安徽省黃山市屯溪三中2024年高二數學第一學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數，滿足，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.82．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.3．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.4．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm5．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.106．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題7．下列命題正確的是（）A經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面8．已知直線和平面，且在上，不在上，則下列判斷錯誤的是（）A.若，則存在無數條直線，使得B.若，則存在無數條直線，使得C.若存在無數條直線，使得，則D.若存在無數條直線，使得，則9．已知數列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6410．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.11．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為（）A.外離 B.外切C.相交 D.內切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩條平行直線與的距離是__________14．中國古代《易經》一書中記載，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結，滿三進一，用來記錄每年進的錢數.由圖可得，這位古人一年的收入的錢數為___________.15．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點且傾斜角為直線l與該雙曲線交于M，N兩點（點M位于第一象限），的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，則為___________.16．在學習《曲線與方程》的課堂上，老師給出兩個曲線方程；，老師問同學們：你想到了什么？能得到哪些結論？下面是四位同學的回答：甲：曲線關于對稱；乙：曲線關于原點對稱；丙：曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；丁：曲線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積；四位同學回答正確的有______（選填“甲、乙、丙、丁”）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創新、協調、綠色、開放、共享的發展理念，著力促進經濟實現高質量發展，決心走綠色、低碳、可持續發展之路．新能源汽車環保、節能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產業發展的方向工業部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業，并計劃投資30億元來發展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據專家預測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現盈利？（實現盈利即銷售利潤超過總投資，參考數據：，，）19．（12分）已知雙曲線的左焦點為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點，，當直線經過的右焦點且垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點，使得直線過點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求的通項公式；.（2）求數列的前n項和.21．（12分）已知函數其中.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，函數有兩個零點，，滿足，證明.22．（10分）已知拋物線C：，直線l經過點，且與拋物線C交于M，N兩點，其中.（1）若，且，求點M的坐標；（2）是否存在正數m，使得以MN為直徑的圓經過坐標原點O，若存在，請求出正數m，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】作出不等式組的可行域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合的思想求解即可.【題目詳解】畫出約束條件的平面區域，如下圖所示：目標函數可以化為，函數可以看成由函數平移得到，當直線經過點時，直線的截距最小，則，故選：2、D【解題分析】根據空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【題目詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.3、D【解題分析】取AC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【題目詳解】由題意知，，取AC的中點O，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以在上的投影的長度為，故點C到直線距離為：.故選：D4、A【解題分析】根據圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【題目詳解】由題意可得，，解得．故選：A5、C【解題分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【題目詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【題目點撥】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項6、C【解題分析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯結詞“或”與“且”判斷命題的真假.【題目詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C7、D【解題分析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【題目詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D8、D【解題分析】根據直線和直線，直線和平面的位置關系依次判斷每一個選項得到答案.【題目詳解】若，則平行于過的平面與的交線，當時，，則存在無數條直線，使得，A正確；若，垂直于平面中的所有直線，則存在無數條直線，使得，B正確；若存在無數條直線，使得，，，則，C正確；當時，存在無數條直線，使得，D錯誤.故選：D.9、A【解題分析】根據題中條件，得出數列公差，進而可求出結果.【題目詳解】由得，所以數列是以為公差的等差數列，又，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查等差數列的基本量運算，屬于基礎題型.10、A【解題分析】根據直線斜率與傾斜角的關系，結合直線斜截式方程進行求解即可.【題目詳解】因為直線的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因為該直線在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A11、A【解題分析】根據充分、必要條件間的推出關系，判斷“x>1”與“x>0”的關系.【題目詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.12、C【解題分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據圓心距與半徑和與差的關系，判斷圓與圓的位置關系【題目詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，圓心，半徑，兩圓的圓心距，顯然，即，所以圓與圓相交.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】根據兩平行直線，可求得a值，根據兩平行線間距離公式，即可得答案.【題目詳解】因為兩平行直線與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：514、25【解題分析】將原問題轉化為三進制計算，即可求解【題目詳解】解：由題意可得，從左到右的數字依次為221，即古人一年的收入的錢數為故答案為：15、##【解題分析】設，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關系，即求.【題目詳解】設的內切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設，，，設的內切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由此可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以，∴，即∴，即故答案為：.【題目點撥】關鍵點點睛，得到是關鍵，說明軸，同時直線的傾斜角與大小相等，計算即得.16、甲、乙、丙、丁【解題分析】結合對稱性判斷甲、乙的正確性；通過對比和與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積來判斷丙丁的正確性.【題目詳解】對于甲：交換方程中和的位置得，所以曲線關于對稱，甲回答正確.對于乙：和兩個點都滿足方程，所以曲線關于原點對稱，乙回答正確.對于丙：直線與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，，，在第一象限，直線與曲線都滿足，，，所以在第一象限，直線的圖象在曲線的圖象上方，所以，丙回答正確.對于丁：圓與坐標軸在第一象限圍成的圖形面積為，在第一象限，曲線與曲線都滿足，，，，所以在第一象限，曲線的圖象在曲線的圖象下方，所以，丁回答正確.故答案為：甲、乙、丙、丁三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質易得、，再根據線面垂直的判定及性質證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現盈利【解題分析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構成首項為10，公差為10的等差數列，所以，設第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構成首項為3000，公比為0.9的等比數列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因為，則到2027年年底，該集團能通過該品牌汽車實現盈利19、（1）；（2）存在，理由見解析.【解題分析】（1）根據題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設存在點滿足題意，設出直線的方程，聯立雙曲線方程，利用韋達定理以及，即可求解.【小問1詳解】雙曲線的左焦點，其中一條漸近線，則；對雙曲線，令，解得，則，解得，故雙曲線方程為：.小問2詳解】根據（1）中所求可知，假設存在軸上的點滿足題意，若直線的斜率不為零，則設其方程為，聯立雙曲線方程，可得，則，即，此時直線與雙曲線交于兩點，則，則，即，即，則，此時滿足題意；若直線的斜率為零，且過點，此時，滿足題意.綜上所述，存在軸上的一點滿足.【題目點撥】本題考察雙曲線方程的求解，以及雙曲線中存在某點滿足條件的問題；解決問題的關鍵是合理轉化，利用韋達定理進行求解，屬綜合中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據給定條件結合當時，探求數列的性質即可計算作答.(2)由(1)求出，再利用錯位相減法計算作答.小問1詳解】依題意，當時，因為，則，當時，，解得，于是得數列是以1為首項，為公比的等比數列，則，所以的通項公式是.【小問2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數列的前n項和.21、（1）單調遞增區間,無遞減區間；（2）證明見解析【解題分析】（1）求出函數的導數，從而判斷其正負，確定函數的單調區間；（2）根據題意可得到，進而變形為，然后換元令，將證明的問題轉換為成立的問題，從而構造新函數，求新函數的導數，判斷其單調性，求其最值，進而證明不等式成立.【小問1詳解】時，，,令，當時，，當時，，故，則，故是單調遞增函數，即的單調遞增區間為,無遞減區間；【小問2詳解】當時，函數有兩個零點，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設，令，則，當時，，即在時為增函數，故，即，所以在時為增函數，即，即，故，即.【題目點撥】本題考查了利用導數求函數的單調區間以及涉及到零點的不等式的證明問題，解答時要注意導數的應用，主要是根據導數的正負判斷函數的單調性，進而求函數極值或最值，解