PAGEPAGE1291990年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)xt2M21)

y4垂直的平面方程是 .zt1設a為非零常數,則lim(xa)x= .xxaf(x)

1 x0 x

,則f[f(x)]= .2 積分0xx2

dy的值等于 .(5)已知向量組α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7),則該向量組的秩是 .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)f(x是連續函數,F(x)exf(t)dtF(x等于xex

f(ex)f(x)

ex

f(ex)f(x)ex

f(ex)f(x)

ex

f(ex)f(x)已知函數f(x)具有任意階導數,f(xf(x)]2n2的正整數時,f(x)的n階導數f(n)(x)是(A)n![f(x)]n1 (B)f(x)]n1(C)[f(x)]2na

[sin(na)1]

(D)n![f(x)]2n設

為常數,則級數 2n1nn(A)絕對收斂 (B)條件收斂nn(C)發散 (D)收斂性與a的取值有關f(xx0的某個鄰域內連續,f(0)0lim

f(x)

2,則在點x0處x01cosxf(x)(A)不可導 (B)可導,且f(0)0(C)取得極大值 (D)取得極小值已知、β2b的兩個不同的解α1、α2是對應其次線性0的基礎解析k2為任意常數,b的通解(一般解)必是kα

k

α)β1β2

kα

k

α)β1β211 2 1 2 2 11 2 1 2 2kα

k

β)β1β2

kα

k

β)β1β211 2 1 2 2 11 2 1 2 2三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)1ln(1x)(1)求0(2x)2dx.2zzf(2xyysinxf(uv)具有連續的二階偏導數,求xy.y4y4ye2x的通解(一般解).四、(本題滿分6分)求冪級數(2n1)xn的收斂域,并求其和函數.n0五、(本題滿分8分)求曲面積分Iyzdzdx2dxdy其中S是球面x2y2z24外側在z0的部分.S（7分）設不恒為常數的函數

f(x)在閉區間[a,b]上連續,在開區間(a,b)內可導,且f(a)f(b).證明在(a,b)內至少存在一點,使得f()0.（6分設四階矩陣

1 1 0 0 2 1 3 40 1 0 0 2 1 3B ,C 0 0 1 A

0 0 0 1 0 0 0 2A(EC1B)CE其中E為四階單位矩陣,C1表示C的逆矩陣,C表示C的轉置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣A.（8分）

x24x24x24xx4xx8xx

成標準型.（8分

1 2 3 12 13 23PAB為直徑的半圓周,2運動到點B(34)F作用(見圖FP與原點O之間的距離,其方向垂直于線段OPy軸正向的夾角小于.求變力F對質點P所作的功..2十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)Xf(x)1exxX的概率分布函數2F(x)= .設隨機事件A、B及其和事件的概率分別是0.40.3和0.6,若B表示B的對立事件,那么積事件AB的概率P(AB)= .X2(Poisson)

分布,即2ke2P{Xk} ,k!

則隨機變量

Z3X2

的數學期望E(Z)= .十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量(X,Y)在區域D:0x1,yx內服從均勻分布,求關于X的邊緣概率密度函數及隨機變量Z2X1的方差D(Z).1991年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)x1t2 d2y2設2

ycost,則dx2= .x2yx2y2z2分dz=

zz(x,y)在點0處的全微已知兩條直線的方程是

:x1y2z3;l

:x2y1z.則過l且平行1 1 0

1

2 1 1 1于l2的平面方程是 .1已知當x0時,ax2)31與x1是等價無窮小,則常數a= .52002100設4階方陣A ,則520021000 0 1 2 0 0 1 1 (5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)1ex2y

21ex2沒有漸近線 (B)僅有水平漸近線(C)僅有鉛直漸近線 (D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線f(x)f(x)f(t)dtn,則f(x)0 2(A)exln2 (B)e2xln2(C)exln2 (D)e2xln2 (3)已知級數()n1a,a,則級數an1

nn1

2n

nn1(A)3 (B)7(C)8 (D)9Dxoy上以)和為頂點的三角形區域D在第一象限的部分,則(xycosxsiny)dxdy等于D(A)2cosxsinydxdyD1(C)4(xycosxsiny)dxdyD1

(B)2xydxdyD1(D)0設nA、B、CABCE其中E是n階單位陣,則必有(A)E (B)EE (D)E三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)limx0

x)2.n是曲面2x23y2z26在點)處的指向外側的法向量求函數6x28y2u P6x28y2z(x2y2z)dv其中是由曲線z4所圍城的立體.四、(本題滿分6分)

y22zz繞 軸旋轉一周而成的曲面與平面zx0過點O(00)0)yasinx(a0)中,L,使沿該曲線O從A的積分(1y3)dx(2xy)dy的值最小.L五、(本題滿分8分)n1n1f(x)2x(1x1)將函數的和.（7分

展開成以2為周期的傅里葉級數,并由此求級數2n11設函數f(x)在[,]上連續,(,)內可導,且32f(x)dxf(0證明在(,)內存在一13點c,使f(c)0.（8分）已 知 α10,2,α2a2,4,a8) 及β(1,1,b3,5).a、b為何值時β不能表示成α1α2α3α4的線性組合?a、b為何值時β有α1α2α3α4的唯一的線性表示式?寫出該表示式.（6分）設A是n階正定陣,E是n階單位陣,證明AE的行列式大于1.（8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數(Q是法線與x軸的交點),且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)若隨機變量X服從均值為2、方差為的正態分布X則P{X= .隨機地向半圓0y 2axx2(a為正常數)內擲一點,點落在半圓內任何區域的概率與區域的面積成正比,則原點和該點的連線與x軸的夾角小于的概率為 .4十一、（本題滿分6分）設二維隨機變量(X,Y)的密度函數為f(x,y)求隨機變量ZX2Y的分布函數.

