宏觀強度理論基礎演示文稿當前第1頁\共有66頁\編于星期日\21點1.1.1彈性變形1、簡單加載下的彈性變形純拉伸時：純剪切時：泊松比：剪切彈性模量：正彈性模量：三個彈性常數之間的關系：彈性變形－施加外力即刻產生、去除外力即刻回復的變形。其特征為：變形量與作用力呈單值、唯一正比關系，與加載路徑無關；變形是瞬時達到的，與時間無關。當前第2頁\共有66頁\編于星期日\21點2、復雜加載下的彈性變形－廣義虎克定律1）普遍表達式

在①連續、②均勻、③無初應力、④變形微小的基本假設下，可推導出表示線彈性固體中任意一點的應力－應變關系的廣義虎克定律。由連續性假設當前第3頁\共有66頁\編于星期日\21點1）普遍表達式（續1）

在變形微小的假設下，將上式在εij

=0處展開成Tailor級數，并略去二次方及以上的項：…………………………在無初應力的假設下，當εij

=0時，σij

=0，于是有：f(0,0,…,0)=0，則有：式中，｛σ｝和｛ε｝均為6階列矢量，[Cij]為6×6階方陣，且有：當前第4頁\共有66頁\編于星期日\21點1）普遍表達式（續2）

由均勻性假設可知，若各點應力狀態相同，則必對應相同的應變狀態；反之亦然。這說明Cij為常數，稱為剛度系數，即上式為線性關系，此即廣義Hooke定律：廣義Hooke定律的應變表達式：式中，Sij

稱為柔度系數，可由剛度系數求逆得到，即：當前第5頁\共有66頁\編于星期日\21點2）剛度系數的對稱性以應變能密度表示應力－應變關系：由廣義Hook定律的第一式，得：再將此式對εyy

求偏導，得：同樣對廣義Hook定律的第二式處理可得：因偏導數與微分順序無關，故：線彈性體單位體積應變能：當前第6頁\共有66頁\編于星期日\21點3）彈性對稱性

在彈性體內，若過每一點的不同方向的彈性都不相同，則稱為各向異性，Cij

有21個；若過每一點的不同方向的彈性都相同，則稱為各向同性，獨立的Cij

有2個。而介于二者之間的則具有某類彈性對稱性。所謂彈性對稱面：是指過物體中的每一個點都有這樣一種平面，相對于該平面的對稱方向上，彈性相同。垂至于彈性對稱面的軸稱為彈性主軸。由彈性對稱面的定義可知，當把彈性主軸倒置時，應具有相同的應力－應變關系，即Cij不會改變。然而，應變能W是應變的單值、標量函數，不會因坐標的改變（彈性軸倒置）而改變其量值，但是當坐標軸倒置后，某些應變分量將變號，因此會限制某些剛度系數的取值。當前第7頁\共有66頁\編于星期日\21點應變能密度展開式當前第8頁\共有66頁\編于星期日\21點（1）有一個彈性對稱面（xoy面）將z

軸倒置成

z′軸，有z′=-z，w=-w′，考察與z′有關的應變分量：為保證應變能W值不變，含εyz

和εzx

一次方的項前的彈性常數必須為0，即：

剛度系數減少了8個，僅剩下13個。u、ν、ω分別為x、y、z軸方向上的位移分量一個彈性對稱面，13個剛度系數當前第9頁\共有66頁\編于星期日\21點（2）有三個相互垂直的對稱面－正交異性沿用上述方法，取x、y、z

三軸為彈性主軸，則：首先將z

軸倒置后有：其次將y

軸倒置，因εyz

變號有：（已有）

因εxy

變號有：（新增）最后將x

軸倒置，但不會得到新的為0的系數。故在正交各向異性狀態下，彈性常數減少了12個，只剩下9個：拉壓－剪切耦合（交叉效應）出面剪切耦合兩個或者三個互相垂直的彈性對稱面，都是9個剛度系數當前第10頁\共有66頁\編于星期日\21點（3）橫觀各向同性定義：若過物體每一個點都有這樣一種平面，在此面內的各個方向上彈性相同，則此面稱為橫觀各向同性面。另外，x、y

