第六章導(dǎo)數(shù)

6.1導(dǎo)數(shù)

6.1.1函數(shù)的平均變化率

1.函數(shù)的平均變化率

一般地，若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?。，且尤I，X2GD,九1WX2，M=yUl)，＞,2=

於2)，則

(1)自變量的改變量Ax=x?一和

(2)因變量的改變量△丫=丫2—yi(或A/=/(X2)—/xi));

(3)/(%)在［%/,］上的平均變化率為》=(或半

/(%)一/(%))

拓展：函數(shù)平均變化率的幾何意義

如圖所示，函數(shù)段)在區(qū)間田，間上的平均變化率，就是直線AB的斜率，其

中A(X1，犬Xi)),8(X2,於2)),事實(shí)上如=式：)二/“)=%.

X2X\

2.平均速度與平均變化率

如果物體運(yùn)動的位移xm與時間ts的關(guān)系為x=/z⑺，則物體在修，編修＜亥

時)或比，幻)2＜九時)這段時間內(nèi)的平均速度為出?一(m/s).

即物體在某段時間內(nèi)的平均速度等于⑺在該段時間內(nèi)的平均變化率.

整型］求函數(shù)的平均變化率

【例1】求y=/(x)=2f+1在區(qū)間［劭，沏+Ax］上的平均變化率，并求當(dāng)沏

=1,Ax=］時平均變化率的值.

22

［解］VAy=X^)+Ax)-^o)=2(^)+Ax)+l-(2^o+1)=4X0-AA-+2(AX),

...函數(shù)兀t)=2?+l在區(qū)間［xo,劭+Ax］上的平均變化率為

Ay4X"AX+2(AX)2

菽=4xo+2Ax,

當(dāng)x()=l,Ax=g時,

平均變化率為4Xl+2x1=5.

廠......規(guī)律C方法......................

求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解，解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增

量Ax與函數(shù)值的增量△?,求平均變化率的主要步驟是：

〈就)計(jì)算函數(shù)值的改變量△內(nèi)(/+△，)/知)

〈普計(jì)算自變量的改變量△ee

得平均變化率之=2^±^

y型2求物體運(yùn)動的平均變化率

【例2】跳水運(yùn)動員相對于水面的高度餌單位：m)與起跳后的時間K單位:

s)存在函數(shù)關(guān)系%?)=—4.9*+6.5t+10.

(1)求運(yùn)動員在［o,器］這段時間內(nèi)的平均速度；

(2)運(yùn)動員在［(),翳］這段時間內(nèi)是靜止的嗎？

(3)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題？

_"圜一力(。)

［解］⑴。=一-----

49-0

-4.9X圜+6.5x1|+10—10

=花=0(m/s),

49-0

即運(yùn)動員在0,需這段時間內(nèi)的平均速度是0m/s.

(2)運(yùn)動員在這段時間里顯然不是靜止的.

(3)由上面的計(jì)算結(jié)果可以看出，平均速度并不能反映出運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)，

特別是當(dāng)運(yùn)動的方向改變時.

廠......規(guī)律C方法.......--

1.平均速度反映運(yùn)動物體的位移隨時間變化而變化的情況.平均速度是運(yùn)動

物體在一個時間段里位移的改變量與這段時間的比值.

2.運(yùn)動物體在fo到八這段時間內(nèi)運(yùn)動的平均速度就是物體運(yùn)動的位移函數(shù)s(f)

在區(qū)間［擊，川上的平均變化率，因此求平均速度的實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)的平均變化率.

甘型3平均變化率的應(yīng)用

【例3】(1)A,B兩機(jī)關(guān)單位開展節(jié)能活動，活動開始后兩機(jī)關(guān)的用電量

%⑺，電⑺與時間f(天)的關(guān)系如圖所示，則一定有()

A.兩機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果一樣好

B.A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好

C.A機(jī)關(guān)單位的用電量在［0,根上的平均變化率比8機(jī)關(guān)單位的用電量在［0,

制上的平均變化率大

D.A機(jī)關(guān)單位與B機(jī)關(guān)單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大

(2)巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜?/p>

“緊十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一

段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從3處到C

處會感覺比較吃力.想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語言來量化段、段曲線

的陡峭程度嗎？

(1)B［(1)由題可知，A機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)的圖像比較陡峭，8機(jī)關(guān)單位所對應(yīng)

的圖像比較平緩，且用電量在［0,根上的平均變化率都小于0,故一定有A機(jī)關(guān)單

位比8機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好.故選B.］

(2)［解］山路從A到8高度的平均變化率為MB=W=先山路從3到

ZAADUv。

C斷度的平均變化率為Cc=八：=,八_??&8。＞您8,??山路從B至IC比從A

/vDU乙

到8陡峭.

