2024屆山西大同市第一中學高二上數學期末復習檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，為數列的前項和，，，則數列的公差為（）A. B.C.4 D.2．拋物線準線方程為()A. B.C. D.3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（）A. B.C. D.15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B.C. D.6．直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦長|AB|等于（）A. B.C. D.7．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.8．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數為偶函數，則在處的切線方程為（）A. B.C. D.10．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝011．若方程表示圓，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.12．圓與圓的位置關系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點.若點的橫坐標為,則的離心率為-.14．圓錐曲線有良好的光學性質，光線從橢圓的一個焦點發出，被橢圓反射后會經過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側的一部分（實線）圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發，經過點F2，然后在曲線E內多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經過的路程為_________.15．若在上是減函數，則實數a的取值范圍是_________.16．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答.在中，內角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大??；（2）已知，，點在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.19．（12分）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環境，保護生態可持續發展方面發揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發表題為《繼往開來，開啟全球應對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實現這一目標，某地林業管理部門著手制定本地的森林蓄積量規劃.經統計，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發展經濟的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數；（3）為了實現本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數據：，，）21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知函數在處取得極值確定a的值；若，討論的單調性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】由已知條件列方程組求解即可【題目詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A2、D【解題分析】由拋物線的準線方程即可求解【題目詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準線方程為故選D【題目點撥】本題主要考查了拋物線的準線方程，屬于基礎題3、B【解題分析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關系，即可判斷三角形的形狀【題目詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【題目點撥】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題4、A【解題分析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【題目詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.5、B【解題分析】根據已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結合的關系，即可求出結論.【題目詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則①.又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.6、A【解題分析】聯立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求距離.【題目詳解】由得交點為(0,1)，，則|AB|＝＝.故選：A.7、C【解題分析】根據給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【題目詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C8、A【解題分析】根據橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【題目詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.9、A【解題分析】根據函數是偶函數可得，可求出，求出函數在處的導數值即為切線斜率，即可求出切線方程.【題目詳解】函數為偶函數，，即，解得，，則，，且，切線方程為，整理得.故選：A.【題目點撥】本題考查函數奇偶性的應用，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.10、D【解題分析】設切點為，則切線的斜率為，然后根據條件可得的值，然后可得答案.【題目詳解】設切點為，因為，所以切線的斜率為因為曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D11、D【解題分析】將方程化為標準式即可.【題目詳解】方程化為標準式得，則.故選：D.12、C【解題分析】利用圓心距與半徑的關系確定正確選項.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】雙曲線的右焦點為.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點的橫坐標為，由，得，解之得，（舍去，因為離心率），故雙曲線的離心率為.考點：1.雙曲線的幾何性質；2.直線方程.14、【解題分析】結合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學性質求得正確答案.【題目詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點重合.根據雙曲線的定義有，所以①，②，根據橢圓的定義由，所以路程.故答案為：15、【解題分析】根據導數的性質，結合常變量分離法進行求解即可.【題目詳解】，因為在上是減函數，所以在上恒成立，即，當時，的最小值為，所以，故答案為：16、【解題分析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【題目詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【題目點撥】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數化簡求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）若選①，則根據正弦定理，邊化角，結合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進而求得,設，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問2詳解】如圖示：,故，故,在中，設，則，則，即，解得，或（舍去）故.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）根據題意證明，，然后根據線面垂直的判定定理證明問題；（2）結合（1），進而利用等體積法求得答案.【小問1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點.連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問2詳解】設M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.19、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解題分析】（1）連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO，根據判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進而得到線面平行；（2）建立坐標系，求出兩個面的法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD，設出點M的坐標，由第二問得到平面EFD的一個法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點M.【題目詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO因為F是A1C的中點，所以OF∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以OF∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因為EF?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以點A為坐標原點，直線AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，因為點E，F分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F所以=，=(0，1，1)設平面EFD的法向量為，則即令y=1，則z=-1，x=2所以，由題知，平面DEC的一個法向量為m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是（3）假設在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD設點M的坐標為(0，t，2)(0≤t≤2)，則=(，t，2)因為平面EFD的一個法向量為，而與不平行，所以在線段A1D1上不存在點M，使得BM⊥平面EFD20、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解題分析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數；（3）若實現翻兩番的目標，則，根據遞推公式，計算的最大值.【題目詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因為，且，所以，由（2）可知，所以，即數列是以為首項，為公比的等比數列，其通項公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數列的第10項，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達到翻兩番的目標，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【題目點撥】方法點睛：遞推公式求通項公式，有以下幾種方法：

型如：的數列的遞推公式，采用累加法求通項；

形如：的數列的遞推公式，采用累乘法求通項；

形如：的遞推公式，通過構造轉化為，構造數列是以為首項，為公比的等比數列，

形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉化為的形式求通項公式；

形如：，可通過取倒數轉化為等差數列求通項公式.21、（1）（2）證明見解析.【解題分析】（1）由題知，進而結合求解即可得答案；（2）設點，，進而聯立并結合題意得或，進而結合韋達定理得，再的中點為，證明，進而得，