2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,拋物線C：經(jīng)過(guò)變換可得到拋物線C：川=mx(x-bi),。與x軸的正半

軸交于點(diǎn)兒且其對(duì)稱軸分別交拋物線C、。于點(diǎn)小、D\.此時(shí)四邊形。田出。恰為正

方形：按上述類似方法，如圖2,拋物線Ci：yi=aix(x-bi)經(jīng)過(guò)變換可得到拋物線

C2：y2=a2X(x-b2),C2與X軸的正半軸交于點(diǎn)力2,且其對(duì)稱軸分別交拋物線。、C2

于點(diǎn)歷、02.此時(shí)四邊形08M也恰為正方形：按上述類似方法，如圖3,可得到拋

物線C3：夕3=咫(X-b)與正方形083/303,請(qǐng)?zhí)骄恳韵聠?wèn)題：

(1)填空：at==1>bi=2；

(2)求出C2與。3的解析式；

(3)按上述類似方法，可得到拋物線G：yn^a,,x(x-bn)與正方形。瓦4Q“(〃》1)

①請(qǐng)用含n的代數(shù)式直接表示出G的解析式；

②當(dāng)X取任意不為0的實(shí)數(shù)時(shí)，試比較"018與”019的函數(shù)值的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Xi=0?X2=bi,

：.A\(bi,0),

由正方形081/1。得：OAi=BiDi=bif

.bibi比比

(―?T)，D、(―，一寸，

??BTzz/乙

???囪在拋物線C上，則^=(T)2,

b\(bi-2)=0,

加=0(不符合題意),ii=2,

：.D\(1,-1),

把5(1,-I)代入(x-6i)中得：-\=-a\,

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??=1,

故答案為：1,2；

(2)-2=0時(shí)，C12X(X-z>2)—0,

xi=0?X2=bz，

??Ai(厲，0),

由正方形。8M2。2得：OA2=B2D2=b2,

,?歷(萬(wàn)，萬(wàn))，

在拋物線C1上，則巧=§)2-2X冬

力2(歷-6)—0,

歷=0(不符合題意)，歷=6,

：.Di(3,-3),

把。2(3,-3)代入。2的解析式：-3=3(12(3-6),42=4，

二?。2的解析式：?2=*(X-6)=￥-2x,

y3=0時(shí)，ayx(x-/?3)=0，

XI=0,X2=b3f

：.A3(b3,0),

由正方形083^303得：043=8303=63，

br>bl.

."3(p5),

,?，83在拋物線C2上，則g=g§)2-2X今

b3(Z>3-18)=0,

*3=0(不符合題意)，在=18,

：.D3(9,-9),

1

把。3(9,-9)代入C3的解析式：-9=943(9-18),。3=方

的解析式：y3=(x-18)=-2x；

(3)①G的解析式：如=予二『-2%(〃21).

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②由上題可得：

%2

拋物線C2018的解析式為：/018=32017-M

拋物線02019的解析式為：沖19=34談2-2x,

，兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0);

如圖4,由圖象得：當(dāng)工云0時(shí)，”018>”019.

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C/G

oVA\x

?R

圖i

2.如果一條拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以這兩個(gè)交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸上一

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形稱為這條拋物線的“拋物四邊形”.

如圖①，拋物線夕=32+反+。(a<0)與x軸交于N,C兩點(diǎn)，點(diǎn)2為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)

。在拋物線的對(duì)稱軸上，則四邊形Z8CD為“拋物四邊形”，已知4(-1,0),C(3,0).

(1)若圖①中的“拋物四邊形788為菱形，且乙48c=60°,則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,

2V3)(直接填空)

(2)如圖②，若“拋物四邊形"N8CD為正方形，邊48與y軸交于點(diǎn)E,連接CE.

①求這條拋物線的函數(shù)解析式；

②點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的面積為S,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)，求S

關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.

③連接。8,拋物線上是否存在點(diǎn)。，使直線0c與直線8c所夾銳角等于NOB。？若存

在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.

解：(1)ZABC^60°,故△NBC為等邊三角形,

F5

/C=4,則即=號(hào)/。=2K，

函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,故點(diǎn)8(1,2V3),

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故答案是(1,2V3)；

(2)①/C=4,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,2),

拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-1)2+2,

將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入上式得：0=。(-2)2+2,解得：a=-^,

函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x-1)2+2=—#+x+9…①；

②將點(diǎn)4、8坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：解得：仁二；

<2=fc4-03=1

直線的表達(dá)式為：y=x+\,則點(diǎn)E(0,1),

同理可得直線CE的表達(dá)式為：產(chǎn)一3+1,

過(guò)點(diǎn)P作PHHy軸交EC于點(diǎn)H,

-1O-1

則點(diǎn)尸(加，一2加2+〃?+,)，點(diǎn)”(〃7,一鏟1+1)