2e(x2y0

x0,y0其它1992年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)設函數yy(x)由方程exycos(xy)0確定,則dy= .dx函數uln(x2y2z2)在點M2,2)處的梯度uM= .設f(x于

11x2

x0,則其以2為周期的傅里葉級數在點x處收斂0x微分方程yytanxcosx的通解為y= . ab ab abA

21 21

n,

0,b

0,(i1,2,,n).則矩陣A的秩 i iab ab abn1 n2 nnr(A)= .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)x1時,

x21x1

1ex1的極限等于2 (B)等于0cos)((C)為 (D)不存在但不為cos)(級數n1

(1)n(1 an

常數a0)(A)發散 (B)條件收斂(C)絕對收斂 (D)收斂性與a有關xtyt2zt3的所有切線中,x2yz4平行的切線只有1條 (B)只有2條(C)至少有3條 (D)不存在f(x3x3x2xf(n)(0n為(A)0 (B)1(C)2 (D)31 0 2要使ξ10,ξ 1 都是線性方程組0的解,只要系數矩陣 22 2 (A)21 2

2 0(B)

1 0 1 1 1 0 2

0 1 (C)

(D)4 2 20 1

0 1 1三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)exsinx11111x2x0zf(exsinyx2y2f具有二階連續偏導數,求

2zxy.1x2

x0 3設f(x

e

x0,求

f(x四、(本題滿分6分)求微分方程y2y3ye3x的通解.五、(本題滿分8分)計算曲面積分(x3az2)dydzy3ax2)dzdxz3ay2)dxdy,其中為上半球a2a2x2y2面z

的上側.（7分）設f(x)0,f(0)0,證明對任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).（8分） 在變力Fyzizxjxyk的作用下,質點由原點沿直線運動到橢球面x2y2z2

M(,,),

F Wa2

c2 1

問當 、

取何值時,力

所做的功 最大?并求出W的最大值.（7分）設向量組α1,α2,α3線性相關,向量組α2,α3,α4線性無關,問:(1)α1能否由α2,α3線性表出?證明你的結論.(2)(2)α4能否由α1,α2,α3線性表出?證明你的結論.（7分）設3階矩陣A1,2,3,1 1 1 1ξ1,ξ2,ξ3,又向量β2.1

3 1 4 3 1 4 3 將β用ξ1ξ2ξ3線性表出.Anβ(n為自然數).十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)PAP(B)P(C)1PAB0PACP(BC)1AB、4 6C全不發生的概率為 .設隨機變量X服從參數為1的指數分布,則數學期望E{Xe2X}= .十一、（本題滿分6分）設隨機變量X與Y獨立,X服從正態分布N2),Y服從[]上的均勻分布,試ZXY(,t22(x)12

e2dt).1993年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)tx1(1)F(x)1(2tx1

)dt(x0)的單調減少區間為 .

3x22y212z0

繞y軸旋轉一周得到的旋轉面在點(0,3,2)處的指向外側的單位法向量為 .

f(x)xx2(x)

的傅里葉級數展開式為a0(acosnxb

sinnx), 2 n 2n1

則其中系數的值為 .設數量場uln x2y2z2,則div(gradu)= .nA的各行元素之和均為零,An0的通解為 .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)f(xsinxsin(t2dtg(xx3x4x0時,f(x)g(x)的0等價無窮小 (B)同價但非等價的無窮小(C)高階無窮小 (D)低價無窮小雙紐線(x2y2)2x2y2所圍成的區域面積可用定積分表示為24cos0

44cos020

cos2d

12

4os)20設有直線

:x1y5z8與

xy:

則l與l的夾角為(A)6

1 1 2

2 2yz3 1 243

2設曲線積分 [f(t)ex]sinf(x)與路徑無關,其中f(x)具有一階連L續導數,且f(0)0,則f(x)等于(A)

exex2

(B)

exex2(C)

exe2

11 2 3

(D)1

exex2已知Q2 4 t,P為三階非零矩陣,且滿足PQ0,則 3 6 9(A)t6時P的秩必為1 (B)t6時P的秩必為2t6時P的秩必為1 (D)t6時P的秩必為2三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)求lim(sin2cos1)x.x x x求

