PAGE1PAGE1專題09概率聚焦考點☆溫習理解一、頻率分布1、頻率分布的意義在許多問題中，只知道平均數和方差還不夠，還需要知道樣本中數據在各個小范圍所占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數據進行整理，以便得到它的頻率分布。2、研究頻率分布的一般步驟及有關概念（1）研究樣本的頻率分布的一般步驟是：①計算極差（最大值與最小值的差）②決定組距與組數③決定分點④列頻率分布表⑤畫頻率分布直方圖（2）頻率分布的有關概念①極差：最大值與最小值的差②頻數：落在各個小組內的數據的個數③頻率：每一小組的頻數與數據總數（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。二、確定事件和隨機事件1、確定事件必然發生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發生的事件。不可能發生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發生，這樣的事件叫做不可能的事件。2、隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。3、隨機事件發生的可能性一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。對隨機事件發生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經驗數據可以預測它們發生機會的大小。要評判一些游戲規則對參與游戲者是否公平，就是看它們發生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發生的可能性的大小是否一樣，用數據來說明問題。三、概率1、概率的意義一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率。2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大寫字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可記為P（A）=P四、確定事件和隨機事件的概率之間的關系1、確定事件概率（1）當A是必然發生的事件時，P（A）=1（2）當A是不可能發生的事件時，P（A）=02、確定事件和隨機事件的概率之間的關系五、古典概型1、古典概型的定義某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現的結構有有限多個；②在一次試驗中，各種結果發生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為P（A）=（1）、列表法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（2）、樹狀圖法就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。六、利用頻率估計概率1、利用頻率估計概率在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。2、在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。3、隨機數在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。名師點睛☆典例分類考點典例一、頻率【例1】下圖是某班45名同學愛心捐款額的頻數分布直方圖（每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值），則捐款人數最多的一個組是（）A.5~10元B.10~15元C.15~20元D.20~25元【答案】C．【分析】∵15﹣20元的有20人，人數最多，∴捐款人數最多的一組是15﹣20元.故選C．【點睛】根據圖形所給出的數據可以看出15﹣20元的有20人，人數最多可得捐款人數最多的一組是15﹣20元.【舉一反三】（2023·遼寧營口）霧霾天氣嚴重影響市民的生活質量．在今年寒假期間，某校八年一班的綜合實踐小組同學對“霧霾天氣的主要成因”隨機調查了所在城市部分市民，并對調查結果進行了整理，繪制了如下不完整的統計圖表，觀察分析并回答下列問題．⑴本次被調查的市民共有多少人?⑵分別補全條形統計圖和扇形統計圖,并計算圖2中區域B所對應的扇形圓心角的度數．⑶若該市有100萬人口，請估計持有A、B兩組主要成因的市民有多少人？【答案】（1）200人；（2）補全統計圖參見解析；108o；（3）75萬人考點：統計調查中結合統計圖表計算問題.考點典例二、確定事件和隨機事件【例2】（2023·湖南長沙）下列說法中正確的是（）A.“打開電視機，正在播《動物世界》”是必然事件B.某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有一張中獎C.拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，出現正面朝上的概率為三分之一D.