廠.......規(guī)Wc75法????....................

函數(shù)的平均變化率空上也表示點(diǎn)3),凡由)與點(diǎn)(占，式內(nèi)))連線的斜率，是曲

即~XQ

線陡峭程度的“數(shù)量化”，其值可粗略地表示函數(shù)的變化趨勢.

(1)當(dāng)比較函數(shù)平均變化率的大小時，可以先將函數(shù)在每個自變量附近的平均

變化率求出，然后進(jìn)行大小的比較.

(2)當(dāng)識圖時，一定要結(jié)合題意弄清圖形所反映的量之間的關(guān)系，圖像在點(diǎn)xo

附近的圖像越“陡峭”，函數(shù)值變化就越快.

匚必備素養(yǎng)［

1.函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)可為零，反映函數(shù)y=/(x)在田，X2］上變化的快

慢，變化快慢是由平均變化率的絕對值決定的，且絕對值越大，函數(shù)值變化得越

快.

2.函數(shù)平均變化率的幾何意義和物理意義.

(1)幾何意義：平均變化率表示函數(shù)y=/U)圖像上割線P1P2的斜率，若PQi，

#P/#milbPP危2)~/(汨)/(一+Ax)~/(xD

加))，P2a2,/2))，則kPR-X_X}-M；

(2)物理意義：把位移s看成時間t的函數(shù)，平均變化率表示s=s⑺在時間段［小

S?2)—S?l)

句上的平均速度，即9=

t2~t\

6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義

1.瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)

(1)瞬時變化率：

一般地，設(shè)函數(shù)y=*x)在沏附近有定義，自變量在x=xo處的改變量為AY,

當(dāng)X無限接近于0時，若平均變化率邪獸土噌二無限接近于一個常數(shù)k,

那么稱童為函數(shù)式幻在處的瞬時變化率.簡記為：當(dāng)Ax-0時，

./(XO+AX)-/(M)式沏+―)一4劭)

------7------_k或lim------7--------=k.

AxALOAX

(2)導(dǎo)數(shù)

①/(x)在x()處的導(dǎo)數(shù)記作f(xo);

/（.￥（）+AA-）-/（A-（））

（龍。）=螞-&

拓展：導(dǎo)數(shù)定義的理解

(1)函數(shù)應(yīng)在劭處的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在.

(2)在極限式中，Ax趨近于0且Ax是自變量x在劭處的改變量，所以Ax可正、

可負(fù)，但不能為0.當(dāng)Ar>0(或AxcO)時，Ar->0表示x()+Av從右邊(或從左邊)趨近

于xo.

(3)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是在該點(diǎn)附近的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量

之比的極限，它是個常數(shù)，不是變量.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)割線的斜率

已知y=/(x)圖像上兩點(diǎn)A(xo,/Uo)),B(xo+Ax,式沏+Ar)),過A,8兩點(diǎn)割線

的斜率是能色。+噌一”對,即曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率.

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線y=/U)在點(diǎn)(xo,兀咐)處的導(dǎo)數(shù)，(m)的幾何意義為曲線y=/U)在點(diǎn)(xo,

加加)處的切線的斜率.

(3)曲線的切線方程

曲線y=*x)在點(diǎn)(沏，人沏))處的切線方程是y—/卬)="(XQ)(X—XQ).

*型］求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

【例1】(1)求函數(shù)4%)=一/+8在尤=-1附近的平均變化率，并求出在該

點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

(2)求函數(shù)y=3d在x=l處的導(dǎo)數(shù).

［思路點(diǎn)撥］求函數(shù)次處在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都應(yīng)先求平均變化率，再求/(xo).

［解］(1),?,△)=_/(-1+Ax)—X—1)=—(—1+Ax)24-(—1+△》)+2=3Ax—

3)2,

.Ay_3Ax-(A%)匚=3--,

?"Ax-bx

?"(T尸螞/=媽(3-Ax)=3.

⑵Y△)，=川+?)—/U)=3(1+醺)2—3=6Ax+30x)2,

，A；.=6+3A_X,?*,f'(l)=Jin^)人丫=(6+3Ax)=6.

廠.......規(guī)律c方法..........................

1.通過本例(1)進(jìn)一步感受平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，對于△)，與Ax

的比值，感受和認(rèn)識在以逐漸變小的過程中趨近于一個固定的常數(shù)上這一現(xiàn)象.

