安慶師范學院數學與計算科學學院2012屆畢業論文第4頁共15頁模的剩余類環的子環作者：***指導老師：***摘要：模剩余類環是一種比較透徹的特殊環，模的剩余類環為有限可換環、整環及域都提供了豐富的例證，剩余類環對Euler函數關系式、Eisemstein判別法、整數多項式無整數根、Euler定理及Fermat小定理等數論的古典結果給出純代數的證明.并從代數的角度觀察熟知完全及簡化剩余系的一些性質.關鍵字：模剩余類環的子環冪等元理想1引言環是有兩個二元運算建立在群的基礎上的一個代數系統，因此它的許多基本概念與理論是群的相應內容的推廣，同時環也有一些特殊的問題，例如因子分解問題等.2模的剩余類環的子環的性質和運用2.1基本概念定義2.1.1任取正整數,令則為個剩余類的集合，對任意，規定，，則關于這兩個運算做成一個環,且是一個具有單位元的交換環,稱之為以為模的剩余類環,或簡稱模剩余類環.定義2.1.2對任意,若類中有一個整數與互素,則這個類中所有整數均同互素,因此稱類與互素.定義2.1.3稱環的一個非空子集叫做的一個理想子環,假如:(i),(ii),在代數運算中,我們都知道若,,則必有,相反若,則必有或成立,而在環中是否還存在這樣的運算性質呢?我們有：定義2.1.4模剩余環中,如果任意元,,但,那么稱為的一個左零因子,為的一個右零因子,若的左零因子與右零因子都為,稱為的零因子.定義2.1.5一個環中若有元素使得,有,那么稱元素叫做環的單位元，記作1.定義2.1.6在環中,如果,滿足:任意,有,則稱是中的逆元，且與互逆.定義2.1.7設為任意一個環,而是的理想.那么稱作關于理想的剩余類環(也叫商環或差環),其中中,每個元素叫作模的剩余類.定義2.1.8模剩余環的乘法群(當為素數,中的所有非零元作成乘法群,當為合數,中的所有可逆元作成乘法群)中,適合的元素稱為環的一個冪等元.定義2.1.9設,若存在使得,則稱整除,記為,稱為的因數,而稱為的倍數.否則,稱不整除.2.2剩余類環的基本性質定理2.2.1在模剩余環中,若,則有.定理2.2.2在中,每個元素的倍均為零.即.定理2.2.3設,則的充要條件為.2.3剩余類環的一般性質利用已有的定義和基本性質,可以得出模剩余環的更一般的一些性質.模剩余環是交換環.在模剩余環中,所有左右零因子都是其零因子.取，則因為所以而不整除故故不是整數，無單位元.命題3.2.2若，是素數，是大于1的正整數，當時.的階子環是域；且；當時，的階子環是零環.證明的階子環當時，所以是零環.當時，若，只要時，，所以有，即是無零因子環，又有限，所以是域.設是的單位元，則，有即，取，得.因為為整數，只要適當選取使為整數，即可求得單位元.命題3.2.3設，其中是合數，，則的階子環是含零因子的無單位元的環.證明因是合數，設，的階子環，取，，則，故含有零因子.設有單位元，,有，即，設時，在取，，如有整數解，即整數方程中有整數解，所以方程有整數解的充要條件為，與假設矛盾，所以無單位元.設，在式中取，，，有整數解即為整系數方程有整數解，有整數解的充要條件是：.因，故不整除與假設矛盾，故無單位元.我們還相應的討論了商環在什么條件下是域或是有零因子無單位元的環.命題3.2.4設是正整數，是由生成的環，則商環（是正整數，且）是含零因子，無單位元的環.證明當時，是有限零環.事實上，，，，當時，取，，所以是含零因子的環.設有單位元，則,有，即,取，,因為，，,所以不存在整數，故無單位元.命題3.2.5設是正整數，是素數，是由生成的環，則商環，當時是域且，當時是零環.證明設,時，，，,如果,因為，所以,當時，即,所以是無零以你的環，中消去率成立，又是有限，所以是域.設是的單位元，，有對應于,即可得.