想了解長沙市所有城鎮居民的人均年收入水平，宜采用抽樣調查【答案】D考點：必然事件與概率的計算、調查的方式.【點晴】隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。【舉一反三】1.（2023巴中）下列說法中正確的是（）A．“打開電視，正在播放新聞節目”是必然事件B．“拋一枚硬幣，正面進上的概率為”表示每拋兩次就有一次正面朝上C．“拋一枚均勻的正方體骰子，朝上的點數是6的概率為”表示隨著拋擲次數的增加，“拋出朝上的點數是6”這一事件發生的頻率穩定在附近D．為了解某種節能燈的使用壽命，選擇全面調查【答案】C．D．為了解某種節能燈的使用壽命，選擇抽樣調查，故本選項錯誤．故選C．考點：1．概率的意義；2．全面調查與抽樣調查；3．隨機事件．2.（2023·遼寧沈陽）下列事件為必然事件的是（）A．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈B．明天一定會下雨C．拋出的籃球會下落D．任意買一張電影票，座位號是2的倍數【答案】C．考點：隨機事件．考點典例三、普查與抽樣調查【例3】（2023.重慶市B卷，第3題，4分）下列調查中，最適宜采用全面調查方式（普查）的是()A．對重慶市中學生每天學習所用時間的調查B．對全國中學生心理健康現狀的調查C．對某班學生進行6月5日式“世界環境日”知曉情況的調查D．對重慶市初中學生課外閱讀量的調查【答案】C【解析】試題分析：使用普查時，調查的數量不能太大，則本題中只有C選項適合使用普查，A、B、D如果采用普查的方式，工作量會很大，一般采用抽樣調查的方式比較好.考點：調查的方式.【點睛】了解普查與抽樣調查適用的條件是解決這類問題的關鍵.【舉一反三】1.（2023.重慶市A卷，第5題，4分）下列調查中，最適合用普查方式的是（）A.調查一批電視機的使用壽命情況B.調查某中學九年級一班學生的視力情況C.調查重慶市初中學生每天鍛煉所用的時間情況D.調查重慶市初中學生利用網絡媒體自主學習的情況【答案】B.故選D．2.（2023廣安）下列說法錯誤的是（）A．“伊利”純牛奶消費者服務熱線是4008169999，該十個數的中位數為7B．服裝店老板最關心的是賣出服裝的眾數C．要了解全市初三近4萬名學生2023年中考數學成績情況，適宜采用全面調查D．條形統計圖能夠顯示每組中的具體數據，易于比較數據之間的差別【答案】C．【解析】試題分析：A．4008169999的中位數是7，正確；B．服裝店老板最關心的是賣出服裝的眾數，正確；C．要了解全市初三近4萬名學生2023年中考數學成績情況，適宜采用抽樣調查，錯誤；D．條形統計圖能夠顯示每組中的具體數據，易于比較數據之間的差別，正確；故選C．考點：1．中位數；2．全面調查與抽樣調查；3．統計圖的選擇；4．眾數．考點典例四、概率【例4】（2023遂寧）一個不透明的布袋中，放有3個白球，5個紅球，它們除顏色外完全相同，從中隨機摸取1個，摸到紅球的概率是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】試題分析：根據題意可得：一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球，從中隨機摸出一個，則摸到紅球的概率是=．故選A．考點：概率公式．【點睛】根據概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率．【舉一反三】1.（2023南充）如圖是一個可以自由轉動的正六邊形轉盤，其中三個正三角形涂有陰影，轉動指針，指針落在有陰影的區域內的概率為a，如果投擲一枚硬幣，正面向上的概率為b，關于a、b大小的正確判斷是（）A．a＞bB．a=bC．a＜bD．不能判斷【答案】B．考點：幾何概率．2.（2023山東泰安，第6題）（3分）如圖，在方格紙中，隨機選擇標有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的概率是（）A．B．C．D．【答案】C．考點：1．概率公式；2．軸對稱圖形．考點典例五、頻率估計概率【例5】在大量重復試驗中，關于隨機事件發生的頻率與概率，下列說法正確的是（） A． 頻率就是概率 B． 頻率與試驗次數無關 C． 概率是隨機的，與頻率無關 D． 隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率【答案】D.【解析】∵大量重復試驗事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近，可以用這個常數估計這個事件發生的概率，∴A、B、C錯誤，D正確．【點睛】大量重復試驗事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近，可以用這個常數估計這個事件發生的概率.【舉一反三】1.下列說法中正確的個數是（）①不可能事件發生的概率為0；②一個對象在實驗中出現的次數越多，頻率就越大；③在相同條件下，只要試驗的次數足夠多，頻率就可以作為概率的估計值；④收集數據過程中的“記錄結果”這一步，就是記錄每個對象出現的頻率．A．1B．2C．3D【答案】C．【解析】2.