則S=2夕”義OC=2(-2加2+〃什~+—m-1)X3=-4〃a+2〃7+—,

?.?-,<0，；.S有最大值，當(dāng)機(jī)=爭(zhēng)寸，最大值為：||；

③存在，理由：

(I)當(dāng)/C在BC的右方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作。E〃x軸，分別交C。于點(diǎn)M、交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)用作MHVCE于點(diǎn)H,則△CDE為等腰直角三角形，

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"：AC=4,則。C=2^=CE,

11

,：tanZOBD=J,QC與直線5c所夾銳角等于/OBO,即：tan/A/CH=W，

設(shè)：HE=MH=n,則C/Z=2〃，即3〃=2a,n=辛,

L4/—

ME=V2n=而DE=&CD=4,

48

DM=DE-ME=：4-J=

8

則點(diǎn)〃坐標(biāo)為-2),

同理直線CM的表達(dá)式為：y=-3x+6…②，

聯(lián)立①②并解得：x=3或11(舍去3),

(II)當(dāng)ZC在8c的左方時(shí)，

同理可得：C。的表達(dá)式為：y—~(x-3)…③，

聯(lián)立①③并解得：x=T或3(舍去3),

即點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為11或4

1

3.如圖，拋物線的對(duì)稱軸為夕軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(聲，-).P為拋物線上一點(diǎn)，A

9

3

(0，不)?

2

(1)求拋物線解析式；

(2)。為直線4P上一點(diǎn)，且滿足40=24P.當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，。在某個(gè)函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，

試寫出Q點(diǎn)所在函數(shù)的解析式；

(3)如圖2,以以為半徑作OP與x軸分別交于M(xi,0),N(工2,0)(xi<X2)兩點(diǎn),

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當(dāng)工AMN為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

將點(diǎn)（近,《），代入y=權(quán)2并解得：a=1

故拋物線的表達(dá)式為：y=#；

1

（2）設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P（m，彳〃2）,

①當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸下方時(shí)（點(diǎn)。位置），

U

：AQ=2AP9

???尸為40的中點(diǎn)，

②當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)P上方時(shí)（點(diǎn)。'位置），

同理可得：尸一#+/

0點(diǎn)所在函數(shù)的解析式為：產(chǎn)$2_★或尸一上2十條

1

（3）過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)P（加，-w2）,

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則PM=PN=PA=Jm2+(^m2-1)2=J導(dǎo)+/

MH=NH=y/PN2-PH2=(1m2)2=|,則MN=3,

QQ

設(shè)點(diǎn)”(加一會(huì)0),則N(,”+5,0),

QQOQ

AM?=(m—于？+4，AN2=(m+于2+于Mf^=9,

①當(dāng)/M=4N時(shí)，

-a-q2cq

AM2=(加一^)2+4=(w+2)2+4?解得：加=0；

②當(dāng)4Vf=MN時(shí)，

同理可得：加=當(dāng)巨(負(fù)值已舍去)；

③當(dāng)4N=MN時(shí)，

同理可得：加=等心(負(fù)值已舍去)；

故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：0或當(dāng)出或亞|三.

4.在RtZX/BC中，ZJC5=90°,0/平分N8/C交8c于點(diǎn)。，以。為圓心，OC長(zhǎng)為

半徑作圓交8c于點(diǎn)D

(1)如圖1,求證：為。。的切線:

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(2)如圖2,48與。。相切于點(diǎn)E,連接CE交04于點(diǎn)F.

①試判斷線段04與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若ORFC=1：2,OC=3,求tan5的值.

解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OGL48,垂足為G,

,：OA平分/R4C交8c于點(diǎn)。，

：.OG=OC,

...點(diǎn)G在。。上，

即ZB與。。相切；

B

(2)①CM垂直平分CE,理由是：

連接0￡,

與。。相切于點(diǎn)E,ZC與。。相切于點(diǎn)C,

:.AE=AC,

"：OE=OC,

：.OA垂直平分CE；

②*：OF：FC=1：2,0C=3,

貝ij尸C=2O尸，在△OC/中，0尸+(20尸)2=32,

解得：。尸=等，則。尸=等，

由①得：OAd.CE,

則NOC/+NC。/=90°,又/。。尸+乙46=90°,

：.ZCOF=ZACF,而NCFO=N/CO=90°,

；.△OCFs△o/c,

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3756\[5

PCOFCF3-5-="5~

—=—,即a—=

OAOCACOA3~AC

解得:AC=6t

???/8與圓O切于點(diǎn)E,

：.ZBEO=90°，AC=AE=6f而/B=NB,

:?△BEOs^BCA,

BEOEBO

前一就一Q設(shè)6O=x,BE=y,

y3x

則一^—=-=——,

3+x6y+6

(6y=9+3%

可得:—=3y+1夕

解得：后二號(hào)即80=5,BE=4,

5.如圖，在Rt