時，，,，所以是零環.命題3.2.6設是正整數，且是合數，，是由生成的環，則商環是含零因子無單位元的環.證明是階環.設，，，取，，則所以是有零因子的環.設有單位元，有，即所以(*)當時，在(*)式中取，，即找到正整數使得，有整數解的充要條件是，而與假設矛盾，所以無單位元.4模的剩余類環，對冪等元的存在4.1設是一個模的剩余類環，考察中的乘法群（當為素數，中非零元作成乘法群;當為合數則有中可逆的元作成乘法群），我們首先定義如下.定義：群中適合=的元素稱為環的一個冪等元由定義可知群中的單位元是的一個冪等元，且顯然有反之，若是環的一個冪等元，則必是的一個乘法群的單位元;例如是一元群的單位元.在一個低階的模的剩余類環，例如中，不難通過測試的方法確定其冪等元；一般地，在模的剩余類環中則可如下考慮.設施環中的一個冪等元，那么，我們有（1）因而（2）即和是互素的、相鄰的整數；且若為整數，有，若為合數，不妨設n=，不考慮的冪等元（即e既非環的零元也非單位元），或將分別是的因子的倍數；此時可考慮取該因子的倍數判斷是否為環的冪等元.例如，設，于是在中若是取，則首先我們有9（9-1）0或者即是中的一個冪等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故在上式兩端分別加上，則可推算出并得到適合（2）式得兩個相鄰整數64和63，于是由，又可得到中的另一個冪等元10.對于上述中的兩個冪等元9和10，容易看出它們還具有如下有趣的性質：10+91（），1090()因而，我們有如下4.2命題：設R是一個有單位元的環，是的非零非單位元的冪等元，則也是的冪等元，且具有性質：.證明事實上，由是的一個冪等元；又，.于是命題得證.運用該命題，我們已經可以容易地從中的一個非零非單位元冪等元求出另一個冪等元例：已知=13是的一個冪等元,則由F=1-e=1-13=-12=14(modn)故=14也是的一個冪等元由命題，我們還可以得出關于中的冪等元與元素之間另一關系的如下結果：設n=,且冪等元是或其倍數，則中每一個元素均可表為中冪等元和的唯一組合：（**）其中冪等元的系數,而冪等元的系數,例如：在上述中，=26=132,冪等元為13；任取=17,則由（**）有其中，而.以上討論了模的剩余類環中冪等元的存在和求法，那么，對于給定的一個整數，可以是哪一個模的剩余類環的冪等元呢？若要為的冪等元，則應有：于是對于給定的一個整數，取定一個的因子,便可在模的最小非負剩余系中確定以為冪等元的包含于的群，為此，對于,令（4）則(1)Zn中以，冪等元為單位元的乘法群；(2)R中屬于G的元必須是一個關于R和G共同的單位元的的有逆元的元.為此，令：,則是一個滿足要求的、由R的可逆元作成、包含冪等元的乘法群.例：設=25，則n是的一個因子，不妨設=30，則顯然有，而由（4）式得：不難判斷R中關于單位元=25的可逆元為5,25，因此為所求中包含冪等元=25的乘法群.至此，上述對于模n的剩余類環及其乘法群的一些討論，闡述了群與環的部分關系;有群的單位元導出了冪等元，并給出了如何在中去確定冪等元；反之，對于給定的一個整數，也可以確定以其為冪等元的換及其所構成的乘法群.5模剩余類環的理想結論：