（2023綿陽）要估計魚塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中打撈了50條魚，在每條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈出100條魚，發現只有兩條魚是剛才做了記號的魚．假設魚在魚塘內均勻分布，那么估計這個魚塘的魚數約為（）A．5000條B．2500條C．1750條D．1250條【答案】B．【解析】試題分析：由題意可得：50÷=2500（條）．故選B．考點：用樣本估計總體．課時作業☆能力提升一．選擇題1．（2023綿陽）要估計魚塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中打撈了50條魚，在每條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈出100條魚，發現只有兩條魚是剛才做了記號的魚．假設魚在魚塘內均勻分布，那么估計這個魚塘的魚數約為（）A．5000條B．2500條C．1750條D．1250條【答案】B．【解析】試題分析：由題意可得：50÷=2500（條）．故選B．考點：用樣本估計總體．2.（2023.山東威海，第10題，3分）甲、乙兩布袋裝有紅、白兩種小球，兩袋裝球總數量相同，兩種小球僅顏色不同．甲袋中，紅球個數是白球個數的2倍；乙袋中，紅球個數是白球個數的3倍，將乙袋中的球全部倒入甲袋，隨機從甲袋中摸出一個球，摸出紅球的概率是（）A.B.C.D.【答案】C考點：概率的計算.3.（2023.河北省，第13題，2分)將一質地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點數，與點數3相差2的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：與點數3相差2的點由1或5，所以概率P=.故選：B考點:列舉法求概率4.下列說法中不正確的是（） A． 拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件 B． 把4個球放入三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件 C． 任意打開七年級下冊數學教科書，正好是97頁是確定事件 D． 一個盒子中有白球m個，紅球6個，黑球n個（每個除了顏色外都相同）．如果從中任取一個球，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，那么m與n的和是6【答案】C．【解析】試題分析：A．拋擲一枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機事件，此說法正確；B．把4個球放入三個抽屜中，其中一個抽屜中至少有2個球是必然事件，此說法正確；C．任意打開七年級下冊數學教科書，正好是97頁是不確定事件，故此說法錯誤；D.，取得的是紅球的概率與不是紅球的概率相同，所以m+n=6，此說法正確．故選C．考點：1.隨機事件；2.概率公式.5.(2023·湖北武漢，8題，3分）下面的折線圖描述了某地某日的氣溫變化情況，根據圖中信息，下列說法錯誤的是（）A．4:00氣溫最低 B．6:00氣溫為24℃ C．14:00氣溫最高 D．氣溫是30℃【答案】D【解析】試題分析：根據折線統計圖可得：4:00氣溫最低；6:00的氣溫為24℃；14:00時氣溫最高；氣溫是30考點：折線統計圖．6.（2023攀枝花）2023年我市有1.6萬名初中畢業生參加升學考試，為了了解這1.6萬名考生的數學成績，從中抽取2023名考生的數學成績進行統計，在這個問題中樣本是（）A．1.6萬名考生B．2023名考生C．1.6萬名考生的數學成績D．2023名考生的數學成績【答案】D．【解析】試題分析：2023年我市有近1.6萬名考生參加升學考試，為了了解這1.6萬名考生的數學成績，從中抽取2023名考生的數學成績進行統計分析，在這個問題中抽取的2023名考生的數學成績為樣本．故選D．考點：總體、個體、樣本、樣本容量．二、填空題7.（2023·湖南長沙）一個不透明的袋子中裝有3個黑球，2個白球，這些球的形狀、大小、質地完全相同，即除顏色外無其他差別，在看不見球的條件下，隨機從袋中摸出1個球，則摸出白球的概率是。【答案】【解析】試題分析：白球的概率=白球的數量÷球的總數量，P(摸出白球)=2÷(3+2)=.考點：概率的計算.8（2023·湖南益陽）甲、乙、丙三位好朋友隨機站成一排照合影，甲沒有站在中間的概率為．【答案】考點：列表法與樹狀圖法9.下列事件：①隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數；②測得某天的最高氣溫是100℃③擲一次骰子，向上一面的數字是2；④度量四邊形的內角和，結果是360°．其中是隨機事件的是．（填序號）【答案】①③．【解析】試題分析：隨機事件就是可能發生也可能不發生的事件，依據定義即可判斷：①隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數，是隨機事件；②測得某天的最高氣溫是100℃，是不可能事件；③擲一次骰子，向上一面的數字是2，④度量四邊形的內角和，結果是360°，是必然事件．故隨機事件是①③．考點：隨機事件．10.（2023.