拉格朗日中值定理數(shù)學(xué)定理01發(fā)展歷程推導(dǎo)驗(yàn)證定理內(nèi)容定理推廣目錄03020405定理應(yīng)用意義影響運(yùn)用示例目錄0706基本信息拉格朗日中值定理，又稱拉氏定理、有限增量定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。定理的現(xiàn)代形式如下：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上[a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。1797年，拉格朗日中值定理由法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日在《解析函數(shù)論》中首先提出，并提供了最初的證明。現(xiàn)代形式的拉格朗日中值定理由法國數(shù)學(xué)家O.博內(nèi)提出。拉格朗日中值定理溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的。在研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及不等式的證明等方面，都可能用到拉格朗日中值定理。發(fā)展歷程發(fā)展歷程人類對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)始于古希臘時(shí)代。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，過拋物線頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線底端的連線，阿基米德還利用該結(jié)論求出了拋物線弓形的面積。這其實(shí)就是拉格朗日中值定理的特殊情形。1635年，意大利數(shù)學(xué)家博納文圖拉·卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》中描述：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。1637年，法國數(shù)學(xué)家皮耶·德·費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費(fèi)馬定理，即函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零。1691年，法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾在《方程的解法》中給出了多項(xiàng)式形式的羅爾中值定理，后來發(fā)展成一般函數(shù)的羅爾定理，并且正是由費(fèi)馬定理推導(dǎo)而出。1797年，法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日在《解析函數(shù)論》中首先給出了拉格朗日中值定理，并予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。19世紀(jì)10年代至20年代，法國的數(shù)學(xué)家奧古斯丁·路易斯·柯西對(duì)微分中值定理進(jìn)行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》《無窮小計(jì)算教程概論》和《微分計(jì)算教程》，在分析上進(jìn)行了嚴(yán)格的敘述和論證，對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)。他在《無窮小計(jì)算教程概論》中嚴(yán)格地證明了拉格朗日中值定理，后來又在《微分計(jì)算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理——柯西中值定理。定理內(nèi)容結(jié)論變形定理表述定理內(nèi)容定理表述函數(shù)在和之間連續(xù)，的最大值為，最小值為，則必取，中的一個(gè)值

。如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得

。結(jié)論變形拉格朗日中值定理的結(jié)論有幾種變形：或令，，，有若把記成，則上面第一式稱為拉格朗日中值公式，第二式和第三式稱為有限增量公式。拉格朗日中值定理也稱為有限增量定理，視其重要性，又稱為微分中值定理

。推導(dǎo)驗(yàn)證推導(dǎo)驗(yàn)證設(shè)，由于在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，因此在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。又，所以根據(jù)羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使亦即或以上證明是在的情況下得到的，如果，同樣可證得定理的結(jié)論

。定理推廣推理推論學(xué)術(shù)意義定理推廣學(xué)術(shù)意義拉格朗日中值定理的幾何意義若連續(xù)曲線在點(diǎn)，之間的每一點(diǎn)處都有不垂直于軸的切線，則曲線在、間至少存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與割線平行。

對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)，在任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中至少存在一個(gè)位置（或一個(gè)時(shí)刻）的瞬時(shí)速率等于這個(gè)過程中的平均速率。

推理推論根據(jù)拉格朗日中值定理，可以得到下列推論：推論1：若函數(shù)在區(qū)間上的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。推論2：若函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)。

柯西中值定理被認(rèn)為是拉格朗日中值定理的推廣，它的內(nèi)容是：設(shè)和在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，并且在上不為零，這時(shí)對(duì)于某一點(diǎn)，有。

定理應(yīng)用定理應(yīng)用拉格朗日中值定理是微分學(xué)理論中非常突出的成果，在理論和應(yīng)用上都有著極其重要的意義。它溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的，因此很多時(shí)候可以從導(dǎo)數(shù)的角度來研究函數(shù)在其定義域上的性質(zhì)。

拉格朗日中值定理的應(yīng)用比羅爾中值定理和柯西中值定理的應(yīng)用更加廣泛，因?yàn)樗鼘?duì)函數(shù)的要求更低，而且建立了函數(shù)增量、自變量增量及導(dǎo)數(shù)之間的，這為利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的相關(guān)問題提供了重要支撐。

總的來說，在研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性以及求極限、恒等式、不等式的證明、判別函數(shù)方程根的存在性、判斷級(jí)數(shù)的斂散性以及證明與函數(shù)差值有關(guān)的命題，以及計(jì)算未定式極限等方面，都可能會(huì)用到拉格朗日中值定理。

拉格朗日中值定理的幾何意義也有較為廣泛的應(yīng)用。此外，拉格朗日中值定理的變形公式指出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，因此，可以利用這種關(guān)系研究函數(shù)的性質(zhì)。

在化學(xué)、物理等其他專業(yè)領(lǐng)域，也可以利用拉格朗日中值定理來進(jìn)行計(jì)算和研究，例如在化學(xué)中計(jì)算相對(duì)于時(shí)間的反應(yīng)級(jí)數(shù)，在物理中研究航空重力異常向下延拓方法等。

運(yùn)用示例運(yùn)用示例例1：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得。證明：設(shè)，則在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，于是根據(jù)拉格朗日中值定理可知至少存在一點(diǎn)，使得，因此，即。例2：設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少存在，，使得。證明：設(shè)，則在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，因此由拉格朗日中值定理有，在內(nèi)至少存在，使得，即，又因?yàn)椋栽O(shè)，則在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，滿足拉格朗日中值定理的條件，所以在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即由及得，即

。例3：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，且，證明：如果在上不恒等于零，則必有，使得。證明：設(shè)，則在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，，所以，使，從而在內(nèi)可導(dǎo)，在上連續(xù)，拉格朗日中值定理的條件滿足，如此，，使，即

。例4：求。解：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，拉格朗日中值定理的條件滿足，所以，使得，且顯然時(shí)，所以

。意義影響意義影響拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心內(nèi)容，是羅