x

exex1x2yxyy2yx2y2四、(本題滿分x2y2

x11的特解.計算2zzzzx

其中 是由曲面z 與2x22x2y2五、(本題滿分7分)求級數n0

(1)n(n2n2n

的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設在[0,)上函數

f(x)有連續導數,且

f(x)k0,f(0)0,證明

f(x)在(0,)內有且僅有一個零點.(2)設bae,證明abba.（8分）1 2 3 1 2 3 2已知二次型f(x,x,x)2x23x23x22axx(a1 2 3 1 2 3 21 2 fy22y25y2求參數a及所用的正交變換矩陣1 2 （6分）設A是nm矩陣,B是mn矩陣,其中nm,I是n階單位矩陣,若ABI,證明B的列向量組線性無關.（6分）設物體A從點(0,1)出發,以速度大小為常數v沿y軸正向運動.物體B從點(1,0)與A同時出發,其速度大小為2v,方向始終指向A,試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)一批產品共有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為 .X服從(02)上的均勻分布,則隨機變量YX2在(04)內的概率分布密度fY(y)= .十一、（本題滿分6分）設隨機變量X的概率分布密度為f(x)1ex,x.2XEX.XX的協方差,XX是否不相關?問X

是否相互獨立?為什么?1994年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)lim1 1)= .x0

sinx x曲面zex2xy3在點2,0)處的切平面方程為 .e sin 設ux xe sin y

2u

1在點(2, )處的值為 .D2 2 D

x2 y2Dx

R,則(a2b2)dxdy= .已知

α2,3],β 1,2,

設Aαβ,

其中α

是α的轉置,則An= .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)設 M 21x

cos4xdx,N

2(sin3xcos4x)dx,P

2(x2sin3xcos4x)dx,則有2 2 2(A)NPM(C)NMP

(B)MPN(D)PMNf(xy)在點(x0y0)fx(x0y0、fx0y0f(x,y)在該點連續的充分條件而非必要條件 (B)必要條件而非充分條件ann2ann2n設常數0,且級數nn1

a2收斂,則級數

n1

(1)n(A)發散 (B)條件收斂(C)絕對收斂 (D)收斂性與有關

atanxb(1cos

2,其中a2c20,則必有x0cln(12x)d(1ex2)b4d(C)a4c已知向量組α1α2α3α4線性無關,則向量組

b4d(D)a4c(A)α1α2α2α3α3α4α4線性無關(Bα1α2α2α3α3α4α4線性無關(Cα1α2α2α3α3α4α4線性無關(D)α1α2α2α3α3α4α4線性無關三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)2xcos(t2)22dy d2y t2設

ytcos(t2)t1

1cosudu,求dx、dx2在u2u

的值.f(x)1ln1x1arctanxxx的冪級數.4 1x 2求 dx sin(2x)2sinx四、(本題滿分6分)計算曲面積分

xdydzz2dxdy2 2 2

其中S是由曲面

x2y2R2及S xyzzR,zR(R0)兩平面所圍成立體表面的外側.五、(本題滿分9分)設 f(x)

具 有 二 階 連 續 函 數 ,f(0)0,f(0)且[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0為一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本題滿分8分)設f(x)在點x0的某一鄰域內具有二階連續導數,且limf(x)0,證明級數x0 x 1nf()絕對收斂.nn1（6分）AB的直角坐標分別為00)與ABx軸旋轉一周所成的旋SSz0z1所圍成的立體體積.（8分）設四元線性齊次方程組(Ⅰ)為

x20,x2x40又已知某線性齊次方程組(Ⅱ)的通解為k1(0,1,1,0)k2(1,2,2,1).求線性方程組(Ⅰ)的基礎解析.問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.（6分）An階非零方陣A*A的伴隨矩陣AA的轉置矩陣,A*A時,證明A0.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)已知A、B

P(AB)P(AB),且

P(A)p,則P(B)= .X,Y具有同一分布率,X的分布率為XX01P1212則隨機變量Zmax{X,Y}的分布率為 .十一、（本題滿分6分）設隨機變量XY分別服從正態分布N32)N(042XY的相關系數1,設ZXY,xy 2 3 2(1)ZEZDZ方差.(2)求X與Z的相關系數z.(3)問X與Y是否相互獨立?為什么?1995年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)2(1)lim(13x)sinx= .x0d(2)

0xcost2dt= .dxx2 (3)設(ab)c2,則[(ab)(bc)](ca)= .n1 n x2nn1(4)冪級數2n(3)n

的收斂半徑R=

1 0 03 3 1 (5)

AB

A1BA6ABA,

且A0 0,則 4 1B= .

0

7(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)x3y2z10(1)設有直線L:

2xy10z3

,及平面:4x2yz20,則直線L(A)平行于 (B)在上(C)垂直于 (D)與斜交(2)設在[0,1]上f(x)0,則f(0),f(1),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小順序是(A)ff(0)ff(0)(C)ff(0)ff(0)

(B)fff(0)f(0)(D)ff(0)ff(0)f(x可導F(x)f(x)(1sinxf(00F(xx0處可導的充分必要條件 (B)充分條件但非必要條件1n(C)必要條件但非充分條件 (D)1n設un

(1)nln(1

),則級數nn nn(A)un

與u2收斂 ()u

與 u2都發散nn1

n1

n1

n1nn nn()un

斂,而u2散 (D)u

收斂,而 u2發散nn1

n1

n1

n1a11

0 1 1 0 設

Aa a a,Ba a

1 0 0,P0 1 0,21 22 23 21 22 23

2 則必有

31 32 33

a32

a33

0 0 1 0 (A)=B (B)=BA=B (D)=B三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)uf(xy2eyz0ysinx,其中0.求du.

