A10聯(lián)盟2021級(jí)高二下學(xué)期4月期中考數(shù)學(xué)（人教A版）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答.一?選擇題，本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的公比等于（）A. B.2 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，利用計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得（負(fù)值舍去）.故選：B.2設(shè)，則（）A. B. C.5 D.20【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法求解即可.【詳解】，即.故選：A.3.已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合充分、必要條件定義及極值點(diǎn)的概念即可可判斷.【詳解】只有當(dāng)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，在上才有兩個(gè)極值點(diǎn)，故充分性不成立；若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件，故選：D.4.傳說(shuō)古代希臘的畢達(dá)哥拉斯在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題：把叫做三角形數(shù)；把叫做正方形數(shù)，則下列各數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別寫(xiě)出三角形數(shù)和正方形數(shù)的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】三角形數(shù)：，可得其通項(xiàng)公式為；正方形數(shù)：，可得其通項(xiàng)公式為，均無(wú)正整數(shù)解，且，所以，，是正方形數(shù)不是三角形數(shù)，又，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù).故選：A.5.某廠安排名工人到三個(gè)崗位值班，每名工人只去一個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少安排名工人，則安排工人甲?乙到同一個(gè)崗位值班的方法數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將人分為個(gè)小組，再將個(gè)小組安排到三個(gè)崗位即可.【詳解】依題意，可分兩步安排：第一步，將人分為個(gè)小組，按小組人數(shù)可分為人、人、人和人、人、人兩類(lèi)，人、人、人分組，甲、乙同組，另外人中，選出人同組，有種方法，人、人、人分組，除甲、乙的另外人中，選出人與甲、乙同組，剩余人各自一組，有種方法，∴第一步共有種方法；第二步，將組分別安排到三個(gè)崗位，有種方法，∴滿(mǎn)足題意的安排方法數(shù)有種.故選：B.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.-1012 B.1012 C.-2024 D.2024【答案】C【解析】【分析】寫(xiě)出前4項(xiàng)找出的規(guī)律，再分組求和即可.【詳解】，則，，，依次類(lèi)推，，.故選：C.7.已知，則被10除所得的余數(shù)為（）A.9 B.3 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式求解即可.【詳解】，，又，都是10的倍數(shù)，被10除所得的余數(shù)為1.故選：C8.在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】令，則根據(jù)求導(dǎo)可得，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，則，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，.故選：D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若曲線的一條切線垂直于直線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)曲線的一條切線垂直于直線，求出切點(diǎn)處切線的斜率，推出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可確定切點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由題意，在直線中，設(shè)切點(diǎn)為，中，，一條切線垂直于直線∴，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：BC.10.下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，由可判斷；對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式可判斷；對(duì)于CD，根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，由得，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD11.已知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.C.數(shù)列不是等差數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，則，即，因此，而，解得，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，A，B都正確；，，，于是，數(shù)列是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，再討論時(shí)可得有1個(gè)根，進(jìn)而當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可.【詳解】令，解得，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，令，解得，故當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令，即，顯然不是該方程的根，.令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有極小值6，而時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：CD第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】135【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案.【詳解】在展開(kāi)式中，第項(xiàng)為，，令，得含有的項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：135.14.某鄉(xiāng)村道路上有12盞照明路燈，為了節(jié)約用電，需要關(guān)閉其中兩兩不相鄰的4盞，但考慮行人夜間出行安全，兩端的路燈不能關(guān)閉，則關(guān)燈方案的種數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字作答）【答案】35【解析】【分析】利用插空法求解即可.【詳解】由題意得，讓4盞需要關(guān)閉的燈插空到8盞亮燈的7個(gè)空中，有種關(guān)燈方案.故答案為：3515.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)公式可得的取值范圍.【詳解】由題意得，，即，解得.又，的取值范圍是.故答案為：16.如圖，某款酒杯的上半部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為的正三角形．若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，當(dāng)放置的圓柱形冰塊的體積最大時(shí)，其高度為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意作出平面圖，由圓錐的軸截面的面積求出圓錐底面半徑，易知冰塊體積最大時(shí)上底與杯口齊平，設(shè)圓柱形冰塊的底面圓半徑為，其中，表示出高，得出圓柱體積關(guān)于的表達(dá)式，由導(dǎo)數(shù)確定體積最大時(shí)半徑的值，即可得出此時(shí)圓柱的高．【詳解】由題意作出圓錐軸截面的平面圖，如圖所示，過(guò)等邊三角形頂點(diǎn)作，則，，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，，所以，因?yàn)閳A錐的軸截面是面積為，所以，解得,易知冰塊體積最大時(shí)上底與杯口齊平，設(shè)圓柱形冰塊的底面圓半徑為，其中，高為，則，在中，，則，設(shè)圓柱形冰塊的體積為，則.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在處取得極大值，也是最大值，即，所以，故當(dāng)放置的圓柱形冰塊的體積最大時(shí)，其高度為，故答案為：．四?解答題（本題共6小題，第17題10分，第1822題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17.若，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，得到的表達(dá)式即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）將代入展開(kāi)式，求出到項(xiàng)的和，即可求出.【小問(wèn)1詳解】由題意，在中，，∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴，解得：.【小問(wèn)2詳解】由題意及（1）得，在中，令，得，18.已知數(shù)列滿(mǎn)足：.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，求關(guān)于的表達(dá)式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷得數(shù)列是等差數(shù)列，計(jì)算公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)（1）寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列計(jì)算公比，寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，兩式相等即可得關(guān)于的表達(dá)式.【小問(wèn)1詳解】所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知.因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，19.（1）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域顏色不同，則一共有多少種不同的涂色方法？（2）記正方體中兩條平行的棱為一對(duì)“平行棱”，現(xiàn)從正方體所有棱中任取4條，要求至少得到2對(duì)“平行棱”，則一共有多少種不同的取法？【答案】（1）180；（2）207【解析】【分析】（1）分選擇四種和三種顏色兩種情況討論求解再求和即可；（2）正方體中一共有3組，每組4條分別平行的直線，滿(mǎn)足條件的“平行棱”可能有2，3，6對(duì)，再分別求解求和即可.【詳解】（1）若選擇四種顏色，則有種不同的涂色方法；若選擇三種顏色，則有種不同的涂色方法，故一共有種不同的涂色方法.（2）正方體中一共有3組，每組4條分別平行的直線，則：若4條棱中恰有2對(duì)“平行棱”，則2對(duì)分別來(lái)自不同2組，每組2條，不同的取法有種；若4條棱中恰有3對(duì)“平行棱”，則3對(duì)分別來(lái)自不同2組，一組1條，一組3條，則不同的取法有種；若4條棱中恰有6對(duì)“平行棱”，則6對(duì)均來(lái)自同一組，一組4條，則不同的取法有種.故從所有棱中任取4條，且至少得到2對(duì)“平行棱”一共有種不同的取法.20.若函數(shù)，且為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是【解析】【分析】（1）求出，利用其為偶函數(shù)可得答案；（2）求出，分別令、可得答案.【小問(wèn)1詳解】，為偶函數(shù)，則，又；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，則，令，得，或；令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足且.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用關(guān)系求得，注意驗(yàn)證的情況，由等比數(shù)列定義證結(jié)論；（2）由（1）得，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由得：，兩式相減得，則，所以，又，則，解得，滿(mǎn)足，綜上，，又，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則，，由，