§8.2數學

RB（理）空間幾何體的表面積與體積第八章 立體幾何基礎知識·自主學習要點梳理1．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S

側＝

2πrh

V＝Sh

＝

πr2h圓錐S

側＝

πrlV＝

1Sh

3

1

2＝

3πr

h＝1

2

2

23πr l

－r難點正本 疑點清源1.幾何體的側面積和表面積幾何體的側面積是指(各個)側面面積之和，而表面積是側面積與所有底面積之和．對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．要特別留意根據幾何體側面展開圖的平面圖形的特點來求解相關問題．如直棱柱(圓柱)側面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側面展開圖為扇形，此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大小．基礎知識·自主學習要點梳理圓臺S

側＝

π(r1＋r2)lV＝1(S

＋3

上S

下＋ S上S下)h＝1π(r2＋r2＋3

1

2r1r2)h直棱柱S

側＝

ChV＝

Sh難點正本 疑點清源2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．基礎知識·自主學習要點梳理正棱錐1S

側＝

2Ch′1V＝

3Sh正棱臺1S

側＝2(c＋c′)h′V＝1

S

＋S3(

上 下＋

S上S下)h球S

球面＝

4πR24

3V＝

3πR難點正本 疑點清源2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．基礎知識·自主學習難點正本 疑點清源要點梳理幾何體的表面積棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是

各面面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是

矩形

、扇形、

扇環形

;它們的表面積等于

側面積與底面面積之和.2．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．基礎知識·自主學習基礎自測題號答案解析14πS24324πa25163S設圓柱的底面半徑為

r，則

r＝

π，又側面展開圖為正方形，∴圓柱的高＝2

πS，∴S

圓柱側＝4πS.返回返回這個空間幾何體是一個三棱錐，這個三棱錐的高為2，底面是一個一條邊長為4、這條邊上的高為3

的等腰三角形，故1

1其體積V＝3×2×4×3×2＝4.返回設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.2則1πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2.返回由題意知，球的半徑R＝2a.所以S

球＝4πR2＝πa2.返回∵四棱錐P—BB1C1C

的底面積為16，高PB1＝1，13∴

＝

×16×1＝163.VP-BB

C

C1

1題型分類·深度剖析題型一

簡單幾何體的表面積思維啟迪 解析

答案 探究提高題型分類·深度剖析先通過三視圖確定空間幾何體的結構特征，然后再求表面積．題型一

簡單幾何體的表面積思維啟迪 解析答案 探究提高題型分類·深度剖析題型一

簡單幾何體的表面積思維啟迪 解析

答案 探究提高題型分類·深度剖析題型一

簡單幾何體的表面積思維啟迪 解析

答案 探究提高C題型分類·深度剖析題型一

簡單幾何體的表面積思維啟迪 解析答案 探究提高以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系．多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．C題型分類·深度剖析解析

由三視圖知該幾何體為一個四棱柱、一個半圓柱和一個半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為π1×2－1×π×12＝2－

