第一章

三角形的證明1等腰三角形（第3課時）學習目標1.

學會證明等角對等邊,并進行等腰三角形的判定.2.體會反證法，并會用反證法進行證明.3.規范證明的書寫過程.請同學們回答下面的問題：等腰三角形的性質是什么？①有兩個相等的角.②有兩條相等的邊.③底邊上的中線、高和頂角的平分線重合.復習舊知等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.請一位同學說出已知、求證.已知:在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC.ABC講授新課ABCD證法一：作∠BAC的平分線AD.在△BAD和△CAD中，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C,AD=AD(公共邊），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.ABCD證法二：作AD⊥BC，垂足為D.在△BAD和△CAD中，∠ADB=∠ADC，∠B=∠C,AD=AD(公共邊），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等）.請同學們想一想：作等腰三角形底邊上的中線可以證明嗎？為什么？ABCD從以上講解我們可以得到什么結論？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求證：AB=AC=BC.這是由判定定理推導出的一個定理，即判定一個三角形是等邊三角形的一種方法.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.ABC60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）.求證：AB=AC=BC.推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.這是由判定定理推導出的又一個定理，即判定一個三角形是等邊三角形的另外一種方法.小明說,在一個三角形中，如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.即CAB在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.

你認為這個結論成立嗎?

如果成立,你能證明它嗎?小明是這樣想的:

如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時,AB與AC要么相等,要么不相等.

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角”定理可得∠B=∠C,但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此，AB≠AC.論證的新方法----反證法

小明在證明時，先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、基本事實、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立.這種證明方法稱為反證法(reductiontoabsurdity).

假設AB=AC,那么根據“等邊對等角”定理可得∠B=∠C.但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾,因此,AB≠AC.反證法是一種重要的數學證明方法.在解決某些問題時常常會有出人意料的作用.CAB求證:一個三角形中不能有兩個角是直角.(用反證法來證)證明：假設△ABC中有兩個直角，不妨設∠A=∠B=90°，那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，

這與三角形的內角和定理相矛盾.∴假設不成立.

∴△ABC中不能有兩個直角.已知：△ABC.求證：∠A，

∠B，∠C中不能有兩個角是直角.求證:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數,且a1+a2+a3+a4+a5=1,

那么,這五個數中至少有一個大于或等于1/5.假設這五個數中沒有一個大于或等于1/5,即都得小于1/5,那么這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.這與已知這五個數的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,這五個數中至少有一個大于或等于1/5.(用反證法來證)證明:例1如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,計算∠1和∠2的度數，并說明圖中有哪些等腰三角形.ABCD36°36°2172°解：∵∠A=36°，∠DBC=36°，

∠C=72°，∴∠2=180°－∠A－∠DBC

－∠C

＝36°(三角形內角和定理）.∴∠A＝∠2.∴AD=BD(等角對等邊）.∵∠1=∠A＋∠2=72°=∠C，∴BD=BC(等角對等邊）.∴圖中的等腰三角形有△ADB，△ABC，△BDC三個.例2

如圖，CD是等腰直角三角形ABC斜邊上的高，找出圖中有哪些等腰直角三角形.CADB答：圖中的等腰直角三角形有：等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和等腰Rt△CDB.ABC等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.等腰三角形的兩個底角相等.簡稱:等邊對等角.頂角ABC底邊腰腰底角底角【定義】【性質定理】【性質定理的推論】有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形;D高(簡稱:“三線合一”)【判定定理】有兩個角相等的三角形是等腰三角形.簡稱:等角對等邊.

等腰三角形：底角的兩條平分線相等；兩條腰上的中線相等；兩條腰上的高線相等.ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ等邊三角形（特殊的等腰三角形）等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于60°.【定義】【性質定理】