模剩余類環的所有理想都是主理想.證明：對循環子群(對加法),,根據理想的定義,有;,同理;所以做為一個理想,顯然是主理想.由定理上敘定理的證明過程可以看出:所有循環子群(對加法)加上乘法都是模剩余類環的主理想.定理5.1環有且只有T()個子環(其中T()表示的正因子的個數),而且是一個階循環環,從而其子加群、子環、理想是一致的.定理5.2設是模剩余類環,則若是素數,是域,則只有零理想和單位理想;是域充分必要條件是()是的極大理想.證明(1)顯然成立.（2）由上述定理6知是域充分必要條件是為素數.因此只須證明()是的極大理想的充分必要條件是為素數.由于是有單位元的交換環,設主理想.若()為極大理想,如果不是素數,則必有,于是,但,是的真包含()的理想.由()為極大理想知.但矛盾,所以是素數.反之,設是素數,是的理想,且,則存在.因為是素數,所以與互素.于是存在,使,由可知因為,所以(n)是極大理想在模剩余類加群及其子群中，是單位元（有時也稱零元），的逆元是.但在模剩余類環中，必稱零元，的負元記作.又知“是的可逆元”，“是的零因子（注意這里）.6剩余類環的應用本節將利剩余類環對Euler函數關系式、Eisenstein判別法、整系數多項式無整數根、Euler定理及Fermat小定理等數論的古典結果給出純代數的證明.并從代數的角度觀察熟知完全及簡化剩余系的一些性質.定理6.1(Euler函數關系式)為Euler函數當時,有.證時,而,,,所以.注:為方便起見下面出現的函數,都是Euler函數.定理6.2(Eisenstein判別法):設是一個整系數多項式,如果有一個質數,使得滿足條件:P不整除;P|();不整除,那么在中不可約.證首先令,其中表示的模剩余類.現反設在中可約,其中.,.于是,另一方面.因|()不整除,故,于是有,，這說明的常數項,的常數項,那么|且|,所以|,這與不整除矛盾,故不可約.定理6.3(整系數多項式無整數根):設是整系數多項式,且及都是奇數,則無整數根.證令,其中表示的模2剩余類,反設有一整數根.而或,若,則有,故有2|矛盾.若,則有,故2|,矛盾.故反設不成立,即無整數根.定理6.4(Euler定理)設是大于1的整數,,則.證因,又,a-∈U(Z/(n)),但單位群的階為,所以,即,所以).定理6.5(Fermat小定理)若是質數,則.證若,由Euler定理及,即得,因而,若,則,故.下面從代數的角度觀察完全及簡化剩余性質.定理6.6設為模的完全剩余系,則也是模的完全剩余系.證由題設知,而從得可逆,故有,從而也是模的完全剩余系.定理6.7設為模的簡化剩余系,則也是模的簡化剩余系.證由題設知,又因,得知可逆,故,從而是模的簡化剩余系.結束語模剩余類環是一種比較透徹的特殊環，模的剩余類環為有限可換環、整環及域都提供了豐富的例證.模剩余類環的所有理想是主理想，并且它們都可由的所有因子作為生成元生成的(或者由與其所有因子的差作為生成元生成)，它們的個數都為的歐拉數.使我們得以迅速求解其子環和理想.且當是素數時，模剩余類環只有零理想和單位理想.參考文獻[1]朱德高.關于模n剩余類環[J].高等函授學報(自然科學版),1996,(02).

[2]唐再良.論模n剩余類環Z_n的性質與擴張[J].綿陽師范學院學報,2008,(08).

[3]陳水林.Z/(n)模n剩余類環的構造[J].咸寧師專學報,1994,(04).

[4]單桂華,張琴,葉濤.模n的剩余類Z/(n)的幾點應用[J].湖南大學學報(自然科學版),1999,(S1).

[5]楊樹生.模n的剩余類加群(Z_n,+)及模n剩余類環(Z_n,+,·)的若干性質[J].河套大學學報,2004,(01).

[6]李曉毅,黃鳳琴.循環群中剩余類加群的討論[J].沈陽師范大學學報(自然科學版),2003,(03).

[7]李伯葓.模n的剩余類環的子環[J].南京師大學報(自然科學版),1992,(03).

[8]韓清,胡永忠.剩余類環上的二階可逆矩陣[J].佛山科學技術學院學報(自然科學版),2002,(01).

[9]陳欣,李保紅.模n剩余類環中元素的周期分布規律[J].HYPERLINK