山東濟南，第19題,3分）小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，每一塊方磚的除顏色外完全相同，它最終停留在黑色方磚上的概率是．【答案】【解析】試題分析：觀察這個圖形可知：黑色區域（4塊）的面積占總面積（9塊）的，則它最終停留在黑色方磚上的概率是；故答案為：．考點：幾何概率．11.（山東煙臺，第15題，3分）如圖，有四張不透明的卡片除正面的函數關系式不同，其余相同，將它們背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張卡片，則抽到函數圖像不經過第四象限的卡片的概率為____________。【答案】考點：函數的圖形與性質，概率12.（山東淄博，第6題，4分）某超市為了吸引顧客，設計了一種促銷活動：在一個不透明的箱子里放有4個相同的小球，球上分別標有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字樣．規定：顧客在本超市一次性消費滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個小球（每一次摸出后不放回）．某顧客剛好消費200元，則該顧客所獲得購物券的金額不低于30元的概率（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】試題分析：列表：從上表可以看出，共有12種可能結果，其中大于或等于30元共有8種可能結果，因此P（不低于30元）==．故答案選C.考點：列表法與樹狀圖法求概率．三、解答題13..(2023·湖北衡陽，22題，分)（本小題滿分6分）為了進一步了解義務教育階段學生的體質健康狀況，教育部對我市某中學九年級的部分學生進行了體質揣測．體質揣測的結果分為四個等級：優秀、良好、合格、不合格；根據調查結果繪制了下列兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖提供的信息回答以下問題：（1）在扇形統計圖中，“合格“的百分比為．（2）本次體質抽測中，抽測結果為“不合格“等級的學生有人．（3）若該校九年級有400名學生，估計該校九年級體質為“不合格“等級的學生約有人．【答案】（1）40%．（2）16．（3）128．【解析】試題分析：（1）用單位1減去“不合格”、“優秀”、“良好”的百分比，就是“合格”的百分比；（2）根據“優秀”的人數和占的百分比計算總人數，再利用“不合格”人數所占的百分比，計算不合格的人數.（3）利用樣本中“不合格“等級的學生所占的百分比和九年級學生人數，來估計該校九年級體質為“不合格“等級的學生人數即可.考點：1扇形統計圖；2條形統計圖；3用樣本估計總體14.（2023成都）（本小題滿人8分）國務院辦公廳在2023年3月16日發布了《中國足球發展改革總體方案》，這是中國足球史上的重大改革，為進一步晉及足球知識，傳播足球文化，我市某區在中小學舉行了“足球在身邊”知識競賽活動，各類獲獎學生人數的比例情況如圖所示，其中獲得三等獎的學生共50名，請結合圖中信息，解答下列問題：（1）求獲得一等獎的學生人數；（2）在本次知識競賽活動中，A，B，C，D四所學校表現突出，現決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場足球友誼賽，請用樹狀圖或列表的方法求恰好達到A，B兩所學校的概率．【答案】（1）30人；（2）．【解析】試題分析：（1）先由三等獎求出總人數，再求出一等獎人數所占的比例，即可得到獲得一等獎的學生人數；（2）用列表法求出概率．試題解析：（1）由圖可知三等獎占總的25%，總人數為人，一等獎占，所以，一等獎的學生為人；（2）列表：從表中我們可以看到總的有12種情況，而AB分到一組的情況有2種，故總的情況為．考點：1．扇形統計圖；2．列表法與樹狀圖法．15.（2023·遼寧營口）某化妝品專賣店，為了吸引顧客，在“母親節”當天舉辦了甲、乙兩種品牌化妝品有獎酬賓活動，凡購物滿88元，均可得到一次搖獎的機會．已知在搖獎機內裝有2個紅球和2個白球，除顏色外其它都相同，搖獎者必須從搖獎機中一次連續搖出兩個球，根據球的顏色決定送禮金券的多少（如下表）：甲種品牌化妝品球兩紅一紅一白兩白禮金卷（元）6126乙種品牌化妝品球兩紅一紅一白兩白禮金卷（元）12612（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求一次連續搖出一紅一白兩球的概率；（2）如果一個顧客當天在本店購物滿88元，若只考慮獲得最多的禮品卷，請你幫助分析選擇購買哪種品牌的化妝品？并說明理由．【答案】(1)；(2)選擇購買甲，理由參見解析.【解析】試題分析：(1)將球的顏色編號，列樹形圖時相當于第一個球抽完不放回，兩次抽完共有12種等可能結果，看一紅一白的結果有多少種，對應求出概率；（2）根據概率把購買甲和乙的禮金券錢數求出來，比較大小，確定購買哪種品牌的化妝品.試題解析：（1）用樹狀圖列出所有可能的結果：紅1紅1紅2白1白2開始紅2白1白2紅1白1白2紅1紅2白2紅1紅2白1由樹狀圖可知，所有可能出現的結果共有12種，且每種結果出現的可能性相同，其中恰好連續搖出一紅一白的結果有8種，所以P(一紅一白)=．∴一次連續搖出一紅一白兩球的概率為．（2）若顧客在本店購物滿88元，由(1)得：P(兩紅)=，P