軸不論轉過任何角度，應力－應變關系都保持相同，可得：因此，獨立的彈性常數僅剩下5個：設xoy

面為橫觀各向同性面，當εxx

和εyy

互換，以及εyz

和εzx

互換時，應有：當前第11頁\共有66頁\編于星期日\21點（4）完全各向同性任意方向都是彈性主方向，既有：此時，獨立的彈性常數僅剩下2個：C11

和C12：當前第12頁\共有66頁\編于星期日\21點4）廣義Hook定律的工程表示法在各向同性條件下，令：則廣義Hooke定律可寫成工程上廣泛應用的形式：當前第13頁\共有66頁\編于星期日\21點1.1.2粘彈性變形1、粘性流動σεdε/dtttσt1t1概念：在很小外力下便會發生，且在外力去除后不會恢復的流動。特點：屈服值為0；變形不僅取決于應力，同時依賴于應力作用的時間；1）Newton流動當前第14頁\共有66頁\編于星期日\21點2）非Newton流動賓漢流動假塑性流動（切變變稀）切變增稠流動在非Newton流動區，可用指數方程來描述流動規律：式中，n為非Newton指數，其值愈低，愈呈假塑性；n=1時，即為Newton流體。當前第15頁\共有66頁\編于星期日\21點2、粘彈性變形1）Maxwell模型

粘彈性變形是粘性變形和彈性變形的混合變形，因此，常用代表彈性變形的彈簧元件和代表粘性變形的活塞元件組合起來構筑描述粘彈性體的本構方程。

屬兩元件串連模型，其特點為：兩元件中應力相等，且等于總應力；兩元件應變不等，且非同時產生，總應變為當前第16頁\共有66頁\編于星期日\21點Maxwell模型本構關系

在恒應力σ0作用t1時間后，總變形為：

式中，J(t)稱為蠕變柔量，是時間的線性函數。總應變速率為：

在恒應變時，應力將松弛：，則有：積分得：式中，稱為松弛常數。經無限長時間后，應力將僅由彈簧變形決定。當前第17頁\共有66頁\編于星期日\21點2）Voigt-Kelvin模型

屬兩元件并聯模型：兩元件等應變，且等于總應變；總應力等于兩元件應力之和。或：當前第18頁\共有66頁\編于星期日\21點3）三元件模型1彈簧＋2活塞

2彈簧＋1活塞1彈簧＋Maxwell組合件（并聯）；1彈簧＋V-K組合件（串連）

在該模型中，總應變ε為彈簧應變ε1及V-K組件應變ε2

之和，而總應力為V-K組件中兩元件應力之和。則有：而：代入前式得：當前第19頁\共有66頁\編于星期日\21點4）Zener模型－標準線性固體組成：Maxwell組件和Voigt組件串聯而成。思路：高聚物的變形是由三部分組成的：瞬時完成的普彈性變形，可用彈簧來E1模擬；鏈段伸展的高彈性變形，可以用彈簧E2和活塞η2并聯起來去模擬；高分子相互滑移引起的粘性變形，這種變形隨時間線性發展，可以用一個活塞η3模擬。

用此模型描述線性高聚物的蠕變過程特別合適。蠕變過程中，因而高聚物的總變形為

當前第20頁\共有66頁\編于星期日\21點Zener模型模擬的蠕變曲線及驗證當前第21頁\共有66頁\編于星期日\21點5）廣義Maxwell模型

取任意多個Maxwell

組件并聯而成，讓每個單元由不同模量的彈簧和不同粘度的活塞組成，因而具有不同的松弛時間，當模型在恒定應變時，其應力應為諸單元應力之和，即

而應力松弛模量為

當n→∞時，上式可寫成積分形式

式中，f(τ)稱為松弛時間譜。

當前第22頁\共有66頁\編于星期日\21點廣義Maxwell模型驗證2個Maxwell單元并聯組合模型應力松弛行為聚異丁烯（25℃）應力松弛疊合曲線當前第23頁\共有66頁\編于星期日\21點6）廣義Voigt-Kelvin模型

