4.3.1對數的概念第四章

§4.3對數學習目標1.了解對數的概念，會進行對數式與指數式的互化.(重點)2.會利用對數式與指數式的關系求值.3.掌握對數的基本性質與對數恒等式.(難點)導語有一個投資項目，滿足年利率為20%的復利，假設你是這個項目的負責人，想勸說投資者多投資，如果你跟他們說復利、指數增長，他們聽不懂.投資者問：“你就告訴我，我的錢啥時候能翻倍，變成5倍，10倍？”你能給他們滿意的答復嗎？一、對數的概念與指對互化二、利用對數式與指數式的關系求值三、對數的基本性質與對數恒等式隨堂演練內容索引對數的概念與指對互化

一問題1我們知道若2x＝4，則x＝2；若3x＝81，則x＝4；若

＝128，則x＝－7等等這些方程，我們可以輕松求出x的值，但對于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等這樣的指數方程，你能求出方程的解嗎？提示用指數方程不能解決上述方程，為了解決這個問題，早在18世紀的歐拉為我們提供了解決問題的方案，那就是發現了指數與對數的互逆關系，用對數來表示指數方程的解.知識梳理對數的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作

，其中a叫做對數的

，N叫做

.x＝logaN底數真數注意點：(1)對數是由指數轉化而來，則底數a、指數或對數x、冪或真數N的范圍不變，只是位置和名稱發生了變換.(2)logaN的讀法：以a為底N的對數.問題2現在你能解指數方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了嗎？提示x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.兩類特殊對數(1)以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lgN；(2)以無理數e＝2.71828…為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為lnN.知識梳理例1(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意義，則x的取值范圍為A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)C.(4，＋∞) D.(3,4)√解得3<x<4或x>4.(2)將下列指數式與對數式互化：①log216＝4；24＝16.②③ln100＝4.606；e4.606＝100.④43＝64；log464＝3.⑥10－3＝0.001.lg0.001＝－3.反思感悟(1)關于對數式的范圍反思感悟(2)指數式與對數式互化的思路①指數式化為對數式：將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式.②對數式化為指數式：將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式.跟蹤訓練1(1)若對數式log(t－2)3有意義，則實數t的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)√要使對數式log(t－2)3有意義，所以實數t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞).√利用對數式與指數式的關系求值

二例2(1)求下列各式的值.①log981＝____；2設log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.②log0.41＝____；設log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.0③lne2＝____.設lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.2(2)求下列各式中x的值.得x＝

＝

＝3－2＝

.②logx16＝－4.反思感悟對數式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對數的值，或求對數式中參數字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①將對數式化為指數式，構建方程轉化為指數問題.②利用冪的運算性質和指數的性質計算.跟蹤訓練2

求下列各式的值：(1)log28；設log28＝x，則2x＝8＝23.∴x＝3，∴log28＝3.∴x＝－1，∴

＝－1.(3)lne；lne＝1.(4)lg1.lg1＝0.對數的基本性質與對數恒等式

三問題3你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成對數式或指數式嗎？提示log21＝0；log22＝1；

＝x.對數的性質(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)0和負數

.(4)對數恒等式：

＝

；logaax＝

(a>0，且a≠1，N>0).知識梳理01沒有對數Nx例3

求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lgx)＝1；∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)x＝

.x＝

＝7÷延伸探究把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改為“log2(log5x)＝1”，求x的值.因為log2(log5x)＝1，所以log5x＝2，則x＝52＝25.反思感悟利用對數的性質求值的方法(1)求解此類問題時，應根據對數的兩個結論loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)，進行變形求解，若已知對數值求真數，則可將其化為指數式運算.(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log”后再求解.跟蹤訓練3

求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.由log2[log3(log2x)]＝