f,都具有一階連續偏導數,且z dx1 1 1設函數f(x)在區間[,]上連續,并設0f(x)x,求0xxf(x)f(y).x2y2四、(本題共2小題,每小題6分,滿分x2y2計算曲面積分

zdS其中z

在柱體x2y22x內的部分.f(x)x1(0x24的余弦函數.五、(本題滿分7分)設曲線L位于平面xOy的第一象限內,L上任一點M處的切線與y軸總相交,交點記

33MAOA L過點L的方程.MAOA22六、(本題滿分8分)設函數Q(x,y)在平面Oy上具有一階連續偏導數,曲線積分L2xQ(,y)y與 ( 路徑無關,并且對任意t恒有(0,0)2xydx Q(x,y)dy (0,0)2xydx Q(x,y)dy,求Q(x,y).（8分）假設函數

f(x)

g(x)

在[a,b]

上存在二階導數,并且g(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b)0,試證:在開區間(abg(x)0.在開區間(ab內至少存在一點使（7分）

f()g()

f().g()設三階實對稱矩陣A的特征值為1,23,01ξ1,求11（6分）

對應于1的特征向量為設A為n階矩陣,滿足AAI(I是n階單位矩陣,A是A的轉置矩陣),A0,求AI.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)X10次獨立重復射擊命中目標的次數,0.4,則X2的數學期望E(X2)= (2)設X和Y為兩個隨機變量,且P{X0,Y0}3,P{X0}P{Y0}4,7 7則X,Y).十一、（本題滿分6分）X

fX(x)

e0

x0,x0求隨機變量YeX的概率密度fY(y).1996年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)設lim(x2a)x則a= .xxa設一平面經過原點及點(624xy2z8垂直,則此平面方程為 .微分方程y2y2yex的通解為 .函數uln(x y2z2)在點處沿點A指向點B(3,2,2)方向的方向導數為 . 1 0 設A是4r(AB)= .

矩陣,且A的秩

r(A)2,

而B0 2 0,則1 0 3(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(xay)dxydy為某函數的全微分a則等于(xy)2(A)-1 (B)0ff(x)xf(x具有二階連續導數,f(0)0limx0

1,則f(0f(x的極大值f(0f(x的極小值(0,f(0yf(x)的拐點f(0f(x的極值,(0,f(0))yf(x)的拐點

(n an

0(n

n1

n收斂,常數 (0,2),則級

n1

(ntann)a2n絕對收斂 (B)條件收斂(C)發散 (D)散斂性與有關(4)設有f(x)連續的導數,f(0)0,f(0)0,F(x)x(x2t2)f(t)dt,且當x00時,F(x)與xk是同階無窮小,則k等于(A)1 (B)2(C)3 (D)4(5)四階行列式

a1a100b10a2b200b4a0b00a43 3a1a2a3a4(C)(a1a2)(a3a4)a1a2a3a4(D)(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)ra(1的全長,a0是常數.(2)設10,xn1 6xn(n2,試證數列{xn}極限存在,并求此極限.四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分)計算曲面積分(2xz)dydzzdxdySzx2y2(0x其S法向量與z軸正向的夾角為銳角.ux2y

2z

2z

2z

2z設變換

vxay可把方程6x2xyy20簡化為uv0,求常數a.五、(本題滿分7分) 1n1求級數(n21)2n1六、(7分)

的和.設對任意x0,

曲線yf(x)

上點(x,f(x))處的切線在y軸上的截距等于1xf(t)dt,求f(x)的一般表達式.x0（8分）設f(x)在[0,1]上具有二階導數,且滿足條件

f(x)a,

f(x)b,其中a,b都是非負常數,c是(0,1)內任意一點.證明

f(c)2ab.2（6分）設AIξξT,其中I是n階單位矩陣,ξ是n維非零列向量,ξT是ξ的轉置.證明A2A的充分條件是ξTξ1.當ξTξ1時A是不可逆矩陣.（8分）已知二次型f(x,x,x)5x25x2cx22xx

6x

6x

的秩為2,1 2 3 1 2 3 12 13 23求參數c及此二次型對應矩陣的特征值.f(x1x2x3)1表示何種二次曲面.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)AB的產品的次品率分別為1%2%,AB的產品分別占6040的一批產品中隨機抽取一件發現是次品則該次品屬A生產的概率是 .12設是兩個相互獨立且均服從正態分布N(0,( )2)的隨機變量,則隨機變12的數學期望E()= .十一、（本題滿分6分）是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量的分布率為P(i)1,i1,2,3.3又設Xmax(,),Ymin(,).寫出二維隨機變量的分布率:XY123123XEX).1997年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)3sinxx2cos1(1)lim xx0(1cosx)ln(1

