河南省創新發展聯盟2024學年高二數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確2．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.3．已知空間中三點，，，則下列結論中正確的有（）A.平面ABC的一個法向量是 B.的一個單位向量的坐標是C. D.與是共線向量4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．橢圓的離心率為（）A B.C. D.6．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.7．在空間直角坐標系中，已知點A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點坐標是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)8．已知等差數列的前n項和為，且，，則為（）A. B.C. D.9．橢圓的焦點坐標是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）10．已知是橢圓兩個焦點，P在橢圓上，，且當時，的面積最大，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.11．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大12．已知為虛數單位，復數是純虛數，則（）A B.4C.3 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在一村莊正西方向處有一臺風中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風中心以內的地區將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有_______小時會受到臺風的影響．（參考數據：）14．設等差數列，前項和分別為，，若對任意自然數都有，則的值為______.15．橢圓的左焦點為，M為橢圓上的一點，N是的中點，O為原點，若，則______16．甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠8個小時，假定它們在一晝夜的時間段內隨機地到達，則兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待的概率為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如圖所示，在正方體中，點，，分別是，，的中點（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的大小19．（12分）已知關于的不等式（1）若不等式的解集為，求的值（2）若不等式的解集為，求的取值范圍20．（12分）如圖1是，，，，分別是邊，上兩點，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，平面；（2）圖2中，求二面角的正切值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值22．（10分）已知等差數列的前項的和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，記數列的前項和，求使得恒成立時的最小正整數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由向量數量積為0可求.【題目詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.2、B【解題分析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【題目詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B3、A【解題分析】根據已知條件，結合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【題目詳解】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.4、B【解題分析】求出的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結論.【題目詳解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、D【解題分析】根據橢圓方程先寫出標準方程，然后根據標準方程寫出便可得到離心率.【題目詳解】解：由題意得：，，故選：D6、C【解題分析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【題目詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.7、B【解題分析】利用中點坐標公式直接求解【題目詳解】在空間直角坐標系中，點，1，，，1，，則線段的中點坐標是，，，1，故選：B.8、C【解題分析】直接由等差數列求和公式結合，求出，再由求和公式求出即可.【題目詳解】由題意知：，解得，則.故選：C.9、A【解題分析】根據橢圓的方程求得的值，進而求得橢圓的焦點坐標，得到答案.【題目詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點坐標為和.故選：A.10、A【解題分析】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，即可解出【題目詳解】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標準方程為故選：A11、C【解題分析】根據雙曲線的性質結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【題目詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.12、C【解題分析】化簡復數得，由其為純虛數求參數a，進而求的模即可.【題目詳解】由為純虛數，∴，解得：，則，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】結合勾股定理求得正確答案.【題目詳解】如圖，設村莊為A，開始臺風中心的位置為B，臺風路徑為直線，因為點A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺風影響的時間約為：（小時）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據要求作答14、【解題分析】由等差數列的性質可得：．再利用已知即可得出【題目詳解】由等差數列的性質可得：對于任意的都有，則故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數列的性質，求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15、4【解題分析】根據三角形的中位線定理，結合橢圓的定義即可求得答案.【題目詳解】橢圓的左焦點為,如圖，設右焦點為,則，由N是的中點，O為得中點，,故,又，所以，故答案為：416、【解題分析】利用幾何概型的面積型概率計算，作出邊長為24的正方形面積，求出部分的面積，即可求得答案.【題目詳解】設甲乙兩艘輪船到達的時間分為，則，記事件為兩船中有一艘在停靠泊位時、另一艘船必須等待，則，即∴.故答案為：.【題目點撥】本題考查幾何概型，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對概率模型的抽象成面積型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應點坐標，結合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點O，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，∴，.設平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）連接，可得，從而可證四邊形是平行四邊形，從而證明結論.（2）以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角.【小問1詳解】如圖，連接在正方體中，且因為，分別是，的中點，所以且又因為是的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以【小問2詳解】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，設為平面的法向量因為，，，所以令，得設直線與平面所成角為，則因為，所以直線與平面所成角的大小為19、（1）；（2）【解題分析】（1）根據關于的不等式的解集為，得到和1是方程的兩個實數根，再利用韋達定理求解.（2）根據關于的不等式的解集為．又因為，利用判別式法求解.【題目詳解】（1）因為關于的不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實數根，由韋達定理可得，得（2）因為關于的不等式的解集為因為所以，解得，故的取值范圍為【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解集和恒成立問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）、利用線面垂直的判定，及線面垂直的性質即可證明；（2）、建立空間直角坐標系，分別求出平面、平面的法向量，利用求出兩平面所成角的余弦值，進而求出求二面角的正切值.【小問1詳解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小問2詳解】由（1）知：平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則與，即與,..,觀察可知二面角為鈍二面角，二面角的正切值為.21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）在平面中構造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面面，故可得，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系如下所示：故可得，設平面的法向量為，又則，即，不妨取，則，則，取面的