2.用定義求函數(shù)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)的增量△y=?xo+Ax)—/(劭)；

(2)求平均變化率非；

(3)求極限,得導(dǎo)數(shù)為/(x())=㈣,

簡記為：一差、二比、三趨近.

、類型27導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

【例2】(1)已知y=/(x)的圖像如圖所示，則/'(心)與，(沖)的大小關(guān)系是

()

B

~OXBXAX

A./'（&）＞/'（切）B.f（xA）＜f'fe）

C.f'UA）=/（&）D.不能確定

（2）若曲線次x）=/+ox+8在點(diǎn)（0,與處的切線方程是x—y+l=0,則（）

A.。=1,b=lB.b=1

C.ci—1,b=-1D.ci=-1b=-1

（1）B（2）A（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，/（馬），/（加）分別是切線在點(diǎn)A、B

處切線的斜率，由圖像可知/（見）＜/（沖）.

（2）由題意，知氏=/（0）

（0+AX）2+Q（0+AX）+〃一〃

=螞瓦=1，

；?4=1.

又（0,份在切線上，

.,.b=1,故選A.］

廠......規(guī)律c方法.......--

1.解答此類問題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2.與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識，如直線的方

程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識解題.

甘型3求曲線的切線方程

［探究問題］

1.如何求曲線式x）在點(diǎn)（沏，.*沏））處的切線方程？

［提示］y—y（）=k（x—xo）.即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)（x（）,

貝沏））處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線

方程.

2.曲線?x）在點(diǎn)（向，加0））處的切線與曲線過點(diǎn)Go,加）的切線有什么不同？

［提示］曲線/（X）在點(diǎn)（沏，兀咐）處的切線，點(diǎn)（沏，九%））一定是切點(diǎn)，只要求出

k=f（%（））,利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線火犬）過某點(diǎn)Q）,加）的切線，給

出的點(diǎn)（M）,%）不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn).

3.曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個交點(diǎn)？

［提示］不一定.曲線y=*x）在點(diǎn)P（x（）,yo）處的切線/與曲線>=穴》）的交點(diǎn)個

數(shù)不一定只有一個，如圖所示.

【例3】（教材P70例4改編）已知曲線C：/）=??.

（1）求曲線。在橫坐標(biāo)為x=l的點(diǎn)處的切線方程；

⑵求曲線C過點(diǎn)（1,1）的切線方程.

［思路點(diǎn)撥］（1）1求/（1）|一屎切點(diǎn)|一|點(diǎn)斜式方程求切線

---------------「-------由f（xo）~-----7

（2）|設(shè)切點(diǎn)（%0，%）|一怵7（%o）］—>%o-1—>

求（*0，兀）

寫切線方程

［解］（1）將x=l代入曲線。的方程得>=1,切點(diǎn)P（l,l）.

Ay（1+-）3—12

f（1）=!取二=!^^=lim［3+3Ar+（Axn=3.

???W（1）=3.

...曲線在點(diǎn)P（l,l）處的切線方程為y-l=3（x-l）,即3x-y-2=0.

（2）設(shè)切點(diǎn)為Q（xo,y0）,由（1）可知/'（的）=3焉，由題意可知々PQ=/'（劭），

即'_1=3焉,又/（尤0）=焉，所以_［=3焉,即2%o—尤o—1=0,解得x（）=l

刖-1Xo~1

*1

或xo=-2-

①當(dāng)x（）=l時，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1』），相應(yīng)的切線方程為3x—y—2=0.

②當(dāng)x（）=—3時，切點(diǎn)坐標(biāo)為（一3，—相應(yīng)的切線方程為>+［=芥+；）,

即3x—4y+l=o.

［母題探究］

1.(變結(jié)論)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)？

y=3x~2,

［解］由，

x=l,x=-2,

解得4或'

b=i,g-8,

從而求得公共點(diǎn)為尸(1,1)或M(—2,-8),

即切線與曲線C的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一公共點(diǎn)(一2,-8).

2.(變條件)求曲線段)=f+l過點(diǎn)尸(1,0)的切線方程.

22

52/(a+Ax)—/(a)(a+Ax)4-1—(a+1)

［斛］設(shè)切點(diǎn)為。(a,4+1),Ax=Ax=2a+Ax,

(a2+l)-0

當(dāng)Ax趨于。時，(2a+Ar)趨于2a,所以所求切線的斜率為2a因此,

a~1

2a,解得。=1/，所求的切線方程為y=(2+2&)x-(2+2&)或y=(2-2&)x

一(2-2啦).

廠......規(guī)律＜方法.............................