= .(2(2設冪級數annn1

n的收斂半徑為3則冪級數na(x1)n1的收斂區間為nn1 . 對數螺線e

在點(e2, )處切線的直角坐標方程為 .21 2 2設A4 t 3,B為三階非零矩陣,且ABO,則t= . 3 1 1袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是 .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)f(xy

xyx2y2

(x,y)(0,

,在點(0,0)處0 (x,y)(0,0)(A)連續,偏導數存在 (B)連續,偏導數不存在b(C)不連續,偏導數存在 (D)連續,偏導數不存(2)設在區間[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0.令bS f(x)dx,

f(b)(ba),S1[f(a)f(b)](ba),1 a

2 3 2則S2S3(C)S3S1S2F(x)x2esintsintdtF(x)x

S2S3S2S3為正常數 為負常數(C)恒為零 (D)不為常數 c1 xy0,設α

a,αb,αc,則三條直線axbyc0,1 2 2

2

2

2 2 23

3

3

a3xb3yc30i (其中a2b20,i1,2,3)交于一點的充要條件是i (A)α1,α2,α3線性相關 (B)α1,α2,α3線性無關(C)秩r(α1,α2,α3)秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3線性相關,α1,α2線性無關X和Y42,則隨機變量3X的方差是(A)8 (B)16(C)28 (D)44三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)I(x2y2)dv其中為平面曲線與平面z8所圍成的區域.

y22zz繞 軸旋轉一周所成的曲面zx0x2y21(zy)dxxz)dyxy)dz,cc軸正向往z軸負向看c的方向是順時針的.

從zxyz2在某一人群中推廣新技術是通過其中掌握新技術的人進行的,設該人群的總人數為N,在t0時刻已掌握新技術的人數為x0,在任意時刻t已掌握新技術的人數為x(t)(將x(t)視為連續可微變量),其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比,比例常數k0,求x(t).四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分)xyb0l:

xayz3

在平面上,而平面zx2y2相切于點25ab之值.

2z2z2xx x設函數f(u)具有二階連續導數,zf(esiny)x2

y2

z,求f(u).五、(本題滿分6分)設f(x)連續(x)1f(t)t,且imf(x)(A為常數),求(x)并討論(x)在0x0處的連續性.六、(本題滿分8分)

x0 xa0,

1(a1)(n1,2,),證明n1 n1n

2 an anliman存在. (2)級數(

1)收斂.x

n1

an1七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分)1 2 (1)設B是秩為2的54矩陣α2α4α58是齊次線性方程組Bx0的解向量,求Bx0的解空間的一個標準正交基1 2 1 2 1 2已知ξ1是矩陣A5 a 3的一個特征向量.

1

2ab參數及特征向量ξ所對應的特征值.A能否相似于對角陣?說明理由.（5分）設A是n階可逆方陣,將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B.證明B可逆.AB1.（7分）3個交通崗,假設再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,2X為途中遇到紅燈的次數,X5數學期望.（5分）X

f(x) 0

0x1其它其中1是未知參數,X1,X2,,Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量.1998年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)11x1x2x01

x2

2zzx

f(xy)y),f具有二階連續導數,則= .(3)設l為橢圓x2y2其周長記為a,則(2xy3x24y2)ds= .4 3 LAn階矩陣,AA*A的伴隨矩陣En階單位矩陣.A有特征值則(A*)2E必有特征值 .Dy1y0xxe2所圍成,二維隨機變量X,Y)x在區域D上服從均勻分布,則(X,Y)關于X的邊緣概率密度在x2處的值為 .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)f(x連續,則ddx

xtf(x2t2)dt=0(A)xf(x2) (B)xf(x2)(C)2xf(x2) (D)2xf(x2)f(x)(x2x2)x3x不可導點的個數是(A)3 (B)2(C)1 (D)0yy(x)x處的增量y的高階無窮小,y(0),則y(1)等于

yx1

且當0時,是x(A)(B)e4

4

a b c

,

xa3yb3zc3

與直線2 2 2

aa bb cca b c

1 2 1 2 1 2xa1a2a3

y

3 3 3zc2相交于一點 重合(C)平行但不重合 異面B是兩個隨機事件,且0PP(B)0P(B|P(B|A),則必有(A)P(A|B)P(A|B)(C)P(AB)P(A)P(B)

(B)P(A|B)P(A|B)(D)P(AB)P(A)P(B)三、(本題滿分5分)求直線l:x1yz1在平面xy2z10上的投影直線l的方程,并求l1 1 1 0 0繞y軸旋轉一周所成曲面的方程.四、(本題滿分6分)確定常數,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(x4y2)ix2(x4y2)j為某二元函數u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數關系.設儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設儀器的質量為m,體積為B,海水密度為,儀器所受的a2x2y2阻力與下沉速度成正比,k(k0yv所滿足的微分方程,a2x2y2六、(本題滿分7分)axdydz(za)2(x(x2y2z2)12于零的常數.七、(本題滿分6分)

,其中為下半平面

z

的上側,a為大sin sin求limn

sin.x n1

1 1 n

n n（5分）1 1n n設正向數列{an}單調減少,且(1)n1

an發散,試問級數(n1

)an1a

是否收斂?并說明理由.（6分）設yf(x)是區間[0,1]上的任一非負連續函數.試證存在x0(0,1),使得在區間[0上以f(x0)為高的矩形面積,等于在區間[x0,1]上以yf(x)為曲邊的曲邊梯形面積.f(x在區間內可導,f(x2f(x證明(1)x是唯一的.x 0（6分）已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4可以經過正交變換x yP化為橢圓柱面方程2424, z

