1)求弦AB的中點M的軌跡方程；(2)是否存在以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出直線AB的斜率k的值．若不存在，則說明理由．【解】(1)設中點M的坐標為(x，y)，(x≥2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．雙曲線x2－y2＝2的焦點F的坐標為(2,0)．∴kAB＝eq\f(y,x－2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝2，,x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝2，))∴xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)，∴(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，∴ky＝x.∴eq\f(y,x－2)y＝x，∴y2＝x2－2x，(x≠2)．當x＝2時，AB與x軸垂直，∴AB的中點M的軌跡方程為x2－2x－y2＝0，(x≥2)．(2)假設存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝k(x－2)，由已知得OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，∴(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，(*)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝2，,y＝kx－2))得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(4k2＋2,k2－1)(k2≠1)代入(*)式，化簡得k2＋1＝0無解．所以這樣的圓不存在．名師導練3.2.1雙曲線及其標準方程A組-[應知應會]1．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的焦距為10，則實數m的值為()A．4 B．16C．－16 D．81【解析】由2c＝10，得c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.【答案】B2．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，0))【解析】雙曲線方程x2－2y2＝1的標準方程為x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，∴c2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴c＝eq\f(\r(6),2)，∴右焦點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，0)).【答案】C3．若M在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1上，雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，則|MF1|的值為()A．4B．8C．12 D．24【解析】根據雙曲線的定義，可知|MF1|－|MF2|＝2|MF2|＝2a＝8，∴|MF2|＝4，∴|MF1|＝3|MF2|＝12.【答案】C4．已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，P點在雙曲線C上，∠F1PF2＝60°，則P到x軸的距離為()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3) D．eq\r(6)【解析】設P(x，y)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨設m>n；則|PF1|－|PF2|＝m－n＝2.在△F1PF2中，|F1F2|＝2eq\r(2)，由余弦定理，得(2eq\r(2))2＝m2＋n2－2mncos60°，即8＝(m－n)2＋mn，∴mn＝4.由△F1PF2的面積公式，得eq\f(1,2)×2eq\r(2)×|y|＝eq\f(1,2)mnsin60°，∴|y|＝eq\f(\r(6),2).【答案】B5．已知點M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN相切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點P，則點P的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1) B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x<－1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x>0) D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x>1)【解析】設圓與直線PM，PN分別相切于E，F，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|＝b，∴點P的軌跡是以M(－3,0)，N(3,0)為焦點的雙曲線的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故點P的軌跡方程是x2－eq\f(y2,8)＝1(x>1)．【答案】A6．已知點F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標為eq\f(1,2)時，點P到坐標原點的距離是()A.eq\f(\r(6),2)B．eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．2【解析】由題意，可得點P的軌跡為焦點在x軸的雙曲線的右支c＝eq\r(2)，a＝1，∴b＝eq\r(c2－a2)＝1，∴雙曲線的標準方程為x2－y2＝1(x≤－1)．把y＝eq\f(1,2)代入x2－y2＝1，得x＝－eq\f(\r(5),2).∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，\f(1,2)))，∴點P到原點的距離為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(6),2).【答案】A7．已知P是雙曲線eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一點，F1，F2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|＝17，則|PF2|的值為________．【解析】由雙曲線方程可知a＝8，c＝eq\r(64＋36)＝10，∴|PF2|＝|PF1|－2a＝1＜c－a，不符合題意，|PF2|＝|PF1|＋2a＝17＋16＝33.【答案】338．中心在原點，實軸在y軸上，一個焦點為直線3x－4y＋24＝0與坐標軸的交點的等軸雙曲線方程是________．【解析】由題意中心在原點，實軸在y軸上，一個焦點為直線3x－4y＋24＝0與坐標軸的交點，令x＝0，解得y＝6，故得到c＝6,2a2＝36，∴a2＝18，∴所求等軸雙曲線方程是y2－x2＝18.【答案】y2－x2＝189．已知定點A，B，且|AB|＝4，動點P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________．