，2

24π＋12π

π四棱柱中不重合的表面積為2－2＋1×2×2＋2×2＋2＝12－2，1

1

51半圓柱中不重合的表面積為2×2π×2＋2π＝2π，半球的表面積為2×4π＝2π，所以該幾何體的表面積為4π＋12.題型分類·深度剖析題型二

空間幾何體的體積思維啟迪解析探究提高題型分類·深度剖析題型二

簡單幾何體的體積思維啟迪

解析

探究提高思維啟迪：思路一：先求出四棱錐

C1—B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個三棱錐B1—C1EF

與D—C1EF，再求四棱錐C1—B1EDF的體積．動畫展示題型分類·深度剖析思維啟迪解析探究提高題型二

簡單幾何體的體積∴C1

到平面

B1EDF

的距離就是A1C1

到平面B1EDF

的距離．∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，題型分類·深度剖析1B1D∴O

H

B1O1·DD1

6＝ ＝

6

a.1

1＝3·2·EF·B1D·O1H題型二

簡單幾何體的體積思維啟迪 解析

探究提高∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H

為棱錐的高．∵△B1O1H∽△B1DD1，1

1

6

13＝3·2·

2a· 3a·

6

a＝6a

.O

H13V

=

1

SC1

-B1EDF四邊形B1EDF動畫展示題型分類·深度剖析由題意得，題型二

簡單幾何體的體積思維啟迪 解析

探究提高方法二

連接

EF，B1D.設B1

到平面C1EF

的距離為h1，D到平面C1EF

的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝

2a.B11

11

1-C

EF D-C

EFC

-B

EDFV

=

V

+V31

2613(h

+

h

)

=

a=

1

SDC1EF.題型分類·深度剖析在求解一些不規則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時，常常需要用到分割法．在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時，若有一部分為不規則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規則幾何體的體積求出其體積．解析思維啟迪

探究提高題型二

簡單幾何體的體積變式訓練

2

(2012·課標全國)已知三棱錐

S－ABC

的所有頂點都在球

O

的球面上，△ABC

是邊長為

1的正三角形，SC

為球

O

的直徑，且

SC＝2，則此棱錐的體積為

(

)A.

2

3B.

C.

D.2

26

6

3

2題型分類·深度剖析解析

由于三棱錐

S－ABC

與三棱錐

O－ABC

底面都是△ABC，O

是

SC

的中點，因此三棱錐

S－ABC

的高是三棱錐

O－ABC高的

2

倍，所以三棱錐S－ABC

的體積也是三棱錐O－ABC體積的2

倍．在三棱錐O－ABC

中，其棱長都是1，如圖所示，變式訓練

2

(2012·課標全國)已知三棱錐

S－ABC

的所有頂點都在球

O

的球面上，△ABC

是邊長為

1

的正三角形，SC

為球

O

的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為A.

2

36

6B.

C.23D.22題型分類·深度剖析△ABC3S

＝

4

×AB2＝43，高OD＝12－

3

3

2＝

63，∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×3×

43

＝

61

3×

6

2.(

A

)題型分類·深度剖析題型三

幾何體的展開與折疊問題思維啟迪 解析

答案 探究提高題型分類·深度剖析(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數量關系；(2)可利用圓柱的側面展開圖．題型三

幾何體的展開與折疊問題思維啟迪 解析答案 探究提高題型分類·深度剖析題型三

幾何體的展開與折疊問題思維啟迪 解析答案 探究提高由題意知BC＝3π

cm，AB＝4πcm，點A

與點C

分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC

的長度即為鐵絲的最短長度．AC＝

AB2＋BC2＝5π(cm)，故鐵絲的最短長度為5π

cm.題型分類·深度剖析題型三

幾何體的展開與折疊問題OA、OC、OD兩兩相互垂直，且

OA＝OC＝OD＝2

2，思維啟迪 解析答案 探究提高3體積

V

＝

1

S△OCD·OA

＝

1

×

13

2×(2

2)3＝832.題型分類·深度剖析題型三

幾何體的展開與折疊問題8

235π思維啟迪 解析

答案 探究提高題型分類·深度剖析有關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數量關系，哪些變，哪些不變．研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當的母線或棱展開，轉化為平面上兩點間的最短距離問題．題型三

幾何體的展開與折疊問題思維啟迪 解析答案 探究提高8

235π題型分類·深度剖析h＝

1－

2

2

2＝

22，∴V

1

1

2

2＝3Sh＝3×1×

2

＝

6

.

26解析

如圖，四棱錐的高題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用審

題

視

角

規

范

解

答

溫

馨

提

醒題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用審

題

視

角

規

范

解

答

溫

馨

提

醒(1)側面展開圖從哪里剪開展平；(2)MN＋NP

最短在展開圖上呈現怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好．題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用42＋92＝

97.2分審

題

視

角

規

范

解

答

溫

馨

提

醒解

(1)該三棱柱的側面展開圖為一邊長分別為

4

和

9

的矩形，故對角線長為題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用PC＝NC

2NC又

NC∥AM，故PA AM，即5＝

2

.∴NC＝54.8分1

1

4

4(3)S△PCN＝2×CP×CN＝2×2×5＝5.