廣義Voigt模型是取任意多個Voigt單元串聯而成，如右圖。假設其第i個單元的彈簧模量為Ei，松弛時間為τi，則在拉伸蠕變時，其總變形應為全部Voigt單元形變的加和，即

蠕變柔量為

當前第24頁\共有66頁\編于星期日\21點3、三維粘彈性變形

若設想彈簧和活塞可沿三軸方向變形，便可以推廣建立Maxwell固體的三維本構關系。彈簧的應變率可由廣義Hooke定律對時間微分得到，粘性變形與塑性變形一樣，可假設體積不變，即泊松比為0.5，則將彈簧與活塞應變率相加可得：當前第25頁\共有66頁\編于星期日\21點1.1.3塑性變形

當受力物體中的某一點的應力滿足屈服條件時，該點進入塑性變形階段。對于大多數材料，總是先經過彈性變形，再過渡到塑性變形，所以合稱為彈塑性變形。塑性變形最顯著的兩個特點是：應力－應變為非線性關系；應力－應變關系的不唯一性。應變不僅與應力狀態有關，而且與達到該應力狀態的途經（即變形歷史）有關，應變不能單值地由應力唯一確定。當前第26頁\共有66頁\編于星期日\21點1、單向應力下的幾種理想模型1）理想剛塑性

僅適合于材料塑性變形量很大，且強化程度很低的狀況。剛性（無變形）無強化塑性流動2）理想彈塑性ε≤εs

時ε＞εs

時無強化塑性流動理想（線）彈性當前第27頁\共有66頁\編于星期日\21點3）剛塑性線性強化式中，E1－塑性模量。剛性（無變形）線性強化塑性4）彈塑性線性強化ε≤εs

時ε＞εs

時線性強化塑性線彈性當前第28頁\共有66頁\編于星期日\21點5）彈性非線形強化

常以冪硬化律來表達。代表性的冪硬化率有Ramberg-Osgood法則：式中，A－硬化系數；n

－硬化指數。重要假設：塑性變形體積不可壓縮。σsσε如果x方向受拉或壓后產生的塑性應變為則其它兩個方向的塑性應變為當前第29頁\共有66頁\編于星期日\21點2、復雜應力狀態下的塑性本構方程Reuss（1930年）假定：（1）式中，i,j=x,y,z；dλ－非負標量比例系數；應力偏量定義為：i=j

時；i≠j

時；（2）其中，。（3）將（2）式代入（1）式，可得Reuss增量方程：1）增量理論當前第30頁\共有66頁\編于星期日\21點1）增量理論（續）仿照等效應變的概念，可定義“等效塑性應變增量”為：（4）而等效應力為：（5）將（4）和（5）式代入（3）式得：（6）則Reuss本構方程的普遍形式為：（7）當前第31頁\共有66頁\編于星期日\21點2）全量理論基本假設：比例變形：（1）由（1）式和（3）式聯立得：（4）（3）（2）塑性變形體積不變：小變形：當前第32頁\共有66頁\編于星期日\21點2）全量理論（續）Ci可通過等效應力和等效應變來確定：（5）（6）實驗表明，當時，材料屈服，在單軸應力下，根據ΔV=0，也可證明：，則在單軸應力下，由（4）、（5）、（6）式解得：（7）則全量理論表達式為：（8）當前第33頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2經典強度理論定義：三個主應力中任意一個達到單向強度σ0時，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過量彈性變形失效；無裂紋脆性材料受拉應力斷裂。原因：對金屬材料，塑性變形是由剪應力控制的，而該理論忽略了其作用。1.2.1最大正應力理論當前第34頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2.2最大正應變理論定義：三個主應變中任意一個達到單向拉伸失效正應變極限值ε0時，材料便失效。形式：i=1,2,3適用：過量彈性變形失效；無裂紋脆性材料受拉應力斷裂。利用Hooke定律，還可將最大正應變理論寫成應力表達式：當前第35頁\共有66頁\編于星期日\21點最大正應力理論和最大正應變理論的實驗驗證灰鑄鐵薄壁圓管試件內壓與軸向載荷試驗當前第36頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2.3最大剪應力理論定義：在三向應力狀態下，最大剪應力達到純剪切失效的剪應力時，材料便失效。形式：由于在單向拉伸（或壓縮）時，，則該理論的正應力表達式為：