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法

(1)若已知點(diǎn)(須，死)在已知曲線上，求在點(diǎn)(即，死)處的切線方程，先求出函數(shù)

y=/(x)在點(diǎn)即處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y一兆=/(x0)(x

一沏).

(2)若點(diǎn)(須，地)不在曲線上，求過點(diǎn)(M)，刈)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，

然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.

C備素養(yǎng)KI

1.函數(shù)危)在》=沏處的瞬時變化率即為了'(⑹，且f(^o)=nm

./(xo+Ax)-7(xo)

2.求曲線在點(diǎn)(xo,光)處的切線方程可直接套用公式：y—yo=/(xo)(x-xo)求

解；求曲線過點(diǎn)(沏，死)的切線方程時應(yīng)注意分該點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩類分別求

解.

3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，/'(的)能反映曲線;(均在無=沏處的升降及變化

快慢情況，若/'(劭)>0,則曲線在該點(diǎn)處上升，若/(沏)<0,則曲線在該點(diǎn)處下

降.

6.1.3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的概念

一般地，如果函數(shù)y=/(x)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)x都亙昱，則稱7U)可導(dǎo).此

時，對定義域內(nèi)的每一個值x，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)，(x).于是，在穴外的定

義域內(nèi)，,a3是一個函數(shù)，稱其為函數(shù)y=/U)的導(dǎo)函數(shù).記作⑴(或y'，y'J，

即/(x)=y=y產(chǎn)揶)J.

2.導(dǎo)數(shù)公式表

①C，=0.

②(x)=axa-1.

③3)'=，lna.

④。叫力=i

(5)(sinx)'=cosx.

⑥(cosx)1=—sinx

甘型］利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴y=”；⑵尸!；⑶尸羽；(4)y=3*(5)y=k)gsx

［思路點(diǎn)撥］首先觀察函數(shù)解析式是否符合求導(dǎo)形式，若不符合可先將函數(shù)解

析式化為基本初等函數(shù)的求導(dǎo)形式.

［解］⑴曠=(”)，=12/.

/

⑵,=?)=(/y=-4x-5=-p.

(3)y，=(沼Y=(A|)Z=|L|.

(4)y'=(3)=3'In3.

⑸4=(i0g/)'=康.

1......??規(guī)律c方法...........一

I.若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解.

2.對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導(dǎo)”的基本原則,

避免不必要的運(yùn)算失誤.

3.要特別注意“J與In光"，2與logd"，“sinx與cosx”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.

建型2利用公式求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

［例2］質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是尸sint.

⑴求質(zhì)點(diǎn)在片全時的速度；

(2)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度.

［思路點(diǎn)撥］(1)先求s'⑺，再求s'停)

(2)加速度是速度。⑺對，的導(dǎo)數(shù)，故先求。⑺，再求導(dǎo).

［解］(1)0(。=./(0=COSt,.".L^=COS^=2.

jr1

即質(zhì)點(diǎn)在/=1時的速度為

(2)Vy(Z)=cost,

加速度a⑺=0'(Z)=(cost)'=—sint.

「........規(guī)律c方法.............................

1.速度是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù).

2.求函數(shù)在某定點(diǎn)(點(diǎn)在函數(shù)曲線上)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟是：(1)先求函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)；(2)把對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.

斗型3利用導(dǎo)數(shù)公式求切線方程

［探究問題］

1.如何求y=/(x)在點(diǎn)(沏，yo)處的切線方程？

［提示］先計(jì)算/(x),再求/'(xo),最后利用y—/(沏)=/'(xo)(x—的)求解便

可.

2.若已知函數(shù)y=/(x)的切線方程y=Air+〃，如何求切點(diǎn)坐標(biāo)(沏，死)?

/(沏)=左，

［提示］利用"。=於。)，求解.

〔》0=履()+①

【例3】已知曲線y=/(x)=,，y=g(x)=:，過兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切

?X

線，求兩切線與X軸所圍成的三角形的面積.

［思路點(diǎn)撥］先求交點(diǎn)f再分別求切線方程f計(jì)算三角形的面積.

W,rx=i

［解］由＜1得＜'即兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).

又‘㈤=4'g'陽=一5

:.f'(i)=1,g'(i)=-i.

兩切線方程分別為y—l=；(x—1),即),=%+/;

y—1=—(%—1),即y=-x+2.

其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(2,0),

故兩切線與x軸所圍成的三角形面積為

13

2XlX|2-(-l)|=2.