3

3

3在三棱錐

M—PCN

中，M

到面

PCN

的距離，即

h＝

2

×3＝

2

.審

題

視

角

規

范

解

答∵MP＝

29，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝2.溫馨提醒題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用∴V＝VC—MNP M—PCN31＝

·h·S△PCN3×

×5＝2

5＝1

3

3

4

2

3.12分審題視角規范解答溫馨提醒題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用審

題

視

角

規

范

解

答

溫

馨

提

醒(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個平面上，將問題轉化為平面上的最值問題．

(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上．題型分類·深度剖析思想與方法15.轉化思想在立體幾何計算中的應用審

題

視

角

規

范

解

答

溫

馨

提

醒如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉化為平面上的問題．

(3)本題的易錯點是，不知道從哪條側棱剪開展平，不能正確地畫出側面展開圖．缺乏空間圖形向平面圖形的轉化意識．思想方法·感悟提高方法與技巧對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決．要注意將空間問題轉化為平面問題．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規則的幾何體求解．一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決．思想方法·感悟提高失誤與防范幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯系，找出其中的量的關系．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．1

234A組 專項基礎訓練5

6789練出高分A組 專項基礎訓練123456789練出高分解析A組 專項基礎訓練2B123456789練出高分解析由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h＝3，相應底面面積為

S＝1

6×3＝9，×1

1∴V＝3Sh＝3×9×3＝9.134A組 專項基礎訓練5

67892練出高分解析解析VB′—ABC＝31×BB′×S△ABC3＝1×3×

4

＝

4

3×12

3.134A組 專項基礎訓練5

67892練出高分DA組 專項基礎訓練9練出高分1

2

3

4

5

6

7

83．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的表面積為()A．48(3＋

3)C．24( 6＋

2)B．48(3＋2

3)D．144解析A．48(3＋

3)C．24( 6＋

2)B．48(3＋2

3)D．144A組 專項基礎訓練底4側S

＝6×

3×42＝24

3，S

＝6×4×6＝144，解析3．正六棱柱的高為

6，底面邊長為

4，則它的表面積為(

A

)91

2

3

4

5

6

7

8練出高分∴S

全＝S

側＋2S

底＝144＋48 3＝48(3＋

3)．1

23A組 專項基礎訓練5

67894練出高分解析，1

23A組 專項基礎訓練5

67894練出高分解析由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，

BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，1

23A組 專項基礎訓練5

67894練出高分解

析

則

CD⊥平面

ABD，故

CD⊥AD，所以AC＝

41且S△ACD＝10.在Rt△ABE

中，AE＝4，BE＝2，故

AB＝2

5.在Rt△BCD

中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝

41.1

23A組 專項基礎訓練5

67894練出高分解析在△ABD

中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC

中，AB＝2 5，BC＝AC＝

41，△ABC＝2則

AB邊上的高

h＝6，故

S

1×25×6＝6

5.因此，該三棱錐的表面積為

S＝30＋6

5.B1

234789A組 專項基礎訓練5

6練出高分解析解析利用三棱錐的體積公式直接求解．1

234789A組 專項基礎訓練5

6練出高分16ABDDD1EVD

-EDF

=

VF

-DD

E1

13=

1

S1

1

1＝3×2×1×1×1＝6.1

234789A組 專項基礎訓練5

6練出高分解析解析此幾何體是兩個長方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.1

234789A組 專項基礎訓練5

6練出高分491

2

3

4

5

6

7

8練出高分

A組 專項基礎訓練解析2，則該三棱錐的外接球的表7．已知三棱錐

A—BCD的所有棱長都為面積為

．解析91

2

3

4

5

6

7

8練出高分

A組 專項基礎訓練2，則該三棱錐的外接球的表如圖，構造正方體ANDM—FBEC.因為三棱錐

A—BCD

的所有棱長都為

2，所以正方體ANDM—FBEC

的棱長為1.所以該正方體的外接球

3的半徑為2

.易知三棱錐A—BCD

的外接球就是正方體ANDM—FBEC

的外接2球，

所以三棱錐

A—BCD

的外接球的半徑為

3

.