【解析】由|PA|－|PB|＝3＜|AB|＝4知P點的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的一支，所以2a＝3,2c＝4，所以a＝eq\f(3,2)，c＝2，所以|PA|min＝a＋c＝eq\f(7,2).【答案】eq\f(7,2)10．(馬鞍山測試)已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x2＋5y2＝5的左，右焦點，且三角形三內角A，B，C滿足sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC.(1)求|AB|；(2)求頂點C的軌跡方程．【解】(1)∵橢圓x2＋5y2＝5化為標準方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.可得a2＝5，b2＝1，c2＝4.即可得A(－2,0)，B(2,0)，∴|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC，由正弦定理可得，|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2<|AB|.∴頂點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，其方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)．11．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a＝2eq\r(5)，經過點A(2，－5)，焦點在y軸上；(2)與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點，它們的一個交點的縱坐標為4.【解】(1)因為雙曲線的焦點在y軸上，所以可設雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題設，知a＝2eq\r(5)，且點A(2，－5)在雙曲線上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得a2＝20，b2＝16.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1.(2)橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的兩個焦點為F1(0，－3)，F2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個交點為(eq\r(15)，4)(或(－eq\r(15)，4))．設雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))故所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.12．已知橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1與雙曲線eq\f(y2,15)－x2＝1有公共點P，求P與雙曲線的兩個焦點的連線構成的三角形的面積．【解】由已知，得橢圓與雙曲線具有共同的焦點F1(0,4)和F2(0，－4)，又由橢圓與雙曲線的定義可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝10，,|PF1|－|PF2|＝2\r(15)，))所以|PF1|＝5＋eq\r(15)，|PF2|＝5－eq\r(15)，在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(5＋\r(15)2＋5－\r(15)2－82,2×5＋\r(15)×5－\r(15))＝eq\f(4,5)，∴sin∠F1PF2＝eq\f(3,5)，因此△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×(5＋eq\r(15))×(5－eq\r(15))×eq\f(3,5)＝3.B組-[素養提升](廣州模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1與雙曲線eq\f(x2,p)－eq\f(y2,q)＝1(m，n，p，q均為正數)有共同的焦點F1，F2，P是兩曲線的一個公共點，則|PF1|·|PF2|等于()A．p2－m2 B．p－mC．m－p D．m2－p2【解析】由題意，可知m>n，由橢圓及雙曲線的定義有|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，|PF1|－|PF2|＝±2eq\r(p)，兩式分別平方相減，可得|PF1|·|PF2|＝m－p.【答案】C3.2.2雙曲線的簡單幾何性質A組-[應知應會]1．(大慶市模擬)已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，則該雙曲線的漸近線方程為()A．9x±4y＝0 B．4x±9y＝0C．3x±2y＝0 D．2x±3y＝0【解析】令eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝0，得4x2＝9y2，∴2x＝±3y，∴漸近線方程為2x±3y＝0.【答案】D2．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x【解析】∵e＝eq\r(3)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝3.∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.【答案】A3．(淮北市第一中學月考)F1，F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C.eq\r(5) D．eq\r(7)【解析】設等邊三角形邊長|BF2|＝m，且設|AF1|＝x，根據雙曲線的定義有m＋x－m＝m－x＝2a，解得m＝4a，x＝2a.在△BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2·6a·4a·coseq\f(π,3)，化簡得4c2＝28a2，即e＝eq\r(7).【答案】D4．已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線的交點為(4,3)，則此雙曲線的方程為()A.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1 B．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1 D．eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝1【解析】由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(32＋42)＝5，,\f(a,b)＝\f(3,4)，,a2＋b2＝c2，))解得a＝3，b＝4.∴雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.【答案】A5．點P在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，F1，F2是這條雙曲線的兩個焦點，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數列，則此雙曲線的離心率是()A．2 B．3C．4 D．