十一、（本題滿分4分）設A是n階矩陣,若存在正整數k,使線性方程組Akx0有解向量α,且Ak1α0.證明:向量組α,Aα,,Ak1α是線性無關的.十二、（本題滿分5分）已知方程組(Ⅰ)

a11x1a12x2a1,2nx2n0a21a22x2a2,2nx2n0an1an2x2an,2nx2n0的一個基礎解析為(b,b,,b

)T,(b,b,,b )T,,(b,

,,

)T.試寫出線1112 1,2n

21 22 2,2n

n,2n性方程組的通解,并說明理由.

(Ⅱ)

b11y1b12y2b1,2ny2n0y2b2,2ny2n02y2bn,2ny2n0十三、（本題滿分6分）設兩個隨機變量X,Y相互獨立,且都服從均值為0、方差為1的正態分布,求隨機變量2XY

的方差.十四、（本題滿分4分）從正態總體N(3.4,62)中抽取容量為n的樣本,如果要求其樣本均值位于區間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應取多大?附:標準正態分布表

(x)

1t22ze22zz1.281.6451.962.33(x)0.9000.9500.9750.990十五、（本題滿分4分）設某次考試的學生成績服從正態分布,從中隨機地抽取36位考生地成績,算得平均成績為66.5分,標準差為15分.問在顯著性水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績為70分?并給出檢驗過程.附t

P{t(n)tp(n)}p0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)lim(1 1 )= .x0x2

xtanxd(2)dx

xsin(xt)2dt= .0y4ye2x的通解為y= .設n階矩陣A的元素全為1,則A的n個特征值是 .設 兩 兩 相 互 獨 立 的 三 事 件:ABC,P(A)P(B)P(C)1,2

B 和 C 滿 足 條PABC

9,則P(= .16(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)f(x是連續函數F(xf(x的原函數,則當f(x)是奇函數時,F(x)必是偶函數 (B)當f(x)是偶函數時,F(x)必是奇函數(C)當f(x)是周期函數時,F(x)必是周期函數 (D)當f(x)是單調增函數時,F(x)必是單調增函數1cosxx0x(2)設f(x)xx2g(x

x

,其中g(x)是有界函數,則f(x)在x0處極限不存在 (B)極限存在,但不連續(C)連續,但不可導 (D)可導x 0x1 a (3)設f(x)22x

1x2

,S(x)0an2n12

cosnx,x,11

f(x)

(n0,1,2,),則S(5)等于21(A)23(C)4A是mn矩陣Bnm矩陣,mn時,必有行列式|AB|0

12(D)34當m

時,必有行列式|AB|0nm時,必有行列式|AB|

當n

時,必有行列式|AB|0X和YNN,則(A)P{XY12(C)P{XY12

(B)P{XY12(D)P{XY12三、(本題滿分6分)設yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所確定的函數,其中f和F分別具有一階連續導數和一階連續偏導數,求dz.dx四、(本題滿分5分)求IL

(exsinyb(xy))dx(excosyax)dy,其中a,b為正的常數,L為從點2axx2A(2a,0)沿曲線y 到點O(0,2axx2五、(本題滿分6分)設函數y(x)(x0)二階可導且y(x)0,y(0)1.過曲線yy(x)上任意一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線,上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1,區間[0x]上以yy(x)為曲線的曲邊梯形面積記為S22S1S2yy(x)的方程.六、(本題滿分7分)論證:當x0時,(x21)lnx(x1)2.

恒為1,求曲線七、(本題滿分6分)為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知30m,400N,50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功?(說明:①1N1m=1Jm,N,s,J分別表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)八、(本題滿分7分)S x S x 設 為橢球面 2 2

z21的上半部分,點P(x,y,z)S,為S在點P處的切平面,y,z)為點O(0,0,0)到平面的距離,求z dS.S(x,y,z)九、(本題滿分7分)00設an4tannxdx:n1(aa )n求n1

n n2

的值.0,

an試證:

級數收斂.nn1n十、(本題滿分8分)aA

1 cb 3,其行列式|A|AA*有一個特征值 1c 0 a,屬于的一個特征向量為α(1,1,1)T,求a,b,c和的值.0 0 0十一、(本題滿分6分)Am階實對稱矩陣且正定Bmn實矩陣BT為B的轉置矩陣,BTAB為正定矩陣的充分必要條件是Br(B十二、(本題滿分8分)設隨機變量X與Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯合分布率及關于X和關于Y的邊緣分布率中的部分數值,試將其余數值填入表中的空白處.X Yy1y2y3P(Xxi)pix118x218P(Yyi)pj161十三、(本題滿分6分)6x(x)0<xXf(x

,X,X

,,

是取自總體X的簡單隨機樣本

1 2 n0 ?.(2)?的方差D?).2000年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)1(1)01