該理論形式簡單，在預測延性材料屈服或斷裂時有相當高的準確度，因而得到廣泛應用。或當前第37頁\共有66頁\編于星期日\21點平面應力狀態下最大剪應力理論的幾何表示σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0

在平面應力狀態時，設三個主應力分別是

σ1、σ2

、σ3=0

（主應力大小沒有順序關系）。這樣，前式可分解為：

當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：當時，則：

在應力主軸坐標系

（σ1,σ2

）中，以上六種情況的判據成為由六條直線圍成的六邊形。在六邊形內：安全；在六邊形線上：臨界狀態；在六邊形外：失效。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）當前第38頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2.4畸變能理論定義：在多向應力狀態下，單位體積畸變能（Ud）達到單向拉伸失效時的畸變能（Ud0）時，材料便失效，即：單位體積畸變能為：U－單位體積應變能；UV－單位體積形狀改變能（歪形能）（1）（2）（3）（4）（5）根據彈性力學原理：聯立（1）～（5）式，可得：當前第39頁\共有66頁\編于星期日\21點平面應力狀態下畸變能理論的幾何表示

在平面應力狀態（σ3=0）下：

在應力主軸坐標系（σ1,σ2

）中，上式表示一橢圓（見右圖）。橢圓的長軸過一、三象限，短軸過二、四象限。其端點坐標分別為：σ1σ2σ0σ0O-σ0-σ0ABDD’C’C純切應力狀態0.5σ00.577σ0A:（σ0，σ0）B:（-σ0，-σ0）C:（-0.577σ0，0.577σ0）D:（0.577σ0，-0.577σ0）當前第40頁\共有66頁\編于星期日\21點最大剪應力理論和畸變能理論的實驗驗證當前第41頁\共有66頁\編于星期日\21點四種強度理論的綜合表達式綜合以上四個強度理論的強度條件，可以把它們寫成如下的統一形式：

式中，σr稱為相當應力。四個強度理論的相當應力分別為：當前第42頁\共有66頁\編于星期日\21點四種強度理論的選用原則塑性材料：第三強度理論可進行偏保守（安全）設計；第四強度理論可用于更精確設計，要求對材料強度指標，載荷計算較有把握。脆性材料：第一強度理論用于拉伸型和拉應力占優的混合型應力狀態；第二強度理論僅用于石料、混凝土等少數材料。對于某些特殊應力狀態的情況，不能只看材料，還必須考慮應力狀態對材料彈性失效狀態的影響，根據所處失效狀態選取強度理論：塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應力狀態下呈脆斷破壞,應選用第一強度理論，但此時的失效應力應通過能造成材料脆斷的試驗獲得。脆性材料（如大理石）在三向壓縮應力狀態下呈塑性屈服失效狀態，應選用第三、第四強度理論，但此時的失效應力應通過能造成材料屈服的試驗獲得。當前第43頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2.5Mohr強度理論σ3σ2σ1στNMσCBAO3O1O2Mohr理論實質上是最大切應力理論的修正，是從Mohr應力圓出發提出來的一種判斷破壞和強度的作圖方法。Mohr圓圓心：單由外圓就足以決定臨界應力狀態。Mohr圓半徑：最大剪應力面通過一點各截面上應力狀態當前第44頁\共有66頁\編于星期日\21點1.2.5Mohr強度理論（續）Mohr強度理論認為，在物體內一點的某個截面上，當其正應力和剪應力達到某種最不利的組合時就導致破壞。破壞臨界條件可寫為：

