§7.3空間點、直線、平面之間的位置關系考試要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．知識梳理1．基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個”推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：在同一平面內，有且只有一個公共點；,平行直線：在同一平面內，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點.))4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內a?α無數個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l無數個5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).常用結論1．過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．2．分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)(2)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種．(×)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(×)(4)兩兩相交的三條直線共面．(×)教材改編題1．(多選)如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列說法正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BM成60°角C．CN與BE是異面直線D．DM與BN是異面直線答案BD解析正方體的直觀圖如圖所示．很顯然，BM與ED不平行，故A錯誤；連接AN，AC，易知△ACN是等邊三角形，CN與BM所成角即為∠ANC＝60°，故B正確；連接BE，易知CN∥BE，故C錯誤；連接BN，DM，易知DM與BN是異面直線，故D正確．2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．不可能是平行直線D．不可能是相交直線答案C解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)由題意知，EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.題型一基本事實的應用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．證明(1)如圖所示，連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F，E四點共面．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．(3)因為EF∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內．(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．跟蹤訓練1(1)如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必經過()A．點AB．點BC．點C但不過點MD．點C和點M答案D解析因為AB?γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據基本事實3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．所以γ與β的交線必經過點C和點M.(2)如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，FD的中點．①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F，E四點是否共面？為什么？①證明由題設知，因為G，H分別為FA，FD的中點，所以GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD，又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，故GH∥BC且GH＝BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形．②解C，D，F，E四點共面．理由如下：由BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G是FA的中點知BE∥GF且BE＝GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由①知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面．又點D在直線FH上，所以C，D，F，E四點共面．題型二空間位置關系的判斷命題點1空間位置關系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A．M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案ABD解析對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l?α，A∈l，但A∈α，C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D正確．(2)(2023·龍巖模擬)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面答案D解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，①若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線B1A1記為直線c，此時a和c相交；②若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線DD1記為直線c，此時a和c平行；③若直線AA1記為直線a，直線BC記為直線b，直線C1D1記為直線c，此時a和c異面．命題點2異面直線所成的角例3(1)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(6),6)答案D解析如圖，過點E作圓柱的母線交下底面于點F，連接AF，易知F為的中點，設四邊形ABCD的邊長為2，則EF＝2，AF＝eq\r(2)，所以AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6).連接ED，則ED＝eq\r(6).因為BC∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD(或其補角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),6).(2)(2022·長春模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為BC，A1B1的中點，則異面直線PQ與A1C1所成角的正弦值為()A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(3),3)答案C解析如圖，取AB的中點M，連接QM，MP，AC，設正方體的棱長為2，由于M，P分別為AB，BC的中點，則MP∥AC，又在正方體中，AC∥A1C1，因此可得A1C1∥MP，故∠QPM(或其補角)即為異面直線PQ與A1C1所成角，因為QM∥AA1，所以QM⊥平面ABCD，因為MP?平面ABCD，所以QM⊥MP，在Rt△QMP中，sin∠QPM＝eq\f(QM,QP)＝eq\f(2,\r(22＋\r(2)2))＝eq\f(\r(6),3).所以異面直線PQ與A1C1所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3).思維升華(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補形法在該幾何體的某側補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應的位置，形成三角形求解跟蹤訓練2(1)(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，以下四個選項正確的是()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線答案CD解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內，直線CC1在平面CDD1C1內，CC1不過點M，所以直線AM與CC1是異面直線，故A錯；取DD1的中點E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯；因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內，點M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確．(2)(2023·莆田模擬)若正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面邊長為1，高為eq\r(6)，則直線AE1和EF所成的角大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案C解析由題意，EF∥E1F1，則∠AE1F1即為所求．由于AE1＝3，E1F1＝1，AF1＝eq\r(7)，∴cos∠AE1F1＝eq\f(AE\o\al(2,1)＋E1F\o\al(2,1)－AF\o\al(2,1),2AE1·E1F1)＝eq\f(9＋1－7,2×3×1)＝eq\f(1,2)，∴∠AE1F1＝eq\f(π,3)，即直線AE1和EF所成的角大小為eq\f(π,3).(3)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖所示，過點A補作一個與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.∵△AF1E為正三角形，∴sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).題型三空間幾何體的切割(截面)問題例4(1)正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分別是AB，AD，B1C1，C1D1的中點，則正方體過P，Q，E，F的截面圖形的形狀是()A．正方形 B．平行四邊形C．正五邊形 D．正六邊形答案D解析如圖所示，由EF∥PQ，可以確定一個平面，這個平面與正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分別交于M，N，連接FN，NQ，PM，ME，由正方體的性質得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，∴正方體過P，Q，E，F的截面圖形的形狀是正六邊形．(2)如圖，圓錐VO的母線長為l，軸截面VAB的頂角∠AVB＝150°，則過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面VCD，則△VCD面積的最大值是________，此時∠VCD＝________.