北京市衡中清大教育集團(tuán)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.2．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.3．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是.A.90 B.75C.60 D.454．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.6．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件7．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是3，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.9 B.7C.5 D.38．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.6019．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.11．設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.12．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項(xiàng)和______14．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點(diǎn)是O，若，則___________.15．高二某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得A的概率分別為、，這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A的概率為______16．已知拋物線：，斜率為且過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)（異于橢圓的右頂點(diǎn)），交軸于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).求證：直線的斜率為定值.18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立20．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).（1）若直線過點(diǎn)且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.21．（12分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值22．（10分）已知的離心率為，短軸長為2，F(xiàn)為右焦點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得過F的任意一條直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A，B，恒有，若存在求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)椋M(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【題目詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.2、B【解題分析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【題目詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、A【解題分析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0.75＝90.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.4、C【解題分析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【題目詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.5、B【解題分析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立6、D【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)椋海海裕詾閝的既不充分又不必要條件.故選：D.7、A【解題分析】根據(jù)橢圓定義求得即可.【題目詳解】由橢圓定義知，點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2×6-3=9.故選：A8、B【解題分析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【題目詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B9、B【解題分析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)椋瑒t且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.10、A【解題分析】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答【題目詳解】平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，，，，則有：，所以.故選：A11、D【解題分析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【題目詳解】因?yàn)檫^過總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.12、A【解題分析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【題目詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：14、【解題分析】結(jié)合空間向量運(yùn)算求得.【題目詳解】，.所以.故答案為：15、【解題分析】根據(jù)給定條件利用相互獨(dú)立事件、對立事件的概率公式計(jì)算作答.【題目詳解】依題意，這位考生至少得1個(gè)A對立事件為物理、政治科目考試都沒有得A，其概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為.故答案為：16、（1）（2）為定值6【解題分析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因?yàn)椋裕虼耍郑裕礊槎ㄖ迭c(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標(biāo)，繼而得出直線的方程，令可得的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率并得出定值.【題目詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：易得，，直線的方程為，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以，由，得，所以，從而，，直線的斜率為，故直線的方程為.令，得，直線斜率.所以直線的斜率為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18、（1）首項(xiàng)為-2，公差為1；（2）.【解題分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計(jì)算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，而為其前n項(xiàng)和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項(xiàng)均為非正數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，而，于是得的前2項(xiàng)和與前3項(xiàng)和相等并且最小，所以當(dāng)或時(shí)，.19、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解題分析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)椋士傻茫譃閱握{(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.則，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)取得最小值和最大值，故，即，也即時(shí)恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因?yàn)椤⒃趻佄锞€上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即.21、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，顯然，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得則有：極大值即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，對于滿足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，存在唯一的，使得，即，兩邊取自然對數(shù)得，極小值，則的最大值為22、（1）；（2）存在點(diǎn)M滿足條件，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件直接計(jì)算出即可求解作答.(2)假定存在點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)出l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助、斜率互為相反數(shù)計(jì)算得解，再驗(yàn)證直線l與x