在σ-τ平面上，該方程表示一條極限曲線，由試驗確定。對不同的達到破壞條件的應力狀態作Mohr圓，極限曲線就是這些圓的包絡線。則Mohr理論的安全條件為：

為簡化，只以單向拉伸和單向壓縮極限應力圓的公切線作為包絡線（右上圖），將它除以安全系數后，得到右下圖所示的許用情況。，其中O3圓為其他應力狀態下的極限情況。根據簡單的幾何推導可得：當前第45頁\共有66頁\編于星期日\21點Mohr強度理論的討論當[σL]=[σY]時：Mohr強度條件轉化為最大切應力理論強度條件。若拉伸許用應力很小（脆性材料），可近似為[σL]=0：Mohr強度條件轉化為最大正應力理論強度條件。在平面應力條件下，當σ2=0，及[σL]/[σY]=μ時：Mohr強度條件轉化為最大正應變理論強度條件。可見，Mohr理論在一定程度上概括和推廣了前三種強度理論，它很好地代表了對拉和壓具有不同抗力的材料的塑性變形和以剪斷形式破壞的現象。Mohr理論仍然不是普遍適用的，與最大剪應力理論一樣，它沒有考慮第二主應力的影響。當前第46頁\共有66頁\編于星期日\21點1.3強度的統計學特性即使對同一型號、同批生產的材料，由于成分、組織、缺陷的不均勻性，其力學性能也會有一定分散度。將材料制成構件后，使用環境、溫度、承受載荷都有隨機性。這自然引出了下列問題：用小試樣或少數試樣測定的性能數據究竟能否代表材料的強度？依據實驗室數據進行強度設計，可靠性有多大？壽命預測準確度如何？從數理統計觀點看，材料強度和構件承載都是隨機變量。為表征一個隨機變量，不僅需給出其取值大小，還要給出其取該值的頻率（即概率）。分布函數描述隨機變量取值的統計學規律，定義為隨機變量ξ小于某一實數x

的概率，即：

隨機變量在一個區間內取值的概率可以由分布函數求出：當前第47頁\共有66頁\編于星期日\21點1.3.1強度統計學分析常用的統計分布1、Weibull分布Weibull分布的提出源于最弱連接理論。最弱連接理論基于以下假設：將材料看成許多鏈節連接而成的鏈，只要鏈中有一個鏈節失效，整個鏈就失效。在應力從0增加到σ，鏈節的失效概率用F(σ)表示，則該鏈節的存活概率為：

假設F(σ)反映了鏈節的強度分布并且各個鏈節的強度分布相互獨立，則材料的存活概率為：于是材料(鏈)在σ作用下的失效概率為

F(σ)函數更一般的形式為：

1）最弱連接理論當前第48頁\共有66頁\編于星期日\21點2）Weibull分布形式

Weibull提出了的一個分布，它即是至今仍然被廣泛使用的Weibull分布：

于是，失效概率可以表示成：

式中：F－失效概率；σ－隨機變量，可以為強度，斷裂韌性等；σ0－尺度參數；σu－位置參數；m

－形狀參數，通常又稱為Weibull模量。上式為三參數Weibull分布。若取σu=0,則上式簡化為二參數Weibull分布

將上式做雙對數變換可得：

當前第49頁\共有66頁\編于星期日\21點3）Weibull分布參數的影響（1）位置參數σuσu＝0時，F

的一階導數也就是Weibull分布的概率密度函數為：

只要σ0和m值不變，概率密度函數曲線形狀不會改變，曲線只會隨著σu的變化沿著軸平移到相應的位置。若隨機變量為強度，則

σu為開始失效時的應力，即該材料的最低強度。故我們有時為了簡便令σu

＝0，一般認為這是保守的處理。當前第50頁\共有66頁\編于星期日\21點（2）尺度參數σ0（特征強度）令：即σ0為從σu開始材料失效概率為0.6321時的強度值。