廠.....?規(guī)律C方法.....一

求曲線方程或切線方程時，應(yīng)注意的事項(xiàng)

(1)切點(diǎn)是曲線與切線的公共點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)既滿足曲線方程也滿足切線方程；

(2)曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率；

(3)必須明確已知點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果不是，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn).

匚整備素養(yǎng)4］

1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記

和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式，解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.

2.有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo).

如求y=l-2sir＞2微的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閥=1-2sin^=cosx,所以y'=(cosx)'=—

sinx.

3.對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一定要注意函數(shù)名稱的變化及函數(shù)符號的變

化.

6.1.4求導(dǎo)法則及其應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)和差的導(dǎo)數(shù)

[/(X)土g(x)]'=f'(X)土加(X).

(2)積的導(dǎo)數(shù)

①[Ax)g(x)]'=/'(x)g(x)+Ox)g'(x)；

②KXx)]'=Cf'(x).

(3)商的導(dǎo)數(shù)

矗「八幻~卜|,-f--(-x-)-j-g(2x)5-—-x-Y-g'---(-x)，g(i

拓展：①[/i(X)場(X)土…%(x)r=fi(x)Vz2(x)+--±f?(x).

②⑷(x)+bg(x)Y=af(x)+bg'(x)(a,b為常數(shù)).

2.復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則

(1)復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，已知函數(shù)y=/(〃)與〃=g(x),給定x的任意一個值，就能確定u的值.如

果此時還能確定)，的值，則y可以看成x的函數(shù)，此時稱1Ag(切有意義，且稱y=

力。)=Ag(x))為函數(shù)與四1的復(fù)合函數(shù)，其中生稱為中間變量?

(2)一般地，如果函數(shù)與"=g(x)的復(fù)合函數(shù)為y=//(x)=*g(x)),則可以

證明，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〃'㈤與/'⑷，g'㈤之間的關(guān)系為/(x)=[Ag(x))]'=

f'(〃)/(x)=fG?(X))R'(x).

，

這一結(jié)論也可以表示為＞'r=vUu'x.

叢型]導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用

[150I]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=x2+x2；

(2)y=3V-2x+e；

…Inx

⑶尸PTT

(4)y=x—sin呼os,

［解］(Dy，=2x~2x~3.

(2)y'=(ln3+l)-(3e)'-2Aln2.

,x2+1—2x2lnx

⑶>=%(x2+i)2-

(4)*/y=x2-sin^cos^=x2—^sinx,

'.y'=2x—^cosx.

「......規(guī)?<75法......................

1.解答此類問題時要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.

2.對一個函數(shù)求導(dǎo)時，要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,

當(dāng)不易直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時，應(yīng)先對函數(shù)進(jìn)行化簡(恒等變形)，然后求導(dǎo).這樣可

以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.

必型2____________復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴產(chǎn)e*

⑵產(chǎn)(2XT)3；

(3)y=51og2(l—x);

(4)y=sin3x+sin3x.

［思路點(diǎn)撥］先分析函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的，找出中間變量，分層求導(dǎo).

［解］⑴函數(shù)y=eZ/i可看作函數(shù)y=e"和M=2X+1的復(fù)合函數(shù)，

x=>'x=(e")'(2x+l)'=2ew=2e2x+l.

(2)函數(shù))1=0可看作函數(shù)曠=Q3和u=2x—\的復(fù)合函數(shù)，

二<*=>'"?〃'x=(，3)'(2x-l)'=-6M-4

=-6(2X-1)-4=-^^4.

(3)函數(shù)y=51og2(l—x)可看作函數(shù)y=51og2〃和"=1—x的復(fù)合函數(shù),

,/i—55

???V.產(chǎn)<X=(51og2〃)'(一?=而?=(1加2,

(4)函數(shù)y=sin3x可看作函數(shù)y=4?和〃=sinx的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)y=sin3x可看

作函數(shù)y=sinv和v=3x的復(fù)合函數(shù).

.?.y'、=(〃3y.(sinx)，+(sin/<3龍)'

=3H2-COSX+3COSv

=3sin\cosx+3cos3x.

廠.......規(guī)^^<75法.......................

1.解答此類問題常犯的兩個錯誤

(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；

(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.

2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟

選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系，即

說明畝數(shù)關(guān)系尸扒磯但目㈤

分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量

對哪個變量求導(dǎo))，要特別注意中間變量

對自變量求導(dǎo)，即先求匕,再求心

計(jì)算八?心，并把中間變量轉(zhuǎn)化為自變

量的函數(shù)

「堂型"導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用

［探究問題］

若點(diǎn)P是曲線y=e、上的任意一點(diǎn)，如何求點(diǎn)尸到直線/:y=x的最小距離？

［提示］如圖，當(dāng)曲線y=e"在點(diǎn)P(x(),光)處的切線與直線y=x平行時，點(diǎn)P

到直線/的距離最小.

