考點規范練13函數模型及其應用基礎鞏固1.在我國大西北,某地區荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預測經過x年可能增長到原來的y倍,則函數y=f(x)的圖象大致為()答案:D解析:由題意可得y=(1+10.4%)x,函數是底數大于1的指數函數,故選D.2.(2020四川成都段考)“一尺之錘,日取其半,萬世不竭”語出《莊子·天下》,意思是一尺長的棍棒,每日截取它的一半,永遠截不完(一尺約等于33.33厘米).問:當剩余的棍棒長度小于1厘米時需要截取的最少次數為()(尺非國際通用單位)A.6 B.7 C.8 D.9答案:A解析:由題意可知,截取一次剩余的棍棒長度為12則截取n次剩余的棍棒長度為12由12n×33.33<1,得n3.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為()A.800米 B.900米 C.1000米 D.1200米答案:A解析:設這個廣場的長為x米,則寬為40000x米.故其周長為l=2x+40000x4.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]答案:C解析:設矩形的另一邊長為ym,則由三角形相似知,x40=40-y40∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.5.某單位為鼓勵職工節約用水,作出如下規定:每位職工每月用水不超過10立方米,按每立方米3元收費;用水超過10立方米,超過的部分按每立方米5元收費.某職工某月的水費為55元,則該職工這個月實際用水為()A.13立方米 B.14立方米C.15立方米 D.16立方米答案:C解析:設該職工這個月的實際用水為x立方米,水費為y元,由題意,得y=3即y=3易知該職工這個月的實際用水量超過10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.故該職工這個月實際用水為15立方米.6.某房地產公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3000元時,這70套公寓能全租出去;當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數倍),就會多一套房子租不出去.設租出的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設租不出去的房子不需要花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應定為()A.3000元 B.3300元C.3500元 D.4000元答案:B解析:由題意,設利潤為y元,租金定為(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤5058+x+70當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B.7.某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內,他的這只股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%),又經歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利 B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況答案:B解析:設該股民購這只股票的價格為a元,則經歷n次漲停后的價格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.8.根據有關資料,圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080,則下列各數中與MN最接近的是((參考數據:lg3≈0.48)A.1033 B.1053C.1073 D.1093答案:D解析:設MN=x=33611080,兩邊取對數,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈10939.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示.假設某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計).如果他在t4時刻賣出所有商品,那么他將獲得的最大利潤是()A.40萬元 B.60萬元 C.120萬元 D.140萬元答案:C解析:甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人全部買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.10.設某公司原有100名員工從事產品A的生產,平均每人每年創造產值t萬元(t為正常數).公司決定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進行新開發的產品B的生產.分流后,繼續從事產品A生產的員工平均每人每年創造產值在原有的基礎上增長了1.2x%.若要保證產品A的年產值不減少,則最多能分流的人數是.

答案:16解析:由題意,分流前每年創造的產品A的產值為100t(萬元),分流x人后,每年創造的產品A的產值為(100-x)(1+1.2x%)t,則0<x<100,x因為x∈N*,所以x的最大值為16.能力提升11.“好酒也怕巷子深”,許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=aA(a為常數),廣告效應為D=R-A.那么廠商為了取得最大廣告效應,投入的廣告費應為.(用常數a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),則A=t2,∴D=aA-A=at-t2=-t-12∴當t=12a,即A=14a2時,D12.某食品的保鮮時間y(單位:h)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0℃的保鮮時間是192h,在22℃的保鮮時間是48h,則該食品在33℃的保鮮時間是()A.16h B.20h C.24h D.28h答案:C解析:由題意,得(0,192)和(22,48)是函數y=ekx+b圖象上的兩個點,所以192=由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=48192即(e11k)2=14,所以e11k=1所以當儲藏溫度為33℃時,保鮮時間y=e33k+b=(e11k)3·eb=1813.為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷,某超市對顧客實行購物優惠活動,規定一次購物付款總額:①若不超過200元,則不予優惠;②若超過200元,但不超過500元,則按標價給予9折優惠;③若超過500元,則其中500元按第②條給予優惠,超過500元的部分給予7折優惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設他們一次性購買上述同樣的商品,則應付款額為.

答案:546.6元解析:依題意,價值為x元的商品和實際付款額f(x)之間的函數關系式為f(x)=x當f(x)=168時,由168÷0.9≈187<200,故此時x=168;當f(x)=423時,由423÷0.9=470∈(200,500],故此時x=470.故兩次共購得價值為470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應付款額為546.6元.14.(2020廣東越秀區期末)碳14是碳的一種具有放射性的同位素,它常用于確定生物體的死亡年數,即放射性碳定年法.在活的生物體內碳14的含量與自然界中碳14的含量一樣且保持穩定,一旦生物死亡,碳14攝入停止,生物體內的碳14會按指數函數的規律衰減,大約經過5730年衰減為原來的一半,通過測定生物遺體內碳14的含量就可以測定該生物的死亡年數.設生物體內的碳14的含量為P,死亡年數為t.(1)試將P表示為t的函數;(2)不久前,科學家發現一塊生物化石上的碳14的含量為自然界中碳14的含量的8%,請推算該生物死亡距今多少年?(參考數據:lg2≈0.3)解：(1)已知生物體內碳14的含量與死亡年數成指數函數關系,設P=at,由經過5730年衰減為原來的一半,可得12=a5730所以a=12故生物體內碳14的含量P與死亡年數t的函數關系式為P=12(2)由已知12所以t5730=log128100高考預測15.(2020四川綿陽期末)某數學小組進行社會實踐調查,了解到如下信息:某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進價是5元,銷售單價與日均銷售量的關系如下表:銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240根據以上信息,你認為該桶裝