甘肅省鎮原縣第二中學2024學年高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數中，奇數共有480個B.在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有60個2．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°3．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若，則當最大時，（）A. B.1C. D.24．已知直線和互相垂直，則實數的值為（）A. B.C.或 D.5．在等比數列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.86．已知f(x)是定義在R上的函數，且f(2)=2,，則f(x)＞x的解集是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個動點，若定點，則的最大值為A. B.C. D.8．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.19．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.10．等差數列中，，則（）A. B.C. D.11．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.12．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在處的切線方程為_________14．對某市“四城同創”活動中100名志愿者的年齡抽樣調查統計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為的數據不慎丟失，則依據此圖可估計該市“四城同創”活動中志愿者年齡在的人數為________15．已知拋物線C的方程為：，F為拋物線C的焦點，傾斜角為的直線過點F交拋物線C于A、B兩點，則線段AB的長為________16．設函數f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關系為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點在直線上（1）求拋物線的方程（2）設直線經過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值19．（12分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點，，分別在邊，上，且，將它卷成一個圓柱的側面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.20．（12分）已知拋物線的準線方程是，直線與拋物線相交于M、N兩點（1）求拋物線的方程；（2）求弦長；（3）設O為坐標原點，證明：21．（12分）在中，內角，，的對邊分別為，，.若，且.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最大值.22．（10分）已知函數（1）當時，求的單調遞減區間；（2）若關于的方程恰有兩個不等實根，求實數的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】A選項，特殊位置優先考慮求出這樣的六位數中，奇數個數；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【題目詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數組成沒有重復數字的六位數，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數位上的數字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數中，奇數共有個，A正確；在這樣的六位數中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數中，4個奇數從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A2、D【解題分析】由斜率得傾斜角【題目詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D3、B【解題分析】根據拋物線的定義，結合換元法、配方法進行求解即可.【題目詳解】因為點P為該拋物線上的動點，所以點P的坐標設為，拋物線的焦點為F，所以，拋物線的準線方程為：，因此，令，，當時，即當時，有最大值，最大值為1，此時.故選：B4、B【解題分析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，求解即可.【題目詳解】由已知可得，解得.故選：B.5、D【解題分析】由等比中項轉化得，可得，求解基本量，由等比數列通項公式即得解【題目詳解】設公比為，則由，得，即故，解得故選：D6、D【解題分析】構造，結合已知有在R上遞增且，原不等式等價于，利用單調性求解集.【題目詳解】令，由題設知：，即在R上遞增，又，所以f(x)＞x等價于，即.故選：D7、C【解題分析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【題目詳解】由題意可得：，據此可得：，橢圓方程為，設橢圓上點的坐標為，則，故：，當時，.本題選擇C選項.【題目點撥】本題主要考查橢圓方程問題，橢圓中的最值問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.8、D【解題分析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【題目詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D9、D【解題分析】根據題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結果.【題目詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.10、C【解題分析】由等差數列的前項和公式和性質進行求解.【題目詳解】由題意，得.故選：C.11、C【解題分析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【題目詳解】由直線經過，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【題目點撥】用導數求切線方程常見類型：(1)在出的切線：為切點，直接寫出切線方程：；(2)過出的切線：不是切點，先設切點，聯立方程組，求出切點坐標，再寫出切線方程：.12、C【解題分析】根據條件可得與，進而可得，，的關系，可得解.【題目詳解】由已知得，設點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求得函數的導數，得到且，結合直線的點斜式方程，即可求解.【題目詳解】由題意，函數，可得，則且，所以函數在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.14、【解題分析】首先根據頻率分布直方圖計算出年齡在的頻率，從而可計算出年齡在的人數.【題目詳解】年齡在的頻率為，所以年齡在的人數為.故答案為：.15、8【解題分析】根據給定條件求出拋物線C的焦點坐標，準線方程，再求出點A，B的橫坐標和即可計算作答.【題目詳解】拋物線C：焦點，準線方程為，依題意，直線l的方程為：，由消去x并整理得：，設，則，于是得，所以線段AB的長為8.故答案為：816、a＞b【解題分析】構造函數F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調性求解即可.【題目詳解】設函數F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的方程為、、【解題分析】（1）求得點的坐標，由此求得，進而求得拋物線的方程.（2）結合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.18、（1）證明過程見解析（2）【解題分析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則19、（1）證明見解析.（2）.【解題分析】（1）根據線面垂直的性質和判定可得證；（2）作圓柱的母線，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，利用等體積法可求得，由幾何體的體積，可求得答案.【小問1詳解】證明：∵是直徑，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小問2詳解】如圖，作圓柱的母線，則，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，且①又依題知，，，為底面圓的四等分點，∴，且②由①②知四邊形為平行四邊形，得，且，∴，∵到面的距離為，∴，所以幾何體的體積.20、（1）；（2）；（3）詳見解析.【解題分析】（1）根據拋物線的準線方程求解；（2）由直線方程與拋物線方程聯立，利用弦長公式求解；（3）結合韋達定理，利用數量積運算證明；【小問1詳解】解：因為拋物線的準線方程是，所以，解得，所以拋物線的方程是；【小問2詳解】由，得，設，則，所以；【小問3詳解】因為，，，所以，即.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由，等式右邊可化為余弦定理形式，根據求角即可（2）由余弦定理結合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面積的最大值.【題目詳解】（1）由得：，即：.∴，又，∴.（2）由，當且僅當等號成立.得：..【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面積公式，屬于中檔題.22、（1）；（2）【解題分析】（1）求出導數，令，得出變化情況