設(shè)P(xo,兆)，則y'|x=x()=exo,

由ex()=l可知M)=0,此時y()=e°=l.

即P(0,l),利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離4=個.

【例3】⑴設(shè)曲線>=產(chǎn)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+b=0垂直，則a

(2)曲線y=ln(2x—1)上的點(diǎn)到直線2x~y+3=Q的最短距離為.

［思路點(diǎn)撥］(1)|求y'l,=o|f|由>'IE>=2拓

⑵設(shè)切點(diǎn)P(xo,州)I由3'僅=祀=2求/(的，)幻)

-I利用點(diǎn)到直線的距離求解

(1)2(2h/5[(1)因?yàn)閥=e奴，所以<=茂匕

由題意可知y'|.「0=々=2可知a=2.

(2)設(shè)曲線y=ln(2九一1)在點(diǎn)(沏，泗)處的切線與直線2x—y+3=0平行，

,22

又因?yàn)閥',所以y'|x=x()=7~二7=2,解得Xo=l.

ZJC—1ZJCQ-1

.,.jo=ln(2-l)=O,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

.?.點(diǎn)(1,0)到直線2x—y+3=0的距離J=^-r=^=V5,

弋4+1

即曲線y=ln(2x—1)到直線2x—y+3=0的最短距離是由.]

廠.......規(guī)法.......................

正確的求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的前提，審題時，注意所給點(diǎn)是否是切點(diǎn)，

挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題，尋求切點(diǎn)是解

決問題的關(guān)鍵.

F必1備素養(yǎng)G

1.如果求導(dǎo)公式比較復(fù)雜，則需要對式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積

式展開為和式求導(dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角恒等變換后求導(dǎo)等.

2.求簡單復(fù)合函數(shù),外利+與的導(dǎo)數(shù)，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想，先把復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)

化為常見函數(shù)“=依+^的形式，然后再分別對與〃=奴+匕進(jìn)行求

導(dǎo)，并把求導(dǎo)結(jié)果相乘，靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為y=A〃)，"=以+人的形式

是求解的關(guān)鍵.

6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

(1)如果在區(qū)間(。，加內(nèi)，/'(x)>0,則曲線y=/U)在區(qū)間3，份對應(yīng)的那一段

上每一點(diǎn)處切線的斜率都大上Q,曲線呈上升狀態(tài),因此.外幻在他，份上是增函數(shù),

如圖⑴所示；

（2）如果在區(qū)間3,份內(nèi)，/（x）＜0,則曲線y=/u）在區(qū)間（。，份對應(yīng)的那一段

上每一點(diǎn)處切線的斜率都小于0,曲線呈工隆狀態(tài)，因此./W在（a,〃）上是減函數(shù),

如圖⑵所示.

建型]函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像間的關(guān)系

【例1】（1）函數(shù)y=4x）的圖像如圖所示，給出以下說法:

①函數(shù)y=?x）的定義域是

[-1,5]；

②函數(shù)y=?x）的值域是

（-8,0]U[2,4];

③函數(shù)y=/3）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

④函數(shù)y=*x）在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)/'（x）＞0.

其中正確的是（）

A.①②B.①③

C.②③D.②④

（2）設(shè)函數(shù)式￥）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/（x）的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）

的圖像可能為（）

(1)A(2)D[⑴由圖像可知，函數(shù)的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?一8,0]“2,4],

故①②正確，選A.

(2)由函數(shù)的圖像可知：當(dāng)x<0時，函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)始終為正；當(dāng)x〉0時,

函數(shù)先增后減再增，即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正，對照選項(xiàng)，應(yīng)選D.]

廠........規(guī)律(方法..........................、

研究一個函數(shù)的圖像與其導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要

素，對于原函數(shù)，要注意其圖像在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，

并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

角度一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1次0=3f—21nx；

(3加%)=尤+1.

[解](1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+°°).

2

(x)=6x--,

令(X)=O,得汨=坐，X2=—W(舍去),

用兩分割定義域，得下表：

(0,用停+8)

X正

3

fW—0+

fix)\7

，函數(shù)./U)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,W),單調(diào)遞增區(qū)間為惇，+8

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?-8,4-00).

??/(?=")/e-+Ae-),

=2xe~x—x2e~x=e~A(2x—x2),

令/'(x)=0,由于釘’>0,/.xi=0,X2=2,用光i,%2分割定義域，得下表:

X(一8,0)0(0,2)2(2,+8)

fM—0+0一

fix)/

.?JU)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).