當前第51頁\共有66頁\編于星期日\21點（3）形狀參數m

形狀參數m決定了曲線的形狀特征。Weibull分布的概率密度函數是偏態的，在m為3.25時，曲線的對稱性較好；m越大，σ分布就越集中，即分散性越小。由由圖可看出，越大，分布就越集中，即分散性越小。

不同形狀參數m

下的概率密度函數材料

鋼

熱壓Si3N4

SiCw/Si3N4

SiC高鋁瓷器

鋁基復材

玻璃纖維

Weibull模量

50～609～252410810～301

在材料科學中，m又稱Weibull模量，表征了材料的均勻性和可靠性，m值越大，材料的均勻性越好，可靠性越高。當前第52頁\共有66頁\編于星期日\21點4）數學期望及方差式中，Γ(x)為誤差函數，可查表。兩參數Weibull分布的期望值和方差可由下式給出：當前第53頁\共有66頁\編于星期日\21點5）Weibull分布舉例－單纖維強度分布

單纖維強度的Weibull分布密度函數(雙參數)為式中：L－纖維長度；α－尺度參數；β－形狀參數；f(σ)

－機率密度函數，即在σ～σ＋dσ之間破壞應力的或然率。當前第54頁\共有66頁\編于星期日\21點尺度參數及形狀參數對f(σ)的影響隨β增大：分散性減小；峰值應力（σ*

）增大。隨α增大：分散性減小；峰值應力（σ*）

減小。當前第55頁\共有66頁\編于星期日\21點幾個關鍵參數（1）平均強度（數學期望）：（2）標準偏差（方差）：（3）變異系數（相對偏差）：可見，μ僅與β有關，在0.05≤μ≤0.5時，可簡化為：（4）最可幾應力（σ*）：當β較大時：（5）纖維強度分布函數：令，則上式變為：當前第56頁\共有66頁\編于星期日\21點2、正態分布

正態分布是在機械產品和結構工程中，研究應力分布和強度分布時，最常用的一種分布形式。正態分布的密度函數為：

式中σ0為平均值，表示隨機變量（如強度、斷裂韌性等）的數學期望；λ為標準偏差，表示隨機變量偏離均值的散布程度，λ越小，σ落在σ0附近的概率越大。正態分布是對稱分布，其概率密度函數f(x)對于直線

x=σ0是對稱函數。正態分布概率密度曲線y=f(x)的位置完全由均值σ0確定，故σ0為位置參數。為了計算上的方便，并令λ=1,并x=(σ-σ0)/λ則可將一般的正態分布化為標準分布，其密度函數為：當前第57頁\共有66頁\編于星期日\21點2、正態分布（續）

化成標準分布后，可根據x查正態分布表，這也是正態分布應用廣泛的一個重要原因。由于腐蝕、磨損，老化而引起的失效，是許多微小的獨立因素造成的，沒有單獨起壓倒作用的因素，是長期累積效應引起的，到某一段時間后，材料（或構件）失效比較集中地發生。在這種情況下，其強度分布可用正態分布來表示。對于正態隨機變量有：

即正態隨機變量的值落在（σ0±3λ）區間內幾乎是肯定的事件，而它落在區間之外的事件是小概率事件。這就是所謂的“3λ規則”，通常作為異常數據的取舍標準。當前第58頁\共有66頁\編于星期日\21點正態分布舉例－纖維束強度分布纖維束強度分布密度函數：式中，ψB－纖維束強度標準偏差；－纖維束強度平均值（數學期望）。Daniels首先發現單纖維強度與纖維束強度存在下列關系：式中，F(σ)－單纖維強度分布函數；σfmax－最大斷裂載荷那一束纖維中的纖維平均應力。令：，可解得：將此式代入上式可得：可見：當前第59頁\共有66頁\編于星期日\21點3、對數正態分布

如果隨機變量的對數符合正態分布，則稱其符合對數正態分布。對數正態分布的密度函數為：

其均值和方差分別為

當