答案eq\f(1,2)l245°解析過此圓錐的頂點作該圓錐的任意截面VCD，則△VCD面積取最大值時是等腰直角三角形，此時S△VCD＝eq\f(1,2)·l2·sin90°＝eq\f(1,2)l2，此時∠VCD＝45°.思維升華(1)作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．跟蹤訓練3(1)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和C1C上(異于端點)，則過三點A，F，E的平面被正方體截得的圖形(截面)可能是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形答案ABD解析當BE＝CF時，截面是矩形；當2BE＝CF時，截面是菱形；當BE>CF時，截面是梯形；截面不可能是正方形．(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．答案eq\f(9,2)解析如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，設等腰梯形MNDB的高為h，則h＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).課時精練1．若直線上有兩個點在平面外，則()A．直線上至少有一個點在平面內B．直線上有無窮多個點在平面內C．直線上所有點都在平面外D．直線上至多有一個點在平面內答案D解析根據題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內．2．(多選)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點共面的圖形是()答案ABC解析在A中分別連接PS，QR，易證PS∥QR，所以P，Q，R，S四點共面；在B中過點P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點共面；在C中分別連接PQ，RS，易證PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS與QR為異面直線，所以四點不共面．3．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直線，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，則()A．P∈c B．P?cC．c∩a＝? D．c∩β＝?答案A解析如圖，因為a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因為α∩β＝a，β∩γ＝b，所以P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，所以P∈c.4．在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是的中點，F是AB的中點，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線答案D解析如圖，由題意知，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是的中點，F是AB的中點，AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與EF是異面直線，故A，B錯誤；又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF，故C錯誤．5．(多選)用一個平面截正方體，截面可能出現的形狀是()A．等邊三角形 B．直角梯形C．菱形 D．五邊形答案ACD解析如圖，用一個平面截正方體，結合選項知截面可能出現的形狀是等邊三角形，菱形，五邊形．6．(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).方法二以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(2,0，－2)．設直線PB與AD1所成的角為θ，則cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AD1,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6())||\o(AD1,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|－6|,\r(6)×\r(8))＝eq\f(\r(3),2).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6).方法三如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角．根據P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).7.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．答案3解析畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對．8.如圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直．則這兩個四棱柱的表面相交的交線段總長度為________．答案8eq\r(6)解析由題可知，這兩個四棱柱的表面相交的交線段由8條長度相等的線段構成，如圖所示，選取一個側面進行分析，其中AC，AB均為交線段，且AC＝AB，BC為底面的對角線長，D為BC的中點，∴AD＝2，CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴所求的交線段總長度為8×eq\r(6)＝8eq\r(6).9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明(1)因為E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四點共面．(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．10.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2·AD·DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).11．(多選)(2023·朝陽模擬)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，則()A．AB⊥CDB．三棱錐A－BCD的體積為eq\f(2,3)C．三棱錐A－BCD外接球半徑為eq\r(6)D．異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)答案ABD解析將三棱錐補形為長方體，如圖所示．其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，連接MF，則AM∥BF，AM＝BF，所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以AB∥MF，又四邊形MCFD為正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；長方體的體積V1＝1×1×2＝2，三棱錐E－ABC的體積V2＝V三棱錐A－BEC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3)，同理，三棱錐N－ABD，三棱錐F－BCD，三棱錐M－ACD的體積也為eq\f(1,3)，所以三棱錐A－BCD的體積V＝2－4×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B正確；長方體的外接球的直徑為eq\r(12＋12＋22)＝eq\r(6)，所以長方體的外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，長方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，所以三棱錐A－BCD外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，故C錯誤；連接MN，交AD于點O，因為MN∥BC，所以∠AOM(或其補角)為異面直線AD與BC所成的角，由已知OA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(5),2)，OM＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(\r(5),2)，AM＝2，所以cos∠AOM＝eq\f(\f(5,4)＋\f(5,4)－4,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝－eq\f(3,5)，所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)，故D正確．12.如圖，E，F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點，若AB＝6，則過A，E，F三點的截面的面積為()A．9eq\r(2)B．18eq\r(2)C.eq\f(21\r(17),2)D.eq\f(27\r(17),2)答案C解析連接EF，作直線EF分別與直線DC，DD1的延長線相交于點P，Q，連接AP交BC于點M，連接AQ交A1D1于點N，連接NF，ME.則五邊形AMEFN即為過A，E，F三點的截面，如圖所示．由題意知AP＝AQ＝3eq\r(13)，PQ＝9eq\r(2)，∴S△APQ＝eq\f(27\r(17),2)，又ME∥AQ，且eq\f(ME,AQ)＝eq\f(1,3)，∴S△MPE＝S△QNF＝eq\f(1,9)S△APQ，∴S五邊形AMEFN＝eq\f(7,9)S△APQ＝eq\f(21\r(17),2).13．(2022·南陽模擬)如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F分別為線段AD，BC上的點，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，則AB與CD所成角的大小為________．答案60°解析在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，∵eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，又eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)，則GF∥CD，∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成角，在△EGF中，EG＝eq\f(2,3)AB＝2，GF＝eq\f(1,3)CD＝1，EF＝eq\r(7)，∴cos∠EGF＝eq\f(22＋12－\r(7)2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.14．已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