(3)函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)0(0,+8).

(x)=l—令/'(X)=O,得X1=—1,X2=l,用XI,X2分割定義域，得

下表:

X(―00,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+°°)

f(X)+0—一0+

於)//

二函數(shù)危)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)和(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—1)和(1,

+°0).

角度二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例3】討論函數(shù)以2+%—(a+l)lnx(a20)的單調(diào)性.

分ci>0,ci—0

［思路點(diǎn)撥］求函數(shù)的定義域一求/(X)

解不等式/(外>0或T。)<0-表述”)的單調(diào)性

［解］函數(shù)?x)的定義域?yàn)?0,+°°),

a+1+x-(a+1)

f(x)=ar+1xx

x—1

(1)當(dāng)。=。時，f(x)=-

由/(x)>0,得x>l,

由/'(x)VO,得OVxVL

在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù).

(2)當(dāng)。>0時，f(x)=~-----f-----,

。+1

\"a>0,：.

由，(x)>0,得x>l,由/'(九)<0,得OVxVl.

....穴幻在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù).

綜上所述，當(dāng)時，兀0在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù).

廠......規(guī)律C方法......................

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)次刈的定義域.

(2)求導(dǎo)數(shù)/(X).

(3)由/'(x)>0(或/(x)<0),解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)/(x)〉0時，犬幻在相應(yīng)的

區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)/(x)<0時，犬x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù).

(4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間.

瓜類型3,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

［探究問題］

1.在區(qū)間3,份內(nèi)，若/'(x)>0,則.*X)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立

嗎？

［提示］不一定成立.比如y=j?在R上為增函數(shù)，但其在x=0處的導(dǎo)■數(shù)等

于零.也就是說/(x)>0是y=/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.

2.若函數(shù)7(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a,與上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則/(%)

滿足什么條件？

［提示］/'(x)20(或/(x)WO).

【例4】已知函數(shù)/0)=儲一以一1在(一8,十8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

［思路點(diǎn)撥］依幻單調(diào)遞增IT/(x)20恒成立］一|分離參數(shù)求a的范圍

［解］由已知得/'(x)=3f—a,

因?yàn)?U)在(一8,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，

所以/'(x)=3W—在(一8,十8)上恒成立，

即對光GR恒成立，

因?yàn)?/20,所以只需aWO.

又因?yàn)閍=0時，f(X)=3X2^0,

所以，火》)=》3—1在R上是增函數(shù).綜上，&W0.

［母題探究］

1.(變條件)若函數(shù)/U)=x3—依-1的單調(diào)減區(qū)間為(一口)，求。的值.

［解］f(x)=3xi—a,

①當(dāng)aWO時，f(x)^0,

.?優(yōu)幻在(-8,+8)上為增函數(shù).不符題意.

②當(dāng)a>0時，令37—a=0,得％=土:'做，

當(dāng)—?<xV華時，/,(x)V0.

.?../U)在(一華，亨)上為減函數(shù)，

.../)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一平，琴)，

1,即a=3.

2.(變條件)若函數(shù)?r)=d-ax—l在(一11)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

［解］由題意可知/'(x)=3/-aW0在(一1,1)上恒成立，

f(-1)<0(3一后0

：.\,,，即1,二心3.

\f'(1)^0［3-a^O

即a的取值范圍是［3,+°°).

3.(變條件)若函數(shù)?x)=x3—融一1在(一1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.

［解］'."J(x)=xi—ax—1,

:.f(x)=3九2—a,

由/'(x)=0,得x=q^(a20),

?.?加)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),

...0V華VI,即0VaV3.

故a的取值范圍為（0,3）.

1........規(guī)律（方法.............................

1.可導(dǎo)函數(shù)y（x）在（a,切上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的充要條件是/（x）20（或

/'a）WO）在（a,勿上恒成立，且f（X）在（a,/的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

2.已知凡r）在區(qū)間（a,切上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法

（1）利用集合的包含關(guān)系處理_Ax）在（。，沙）上單調(diào)遞增（減）的問題時，區(qū)間（a，

切應(yīng)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；

（2）利用不等式的恒成立處理人x）在他，份上單調(diào)遞增（減）的問題時，可轉(zhuǎn)化為

f（x）^O（f（x）W0）在（a,與內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號是否成立.

r~ir喊備素養(yǎng)bl

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法如下：

（1）定義法.在定義域內(nèi)任取即，X2,且X1＜X2，通過判斷/（X1）—A%2）的符號來

確定函數(shù)的單調(diào)性.