所以三棱錐球

32A—BCD

的外接球的表面積為

S

＝4π

2

＝3π.7．已知三棱錐

A—BCD的所有棱長都為面積為

3π

．1

234A組 專項基礎訓練5

6798練出高分解析1

234練出高分A組 專項基礎訓練5

6

7

8

9解析解

設圓錐的母線長為

l，底面半徑為

r，高為

h，由已知條件l＋r＋

2r＝(5＋

2)×

2，2，l＝42，S＝πrl＋πr22πr

π

l

＝2解得r＝＝10π，h＝

l2－r2＝

30，V＝πr2h＝2

30π.1

234A組 專項基礎訓練5

6789練出高分1

2解析34A組 專項基礎訓練5

6789練出高分解

(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個幾何體可看成是正方體AC1

及直三棱柱B1C1Q—A1D1P

的組合體．由PA1＝PD1＝

2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積11S＝5×22＋2×2×

2＋2×2×(

2)2＝22＋4

2(cm2)，體積

V＝23＋2×(

2)2×2＝10(cm3)．123B組 專項能力提升4

567練出高分23B組 專項能力提升4

5671練出高分解析23B組 專項能力提升4

5671練出高分解析由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為3，∴表面積S＝12×2×

3＋11

3π2×π×12＋2×π·1×2＝

3＋

2

.CB組 專項能力提升4

5

61

2

3

7練出高分2．在四棱錐E—ABCD

中，底面ABCD

為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為

AE

的中點，設

E—ABCD的體積為

V，那么三棱錐

M—EBC

的體積為

(

)2C.3V

3

D.10VA.2V

15

B.3V解析2．在四棱錐E—ABCD

中，底面ABCD

為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為

AE

的中點，設

E—ABCD的體積為

V，那么三棱錐

M—EBC

的體積為

(

)A.2V

1

C.2

3V5

B.3V

3V

D.10B組 專項能力提升解析4

5

61

2

3

7練出高分設點B

到平面EMC的距離為h1，點D

到平面EMC的距離為h2.連接MD.因為M

是AE

的中點，所以VM—ABCD＝2V1

.所以V1E—MBC＝2V－VE—MDC.B組 專項能力提升4

5

61

2

3

7練出高分2．在四棱錐E—ABCD

中，底面ABCD

為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M

為AE

的中點，設E—ABCD

的體積為V，那么三棱錐M—EBC

的體積為A.2V

1

C.2

3V5

B.3V

3V

D.10解析而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，VE—MDC

VD—EMCh2所以VE—MBC＝VB—EMC＝h1.因為B，D

到平面EMC

的距離即為到平面EAC

的距離，2h1

3而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以h

＝2.

3

所以VE—MBC＝VM－EBC＝10V.(

D

)B組 專項能力提升4

5

61

2

3

7練出高分3．(2011·遼寧)已知球的直徑SC＝4，A、B

是該球球面上的兩點，AB＝

3，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐

S－ABC

的體積為(

)A．3

3

B．2

3

C.

3

D．1解析B組 專項能力提升4

5

61

2

3

7練出高分3，AC＝解析由題意知，如圖所示，在棱錐S－ABC

中，△SAC，△SBC

都是有一個角為30°的直角三角形，其中AB＝

3，SC＝4，所以SA＝SB＝2BC＝2，作BD⊥SC

于D

點，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此V＝1

3×(3×

43)2×4＝

3.3．(2011·遼寧)已知球的直徑SC＝4，A、B

是該球球面上的兩點，AB＝

3，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐

S－ABC

的體積為(

C

)A．3

3

B．2

3

C.

3

D．112367B組 專項能力提升4

5練出高分解析12367B組 專項能力提升4

5練出高分解析根據題意，利用分割法將