2xx2dx= .(2)曲面x22y23z221在點2,2)的法線方程為 (3)微分方程xy3y0的通解為 .1 2 1 1(4)已知方程組2 3 a2x3無解,則a= . 2 1 a 2x3 0(5)設兩個相互獨立的事件A和B都不發生的概率為1,A發生B不發生的概率與B發9生A不發生的概率相等,則P(= .(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)設

f(x)、g(x)是恒大于零的可導函數,且

f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當axb時,有f(x)g(b)f(b)g(x)

f(x)g(a)

f(a)g(x)f(x)g(x)f(b)g(b)

f(x)g(x)

f(a)g(a)1Sx2y2z2a2z0SS在第一卦限中的部分,則有1(A)xdS4xdSS (C)zdS4xdSS

(B)ydS4xdSS (D)xyzdS4xyzdSS 設級數un收斂,n1n1

(1)nunn

un2unn1()u2n1u2n)n1

(D)unun1)n1nα1,αm(mn)線性無關,n,βm線性無關的充分必要條件為向量組α1,αm可由向量組,βm線性表示向量組,βm可由向量組α1,αm線性表示向量組α1,αm與向量組,βm等價Aα1,αm)與矩陣Bβ1,βm等價設二維隨機變量X,Y服從二維正態分布,則隨機變量XY與

XY不相關的充分必要條件為(A)E(X)E(Y)(B)E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2(C)E(X2)E(Y2)(D)E(X2)[E(X)]2E(Y2)[E(Y)]2三、(本題滿分6分)1lim(2exsinx).求xxx

41ex四、(本題滿分5分)x x

2z設zf(xy,y)g(y),其中f具有二階連續偏導數,g具有二階連續導數,求xy.五、(本題滿分6分)I取逆時針方向.

L

xdy4x2y2

,其中L是以點(1,0)為中心,R為半徑的圓周(R1),六、(本題滿分7分)設對于半空間

x

內任意的光滑有向封閉曲面S,都有f(x)zf(x)zxe2xzy,其中函數f(x)在(,)內具有連續的一階S導數,limx0

f(x)1,求f(x).七、(本題滿分6分) 1 xnn1求冪級數3n2)n1八、(本題滿分7分)

n的收斂區間,并討論該區間端點處的收斂性.設有一半徑為R的球體,P0是此球的表面上的一個定點,球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比(比例常數k0),求球體的重心位置.九、(本題滿分6分) 設函數f(x)在[]上連續,且0f(x)x,0

f(x)cosxdx0.試證:在(0,)內至12,使f1)f2)0.十、(本題滿分6分)1 0 0 00 1 0 0設矩陣A的伴隨矩陣A* ,且ABA11 0 1 0

BA1

,其中E4階單0 3 0 8 位矩陣,求矩陣B.十一、(本題滿分8分)1某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統計,然后將6

熟練工支援其他生產部門,其缺額由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有2成為熟練工.設第n1xy記成向5 n n量xn.y yn求xn1與xn的關系式并寫成矩陣形式xn1Axn.yyyy yyyyn1

n

n1 n

4,η

1是A的兩個線性無關的特征向量,并求出相應的特征值. 1(3)當x12時,求xn1.y 1

y 1 2

n1十二、(本題滿分8分)p(0p,各產品合格與否相對獨立,1個不合格產品時即停機檢修.1X,X的數學EXDX).十三、(6分)

2e2(x)x設某種元件的使用壽命X的概率密度為f(x;)0

,其中0為未知x參數.又設x1,x2,,xn是X的一組樣本觀測值,求參數的最大似然估計值.2001年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)x2y2z2設yex(asinxbcosx)(a,b為任意常數)為某二階常x2y2z2(2)r ,則div(gradr)(1,2,2)= .0 1y(3):1y

f(x,y)dx＝ .(4)設A2A4EO,則(A2E)1= .(5)D(X)2,則根據車貝曉夫不等式有估計XE(X).(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)(1)f(x在定義域內可導,y

f(x的圖形如右圖所示,y

f(x)的圖形為(B) (C)(D)(2)設f(x,y)在點(0,0)的附近有定義,且fx(0,0)3,fy(0,0)1則(A)dz|(0,0)3dxdyz

f(x,y)在(0,0,f(0,0))處的法向量為{3,1,1}zf(x,y)曲線

y

在(0,0,f(0,0))處的切向量為{1,0,3}zf(x,y)曲線

y

在(0,0,f(0,0))處的切向量為{3,0,1}f(0)0f(xx=0處可導(A)limh0

f(1cosh2

存在

h0

f(1eh)存在h(C)limf(hsinh)存在 (D)

f(2h)f(h)存在h0 h2 h0 h設

A ,B 1111 111140001111000011110000

,則A與B(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復擲n次,以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數,則X和Y相關系數為1(A)-1 (B)0 (C)2

(D)1三、(本題滿分6分)arctanex求 e2x dx.四、(本題滿分6分)設函數zf(x,y)在點(1,1)可微,且ff2,f3f(x,f(x,x)),求d(x) .x y

x1五、(8分)