（2）圖像法.利用函數(shù)圖像的變化趨勢進(jìn)行直觀判斷：

圖像在某個區(qū)間呈上升趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；圖像在某個區(qū)

間呈下降趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

（3）導(dǎo)數(shù)法.利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)7U）在區(qū)間（a,份內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①

求/（X）；②確定,（X）在（a,份內(nèi)的符號；③確定單調(diào)性.

函數(shù)y=/U）的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是解不等式（x）＞0和/（x）＜0所得

的x的取值集合.反過來，如果已知;U）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，求?x）中參數(shù)的值,

這類問題往往轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即/（x）20在。上恒成立且僅在有限

個點(diǎn)上等號成立，求人x）中參數(shù)的值.同樣也可以解決已知?r）在區(qū)間。上單調(diào)遞

減，求_/U）中參數(shù)的值的問題.

6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第1課時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值

1.函數(shù)的極值

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)樵O(shè)刈七。，如果對于xo附近的任意不

同于的的無，都有

(1加力勺5))，則稱故為函數(shù)的一個極大值點(diǎn)，且7U)在的處取極大值；

(2)/(力次劭)，則稱也為函數(shù)/U)的一個極小值點(diǎn)，且/U)在的處取極小值.

極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為極值點(diǎn),極大值與極小值都稱為極值.顯然，極

大值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最大，極小值點(diǎn)在其附近函數(shù)值最小.

2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值

一般地，設(shè)函數(shù)火x)在即處可導(dǎo)，且/'(xo)=o.

(1)如果對于即左側(cè)附近的任意龍，都有f(九)>0,對于的右側(cè)附近的任意X，

都有f'(x)<0,那么此時即是式x)的極大值點(diǎn).

(2)如果對于M左側(cè)附近的任意x，都有f'(x)<0,對于xo右側(cè)附近的任意x,

都有尸(幻>0,那么此時即是人犬)的極小值點(diǎn).

(3)如果/'(x)在項(xiàng)的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(或均為負(fù)號),則沏一定不

是y=/(x)的極值點(diǎn)?

厚型］求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)

【例1】求下列函數(shù)的極值.

(l)/(x)=2?+3$—12x+1；

(2"(x)=d—21nx.

［解］(1)函數(shù)負(fù)幻=29+3/—1級+1的定義域?yàn)镽,

f'(x)=6?+6x-12=6(x+2)(x-1),

令(x)=0,得Xi=-2,%2=1-

當(dāng)X變化時，/'(X)與/U)的變化情況如下表：

X(-8,-2)-2(-2,1)1(1,+°°)

f'W+0—0+

於)/極大值21極小值一/

6

所以當(dāng)x=-2時，.*x)取極大值21;

當(dāng)x=l時，7(x)取極小值一6.

(2)函數(shù)＜x)=f-21nx的定義域?yàn)?0,4-0°),

令/'(x)=0,

得xi=l,》2=—1(舍去).

當(dāng)x變化時，/'(x)與/U)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+°°)

—

fW0+

於)極小值1/

因此當(dāng)X=1時，.*X)有極小值1,無極大值.

廠......規(guī)律(方法........--

求可導(dǎo)函數(shù)./(X)的極值的步驟

(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)(X).

(2)求方程/(x)=0的根.

(3)利用/'(x)與凡r)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情

況求極值.

寸型2利用函數(shù)的極值求參數(shù)

【例2】(一題兩空)(1)已知函數(shù)在％=—1處有極值0,

則tz=，b=.

(2)若函數(shù)兒0=$3—d+or—1有極值點(diǎn)，則a的取值范圍為.

(1)29(2)(-°O,1)[⑴：/'(x)=3f+6依+乩且函數(shù).*x)在x=-l處有

極值0,

Jf(-1)=0,

1)=0，

'3~6a+b=0,

即＜

、一1+3。一匕+。2=0,

u=1,a=2,

解得或

［b=3,(b=9.

當(dāng)a=l,8=3時，/'(x)=3d+6x+3=3(x+1)2?0,此時函數(shù)/(x)在R上為

增函數(shù)，無極值，故舍去.

當(dāng)。=2,匕=9時，f(x)=3d+12x+9=3(x+l)(x+3).

當(dāng)xW(—8,-3)時，/'(x)>0,此時式x)為增函數(shù)；

當(dāng)》6(—3,—1)時，/(x)<0,此時兀0為減函數(shù)；

當(dāng)x￡(—l,+8)時，/。)>0,此時於)為增函數(shù).