常微分方程可降階的高階微分方程演示文稿當前第1頁\共有34頁\編于星期二\22點常微分方程可降階的高階微分方程當前第2頁\共有34頁\編于星期二\22點

前一章介紹了一些一階微分方程的解法,在實際的應用中，還會遇到高階的微分方程，在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程,即高階微分方程的求解方法和理論.當前第3頁\共有34頁\編于星期二\22點3.1可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是:

當時,統稱為高階微分方程.一、可降階的高階方程1、不顯含未知函數的方程(3.1.2)

不顯含未知函數x或不顯含未知函數及其直到階導數的方程是當前第4頁\共有34頁\編于星期二\22點對上式進行k次積分,可求出方程(3.1.2)的解.求解方法:

若能求得其通解為:令

就可把(3.1.2)化為關于

的

階方程:

即(3.1.2)

當前第5頁\共有34頁\編于星期二\22點例

求解方程解將方程積分三次,通解：當前第6頁\共有34頁\編于星期二\22點它是一個一階方程,通解是:則方程可化為:即解:令例、求解方程積分四次,得原方程的通解為:

當前第7頁\共有34頁\編于星期二\22點例

解方程

解令代入原方程,當前第8頁\共有34頁\編于星期二\22點2、不顯含自變量t的方程求解方法:方程的一般形式為:作為新未知函數,用而把作為新的自變量,因為(3.1.3)當前第9頁\共有34頁\編于星期二\22點由數學歸納法知,

可用

來表達,將這些表達式代入

(3.1.3)可得

(3.1.3)即有新方程:

它比原來的方程降低了一階.

當前第10頁\共有34頁\編于星期二\22點解代入原方程例可分離變量方程當前第11頁\共有34頁\編于星期二\22點所以例求解方程從而可得及于是原方程化為:作為新未知變量,取代入原變量得:故原方程的解為:當前第12頁\共有34頁\編于星期二\22點3、全微分方程和積分因子若方程的左端是某個n-1階微分表達式對t的全導數，即

稱(3.1.4)為全微分方程，顯然有

(3.1.4)(3.1.5)當前第13頁\共有34頁\編于星期二\22點若求得（）的全部解:

則它也一定是(3.1.4)的解.后就成為全微分方程.稱其為方程(3.1.4)的積分本身不是全微分方程,有時方程(3.1.4)積分因子:但乘以一個合適的因子因子.(3.1.4)(3.1.5)當前第14頁\共有34頁\編于星期二\22點例

求解方程解：原方程可以寫成即積分后得通解為故有當前第15頁\共有34頁\編于星期二\22點例

求解方程解:

方程兩邊乘以因子方程化為:

故有

解得

故原方程的解為

顯然也是原方程的解.當前第16頁\共有34頁\編于星期二\22點微分方程滿足條件的特解是或解可分離變量方程即練習當前第17頁\共有34頁\編于星期二\22點求微分方程的積分曲線,使該積分曲線過點且在該點的切線斜率為2.解方程代入方程,得所求積分曲線為練習當前第18頁\共有34頁\編于星期二\22點

思考題解積分方程過曲線y=f(x)上點(x,f(x))處的切線方程為當前第19頁\共有34頁\編于星期二\22點積分方程兩邊對x求導,即代入上式,得可分離變量方程可降階的高階微分方程òxttfxy0,d)(1軸上的截距等于的切線在)]()([d)(0xfxxfxttfx￠-=ò當前第20頁\共有34頁\編于星期二\22點可分離變量方程分離變量并積分得再積分,得即為所求.可降階的高階微分方程當前第21頁\共有34頁\編于星期二\22點4、可降階的高階方程的應用舉例例１、追線問題速度v運動，方向永遠指向P點,

求M點的運動在軸上有一點P以常速度a沿著軸平面上另有一點M,它以常正向移動;在

軌跡.解:

首先我們建立點M運動時所滿足的微分方程模型.以記點M在時刻t的坐標，以X記點P在時刻t的橫坐標，表示P點在t=0的橫坐標,當前第22頁\共有34頁\編于星期二\22點圖3.1根據條件有:

（3.1.7）（3.1.6）（3.1.8）把（3.1.6）代入（3.1.8），并記上式兩邊關于作為自變量，把求導得得:當前第23頁\共有34頁\編于星期二\22點由（）和（）得到M的追線方程

又由得:（3.1.10）（3.1.11）（）即當前第24頁\共有34頁\編于星期二\22點例２、懸鏈線問題有一繩索懸掛在A和B兩點(不一定是在同一水平線),如圖3.2所示.設繩索是均勻的,柔軟的,僅受繩本身的重量作用,它彎曲如圖中的形狀,試確定該繩索在平衡狀態時的形狀.解:設C是其最低點,選取坐標系如圖中所示,且軸通過C點.ABCO圖3.2當前第25頁\共有34頁\編于星期二\22點ABCO圖3.2考慮繩索在最低點C與點之間的一段,這一段在下面三個力的作用下平衡:(1)在點P的張力T,方向沿著P點的切線方向;(2)在點C的水平張力H;(3)CP段的垂直的重量,記為,設它作用在某一點Q處,不一定是CP的中心,見圖3.3,TQCH圖3.3當前第26頁\共有34頁\編于星期二\22點現將張力Ｔ分解為兩個分力：，垂直方向分力為水平方向分力為按平衡關系有：兩式相除，并利用關系式得：TQCH圖3.3由于平衡關系,這些力在軸(水平)方向的代數和為0,在軸(垂直)方向的代數和也必須為0.當前第27頁\共有34頁\編于星期二\22點Ｈ是在最低點處的張力，是常數，但依賴于,將上式兩邊對微分得則有．其中Ｓ表示從Ｃ點算起的弧長，（3.1.1６）其中表示在水平方向上，每增加單位距離時，ＣＰ段弧所增加的重量．為設繩索的密度TQCH圖3.3當前第28頁\共有34頁\編于星期二\22點或又由于故從而方程（3.1.16）化為：（3.1.1７）（６）當前第29頁\共有34頁\編于星期二\22點目前的跳遠世界記錄是Mikepowell在1991年創造的，成績是8.95m.但我們最感興趣的是BobBeamon在1968年于墨西哥城奧運會上創造的當時世界記錄，成績是8.90m．這個成績超過以前記錄55cm.有人認為部分原因是由于墨西哥城空氣的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的空氣對跳遠者意味著有較小的空氣阻力．試建立微分方程模型來論述這種解釋是否合理．例BobBeamon的跳遠記錄當前第30頁\共有34頁\編于星期二\22點解例

設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發射制導導彈,

如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數)沿平行于y軸的目標的跟蹤問題

導彈頭始終對準乙艦.直線行駛,導彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中?設導彈的軌跡曲線為并設經過時間t,導彈位于點P(x,y),乙艦位于點

Q(1,v0t)

由于導彈頭始終對準乙艦,直線PQ就是導彈的軌跡曲線弧OP在點P處的切線,求導彈運行的曲線方程.當前第31頁\共有34頁\編于星期二\22點

即如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數)沿平行于y軸的直線行駛,導彈的速度是5v0,

弧OP的長度為|AQ|的5倍,

即(1)(2)

由(1)式與(2)消去v0t就得

積分方程(3)當前第32頁\共有34頁\編于星期二\22點

積分方程(3)