1x2x11x2x1設f(x

arctanxx0,將f(x)展開成x的冪級數,并求n114n2

的和.x0六、(本題滿分7分)LIy2z22z2x2dy3x2y2dz,L是平xy1的交線,Z軸正向看去L為逆時針方向.L七、(本題滿分7分)設f(x)在(1,1)內具有二階連續導數且f(x)0.證明:

xyz2(1)對于x,,使(2)lim(x)0.5.x0八、(本題滿分8分)

f(x)=f(0)+xf((x)x)成立.

h(t)(t

為時間)的雪堆在融化過程,其側面滿足方程zh(t)

2(x2y2h(t)

(設長度單位為厘米,時間單位為小時),已知體積減少的速率與側面積成正比(系數為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間?九、(本題滿分6分)設α1,α2,,αs為線性方程組AXO的一個基礎解系,β1t1α1t2α2,β2t1α2t2α3,,βst1αst2α1,其中t1t2為實常數,試問t1t2滿足什么條件時β1β2,βsO的一個基礎解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣A和三維向量x,使得x,Ax,A2x線性無關,且滿足A3x3Ax2A2x.PxAxA2x求BAPBP1.(2)AE.十一、(本題滿分7分)某班車起點站上客人數X服從參數為(0)的泊松分布,每位乘客在中途下車的概p(0p且中途下車與否相互獨立Y為中途下車的人數,求:(1)在發車時有n個乘客的條件下,m人下車的概率.二維隨機變量X,Y的概率分布.十二、(本題滿分7分)1 2 設X~N2)取單機本X,X,,X (n1 2 X12nX

nY (X

2X)2

E(Y).2n2n

i1

i, i1

ni ,求2002年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)

dx = .e xln2x(2)已知ey6xyx210,則y(0)= .

yyy20

滿足初始條件

y(0)1,y(0)12

的特解是 .fxxx)ax2x2x24x

4xx4xx經正1 2 3

1 2

12 13 231交變換可化為標準型f6y2,則a= .1

~N2),且二次方程y24yX

0無實根的概率為0.5,則= .二、選擇題(5小題,3分,15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內)fx,y)的四條性質:①f(x,y)在點(x0,y0)處連續,②f(x,y)在點(x0,y0)處的一階偏導數連續,③f(x,y)在點(x0,y0)處可微,④f(x,y)在點(x0,y0)處的一階偏導數存在.則有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④un設u0,且limnunnn

1,則級數 (1)n1(1un

1)為un1發散 (B)絕對收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.fx)在R上有界且可導,則limf(x0時,limf(x0

lim

f(x)存在時,xlimf(xx

x

x當limf(x)0時,必有limf(x)0 (D)當limf(x)存在時,必有x0limf(x)0.x0

x0

x0設有三張不同平面,其方程為aixbiycizdii1,23)它們所組2,則這三張平面可能的位置關系為設X和Y是相互獨立的連續型隨機變量,它們的密度函數分別為fX(xfY(y,分布函數分別為(x和(y,則(A)fX(x)＋fY(y)必為密度函數

fX

fY(y)必為密度函數(C(x(y必為某一隨機變量的分布函數為某一隨機變量的分布函數.

FX(x)FY(y)必三、(本題滿分6分)fx)x0的某鄰域具有一階連續導數,f0f0)0,當h0時,若afh)bf2h)f(0oh),試求ab的值.四、(本題滿分7分)y

f(x)與y arctanxet2dt點(0,0)線切0線的方程,并求極限

limnf(2).n n五、(本題滿分7分)計算二重積分emax{x,y}dxdy,其中DD

{(x,y)|0

x1,0

y1}.六、(本題滿分8分)fx)在R上具有一階連續導數L是上半平面y>0)內的有向分段光滑曲線,起點為ab),終點為cd).記I

1[1y2f(xy)]dxy

x[y2f(xy)1]dy,y2證明曲線積分I與路徑L無關.當abcd時,求I的值.七、(本題滿分7分)

x3n

)滿足微分方程yyyex.n0y(n0

xy(x)

x3n

的和函數.n0(3n)!八、(本題滿分7分)設有一小山,取它的底面所在的平面為xoy面,其底部所占的區域為Dx,y|x2y2xy75,小山的高度函數為hx,y)75x2y2xy.(1)Mx0y0為區域D上一點,問hx,y)在該點沿平面上何方向的方向導數最大?若此方向的方向導數為g(x0y0,寫出g(x0y0的表達式.(2)現欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說要在D的邊界線上找出使(1)中g(x,y)達到最大值的點.試確定攀登起點的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣A(α1,α2,α3,α4),

α1,α2,α3,α4均為四維列向量,其中α2,α3,α4線性無關,α12α2α3.若βα1α2α3α4,求線性方程組Axβ的通解.十、(本題滿分8分)設A,B為同階方陣,若AB相似,證明AB的特征多項式相等.舉一個二階方陣的例子說明(1).當AB為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.2003年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)1lim(osx)nx2)x0

= .曲面

zx2y2與平面2x4yz0

平行的切平面的方程是 .n設x2ann0

cosnx(x,則a2= .R2

1,α

1

1,β

12

的過渡矩陣為

6x 0xy1設二維隨機變量X,Y)f(xy

,0 其它則P{XY.X(單位:cm)N,從中隨16個零件,得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區間.(注:標準正態分布函數值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)二、選擇題(6小題,4分,24分