22.7多邊形的內角和與外角和1.

[2021河北保定期末]矩形、菱形、正方形都具有的性質是(

)A.對角線相等

B.對角線互相平分C.對角線互相垂直 D.對角線平分對角答案1.B知識點1正方形的性質2.觀察、探究及應用.(1)觀察圖并填空.一個四邊形有2條對角線;一個五邊形有5條對角線;一個六邊形有

條對角線;

一個七邊形有

條對角線.

(2)分析探究:由凸n(n>3)邊形的一個頂點出發,可作

條對角線,一個凸n邊形有

條對角線.

(3)應用:一個凸十二邊形有

條對角線.

答案

知識點1

多邊形的有關概念3.[2019云南中考]一個十二邊形的內角和等于(

)A.2160° B.2080°C.1980° D.1800°答案3.D

十二邊形的內角和等于(12-2)×180°=1800°.知識點2多邊形的內角和4.[2021河北承德期末]已知一個多邊形的內角和是900°,這個多邊形的邊數是(

)A.7 B.8 C.9 D.10答案4.A

設這個多邊形的邊數為n(n≥3),則有(n-2)×180°=900°,解得n=7,所以這個多邊形的邊數為7.知識點2多邊形的內角和5.如圖,在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,則∠P=(

)A.50° B.55°C.60° D.65°答案5.C

在五邊形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=240°,又∵DP,CP分別平分∠EDC,∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.知識點2多邊形的內角和6.[2020四川巴中中考]如圖是中國象棋殘局圖的一部分,請用線段將圖中棋子所在的格點按指定方向順次連接,組成一個多邊形.連接順序為將→象→炮→兵→馬→車→將,則組成的多邊形的內角和為

度.

答案6.720

如圖,根據題意,組成的多邊形是六邊形,(6-2)×180°=720°,故組成的多邊形的內角和為720度.知識點2多邊形的內角和7.[教材P153習題A組T4變式]在五邊形ABCDE中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D∶∠E=2∶3∶4∶5∶6,則其中最大內角的度數為

.答案7.162°

設五邊形中五個內角的度數分別為2x,3x,4x,5x,6x,則2x+3x+4x+5x+6x=(5-2)×180°,解得x=27°,所以最大內角的度數為6x=162°.知識點2多邊形的內角和8.已知兩個多邊形的所有內角的和為1800°,且這兩個多邊形的邊數之比為2∶5.求這兩個多邊形的邊數.答案8.解:設這兩個多邊形的邊數分別為2x,5x,則它們的內角和分別為(2x-2)×180°,(5x-2)×180°.依題意可列方程(2x-2)×180°+(5x-2)×180°=1800°,解得x=2,所以2x=4,5x=10.故這兩個多邊形的邊數分別是4和10.知識點2多邊形的內角和9.[2020山東德州中考]如圖,小明從點A出發,沿直線前進8米后向左轉45°,再沿直線前進8米,又向左轉45°……照這樣走下去,他第一次回到出發點A時,共走路程為(

)A.80米 B.96米 C.64米 D.48米答案9.C

根據題意可知,小明需要轉360÷45=8次才會回到出發點A,所以他第一次回到出發點A時一共走了8×8=64(米).知識點3多邊形的外角和10.[2020山東臨沂聯考]一個多邊形的邊數由原來的3增加到n時(n>3,且n為正整數),它的外角和(

)A.增加(n-2)×180°B.減小(n-2)×180°C.增加(n-1)×180°D.沒有改變答案10.D

因為多邊形的外角和等于360°,與邊數無關,所以多邊形的邊數由3增加到n時,其外角和還是360°,保持不變.知識點3多邊形的外角和11.如圖是由射線AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形,若∠1+∠2+∠3+∠4=225°,ED∥AB,則∠1的度數為(

)A.55° B.45° C.35° D.25°答案11.B

由多邊形的外角和等于360°可知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,又∵∠1+∠2+∠3+∠4=225°,∴∠5=135°,∴∠AED=45°.∵ED∥AB,∴∠1=∠AED=45°.知識點3多邊形的外角和12.已知一個多邊形的每個內角都相等,并且每個外角都等于和它相鄰的內角的一半.求這個多邊形是幾邊形.答案

知識點3多邊形的外角和1.[2021河北邯鄲期末]如果一個多邊形的內角和是外角和的5倍,那么這個多邊形的邊數是(

)

A.10 B.11 C.12 D.13答案1.C

設這個多邊形是n邊形,根據題意,得(n-2)·180°=5×360°,解得n=12.2.[2021河北石家莊新華區期末]如圖,沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分,若所得兩個圖形的內角和相等,則符合條件的剪法是(

)A.①② B.①③C.②④ D.③④答案2.B

分析如下:

3.[2021江蘇揚州中考]如圖,點A,B,C,D,E在同一平面內,連接AB,BC,CD,DE,EA,若∠BCD=100°,則∠A+∠B+∠D+∠E=(

)A.220° B.240° C.260° D.280°答案3.D

如圖,連接BD,∵∠BCD=100°,∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°,∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°.

4.[2020浙江金華中考]如圖,平移圖形M,與圖形N可以拼成一個平行四邊形,則圖中α的度數是

°.

答案4.30

如圖,∵平移圖形M,與圖形N可以拼成一個平行四邊形,∴∠D=180°-∠C=60°.∵圖形N是五邊形,∴其內角和為(5-2)×180°=540°,∴∠α=180°-(540°-70°-140°-120°-60°)=30°.

5.[2021浙江麗水中考]一個多邊形過頂點剪去一個角后,所得多邊形的內角和為720°,則原多邊形的邊數是

.

答案5.6或7

設新多邊形的邊數為n,由題意得(n-2)×180°=720°,所以n=6,所以新多邊形為六邊形.如圖,因為過頂點剪去一個角,所以原來的多邊形可以是六邊形,也可以是七邊形.

6.關于n邊形,甲、乙兩位同學的說法如下:甲:五邊形的內角和為520°.乙:七邊形共有14條對角線.(1)判斷兩位同學的說法是否正確,并對其中你認為不對的說法進行說明;(2)若n(n≥3)邊形的對角線共有35條,求該n邊形的內角和.

答案

7.小虎同學在計算某個多邊形的內角和時,所得結果為1840°,老師說他算錯了,于是小虎認真地檢查了一遍,發現漏算了一個內角,則漏算的那個內角是多少度?這個多邊形是幾邊形?答案7.解:設這個內角的度數是x,這個多邊形是n(n≥3)邊形,則0°<x<180°.由題意,得(n-2)×180°-x=1840°,∵n為正整數,∴1840°+x必為180°的整數倍,又∵0°<x<180°,∴n=13,x=140°.答:漏算的那個內角是140°,這個多邊形是十三邊形.

8[2021浙江杭州期末]“轉化”是數學中的一種重要思想,即把陌生的問題轉化成熟悉的問題,把復雜的問題轉化成簡單的問題,把抽象的問題轉化為具體的問題.(1)請你根據已經學過的知識,求出圖1中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數;(2)若截去圖1中星形的一個角,如圖2,求此時∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數;(3)若將圖2中的剩余幾個角也截去,如圖3,請猜想圖3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度數.(只要寫出結論,不需要寫出解題過程)答案8.解:(1)如圖1,易得∠1=∠2+∠D,∠2=∠B+∠E,∠1+∠A+∠C=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)如圖2,易得∠1=∠2+∠F,∠2=∠B+∠E,∠1+∠A+∠C+∠D=(4-2)×180°=36