5【解析】不妨設|PF2|，|PF1|，|F1F2|分別為m－d，m，m＋d，(d＞0)，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－m－d＝2a，,m－d2＋m2＝m＋d2，,m＋d＝2c，))解得m＝4d＝8a,2c＝5d，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\f(5,2)d,\f(d,2))＝5.【答案】D6．設F1，F2分別是雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A，B兩點，若點F2滿足eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))<0，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．1<e<eq\r(2)＋1 B．e>eq\r(2)＋1C．1<e<eq\r(2) D．e>eq\r(2)【解析】由雙曲線的對稱性可知，△ABF2是等腰三角形，且∠AF2B是鈍角，所以eq\f(π,4)<∠AF2F1＝eq\f(1,2)∠AF2B<eq\f(π,2)，所以tan∠AF2F1>1，即eq\f(|AF1|,|F1F2|)>1.又|AF1|＝eq\f(b2,a)，所以eq\f(b2,2ac)>1，即c2－a2>2ac，化簡得e2－2e－1>0，解得e>eq\r(2)＋1或e＜1－eq\r(2)(舍去)．【答案】B7．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.【解析】由已知，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，∴c＝eq\f(\r(5),2)a.又c2＝a2＋4，∴eq\f(5,4)a2＝a2＋4，∴a2＝16.又a>0，∴a＝4.【答案】48．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與雙曲線C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的漸近線，且C1的右焦點F(eq\r(5)，0)，則a＝________，b＝________.【解析】∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，又eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1的漸近線方程為y＝±2x，∴eq\f(b,a)＝2，即b＝2a.又C1的右焦點F(eq\r(5)，0)，∴a2＋b2＝5a2＝5，∴a2＝1，a＝1，∴b＝2.【答案】129．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)經過點(4,1)，且與y2－eq\f(x2,4)＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為______________．【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝3，))∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1，漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.【答案】eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1y＝±eq\f(1,2)x10．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．(1)已知雙曲線的一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64共焦點；(2)與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同漸近線，且經過點(－3，2eq\r(3))．【解】(1)解法一：橢圓方程可化為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，易得焦點是(±4eq\r(3)，0)．設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其漸近線方程是y＝±eq\f(b,a)x，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3).代入a2＋b2＝c2＝48，解得a2＝36，b2＝12.所以所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.解法二：由于雙曲線的一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，則另一條漸近線為x＋eq\r(3)y＝0.已知雙曲線的焦點在x軸上，可設雙曲線的方程為x2－3y2＝λ(λ＞0)，即eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,\f(λ,3))＝1.由橢圓方程eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，知c2＝a2－b2＝64－16＝48.因為雙曲線與橢圓共焦點，則λ＋eq\f(λ,3)＝48，所以λ＝36.所以所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.(2)設所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，將點(－3，2eq\r(3))代入雙曲線方程，得eq\f(9,9)－eq\f(12,16)＝λ，解得λ＝eq\f(1,4).所以所求雙曲線的標準方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.11．(1)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x，求雙曲線的離心率；(2)雙曲線的離心率為eq\r(2)，求雙曲線的兩漸近線的夾角．【解】(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(3,4)x，∴eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)或eq\f(a,b)＝eq\f(3,4).又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，∴當eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)時，e＝eq\f(5,4)；當eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)時，e＝eq\f(5,3).(2)∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，∴eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(2)，∴a＝b，∴雙曲線漸近線方程為y＝±x，∴雙曲線的兩條漸近線的夾角為90°.12．設雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為eq\f(\r(3),4)c，求雙曲線的離心率．【解】由直線l過(a,0)，(0，b)兩點，得l的方程為bx＋ay－ab＝0，由原點到l的距離為eq\f(\r(3),4)c，得eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),4)c，將b＝eq\r(c2－a2)代入3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)))2－16·eq\f(c2,a2)＋16＝