湖南師大附中思沁中學2024年高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前項和滿足，記數(shù)列的前項和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)的導數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.3．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.94．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小張在D處觀測，測得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.105．大數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.27．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.188．等差數(shù)列中，是的前項和，，則（）A.40 B.45C.50 D.559．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.11．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝012．方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A. B.C.或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實數(shù)______14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為__.15．直線與直線垂直，則______16．已知為數(shù)列{}前n項和，若，且），則＝___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學生中再隨機抽取2名被甲考官面試，求這2名學生來自同一組的概率.18．（12分）已知拋物線：的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點B，C為E上兩個不同的點，其中B點在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.19．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標系中，動點到直線的距離與到點的距離之差為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與交于、兩點，若的面積為，求直線的方程.21．（12分）在等差數(shù)列中．，（1）求的通項公式：（2）記的前項和為，求滿足的的最大值22．（10分）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內(nèi)圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由，求得，得到，結合裂項法求和，即可求解.【題目詳解】數(shù)列的前項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.2、C【解題分析】首先求出，再令即可求解.【題目詳解】由，則，令，則，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的基本運算法則，屬于基礎題.3、D【解題分析】求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等4、C【解題分析】分別在和中，求得的長度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【題目詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因為，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故選：C.5、C【解題分析】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【題目詳解】設球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C6、A【解題分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【題目詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關于對稱軸對稱，于是.故選：A.7、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式計算求解即可.【題目詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C8、B【解題分析】應用等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”即可求解【題目詳解】故選：B9、A【解題分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結合橢圓定義，即得解【題目詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A10、B【解題分析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【題目詳解】由正弦定理，,得,故選：B.11、B【解題分析】由題意，，所以，即，故選B12、D【解題分析】根據(jù)曲線為焦點在y軸上的橢圓可得出答案.【題目詳解】因為方程表示的曲線為焦點在y軸上的橢圓，所以，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】先求出的坐標，進而根據(jù)空間向量平行的坐標運算求得答案.【題目詳解】由題意，，因為，所以存在實數(shù)使得.故答案為：2.14、5【解題分析】明確程序運行的順序，寫出每次循環(huán)的m,n的值，直到判斷符合條件時結束，即可得到結果.【題目詳解】第一次循環(huán)，m＝3，n＝2；第二次循環(huán)，m＝6，n＝3；第三次循環(huán)，m＝9，n＝4；第四次循環(huán)，m＝12，n＝5，此時m+n＞15，跳出循環(huán)，故答案為：5.15、##【解題分析】根據(jù)兩直線垂直得，即可求出答案.【題目詳解】由直線與直線垂直得，.故答案為：.16、2【解題分析】第一步找出數(shù)列周期，第二步利用周期性求和.【題目詳解】,,,，，，可知數(shù)列{}是周期為4的周期數(shù)列，所以故答案為:2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人（3）【解題分析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學生第三組應抽3人，第四組應抽2人，第五組應抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個組共有60人，所以第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機抽取2人，基本事件包含，共15個基本事件.其中2人來自同一組的情況有，共4種.所以，2人來自同一組的概率為.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意，結合拋物線定義，可求得，即得拋物線方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設，根據(jù)拋物線的對稱性，可表示出B,C的坐標，從而利用向量的坐標運算，求得所設參數(shù)值，進而求得答案.【小問1詳解】的準線為：，作于R，根據(jù)拋物線的定義有，所以，因為在的內(nèi)側，所以當P，Q，R三點共線時，取得最小值，此時，解得，所以的方程為.小問2詳解】因為AB，OC互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.由，得軸，設點，則，由拋物線的對稱性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，邊上的高，所以菱形的面積.19、.【解題分析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根據(jù)非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范圍【題目詳解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3∴m的取值范圍是[0，3]【題目點撥】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20、（1）；（2）或.【解題分析】（1）本題首先可以設動點，然后根據(jù)題意得出，通過化簡即可得出結果；（2）本題首先可排除直線斜率不存在時情況，然后設直線方程為，通過聯(lián)立方程并化簡得出，則，，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結果.【題目詳解】（1）設動點，因為動點到直線的距離與到點的距離之差為，所以，化簡可得，故軌跡方程為.（2）當直線斜率不存在時，其方程為，此時，與只有一個交點，不符合題意，當直線斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立方程，化簡得，，令、，則，，因為，所以，因為的面積為，所以，解得或，故直線方程為：或.【題目點撥】本題考查動點的軌跡方程的求法以及拋物線與直線相交的相關問題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動點的軌跡方程的關鍵，考查韋達定理的應用，在計算時要注意斜率為這種情況，考查計算能力，考查轉化與化歸思想，是中檔題.21、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念及通項公式可得基本量，進而可得解.（2）利用等差數(shù)列求和公式計算，解不等式即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以，解得，所以的最大值為.22、（1）（2）周長是定值，且定值為4【解題分析】（1）首先求出直線與軸的交點，即可求出，再根據(jù)離心率求出，最后根